Matematica aplicata in constructii de masini

MATEMATICA APLICATA IN CONSTRUCTII DE MASINI

1.1. ADUNAREA A DOUA SAU MAI MULTE UNGHIURI

Adunarea a doua unghiuri (valori) se efectueazǎ astfel : se aseazǎ valoarea unghiurilor unele sub altele in asa fel incat gradele pe aceeasi coloanǎ,minutele si secundele la fel ,

dupǎ care se traseaza o linie sub ele.Adunarea propiuzisǎ se efectueazǎ de la dreapta la stanga , considerandu-se fiecare grupǎ in parte,minute cu minute ,secunde cu secunde si

grade cu grade.Daca suma grupei secunde depǎseste cifra 60 atunci pentru fiecare 60

se considerǎ 1 minut, minut ce se cumuleazǎ la grupa minutelor, iar diferenta se scrie

sub linie,aceeasi adunare se efectueazǎ si la grupa minutelor si in acelasi rationament,

pentru fiecare grup se considera 1 grad,valoare ce se adaugǎ la grupul grade, iar restul

se scrie sub linie.Ultimul grup cel al gradelor se insumeazǎ si se inscrie sub linie.

Valoarea de sub linie reprezinta suma celor douǎ unghiuri.

EXEMPLU 1. Sa se efectueze urmatoarea adunare :

15s 30′ 30″ + 7 s 28′ 33″ = 22 s 59′ 03″. 15s30′ 30″ +

7s 28′ 33″

----- ----- -------

1) 30+33 =63 ″(60 +03)→ 1′ + 03″ 22s59′ 03″

2) 1 +28 +30 = 59′

3) 7 +15 = 22s

EXEMPLU 2.Sa se efectueze urmatoarea adunare :

25s 10′ 40″ + 30s 30′ 20″ + 20s 50′ 50″ = 76s 31′ 50″

1) 40″+ 20″ + 50″ =110″(60″ +50″)→ 1′ +50″ 25s 10′ 40″ +

2) 1′ + 10′ + 30′ + 50′ = 91′( 60′ + 31′)→ 1s + 31′ 30s 30′ 20″ +

3) 1s + 25s + 30s + 20s = 76s. 20s 50′ 50″

----- ----- ---------------

76s 31′ 50″

NOTA : Adunarea a trei,patru si mai multe unghiuri se efectueazǎ folosind acelasi

rationament ca la adunarea a douǎ unghiuri.

1.2. SCADEREA A DOUA UNGHIURI

Scaderea a doua unghiuri se efectueazǎ astfel : Se inscrie valuoarea celor douǎ unghiuri unele sub altele pe grupe,grupa grade,grupa minute si grupa secunde, dupǎ

care se traseazǎ o linie sub cele douǎ. Scǎderea se efectueazǎ normal icepand de la dreapta spre stanga astfel : dacǎ grupa secundelor de la descǎzut este mai micǎ ca

grupa secundelor de la scǎzǎtor se opereazǎ un artificiu de complectare prin tran-

sformarea unui minut de la grupa minute, descǎzut, in secunde, astfel adǎugadu-se

la grupa secunde descazut inca 60 secunde face scǎderea la grupa secunde

posibilǎ.Acelasi artificiu se aplica si la grade, tinadu-se cont de minutul transformat

anterior,aici transformarea realizandu-se la nivel de grad ,transformare ce se va con-

sidera la scǎderea grupei grade.Valoarea rezultatǎ se inscrie sub linia trasatǎ.

EXEMPLU 1. Sǎ se efectueze scǎderea urmǎtoarelor douǎ unghiuri :

15s 30′ 10″ - 5s 20′ 20″ = 10s 09′ 50″

1) 30′- 1′ = 29′ ( 1′ = 60″)→ 10″ + 60″ =70″ -20″= 50″ ; 15s 30′ 10″ -

2) 29′- 20′ = 9′ ; 5s 20′ 20″

3) 15s -05s=10s. ----- ----- ----------

10s 09′ 50″

15s 29′ 70″ -

5s 20′ 20″

----- ----- ---------

10s 09′ 50″.

EXEMPLU 2.Sǎ se efectueze scǎderea urmǎtoarelor douǎ unghiuri :

30s 20′ 50″ - 22s 32′ 40″ = 7s 48′ 10″

1) 50″ - 40″ = 10″ ; 30s 20′ 50″ -

2) 30s - 1s = 29s (1s = 60′ )→ 20′ + 60′ = 80′ - 32′ =48 ′ ; 22s 32′ 40″

3) 29s - 22s = 7s. ----- ----- --------

7s 48′ 10″

29s 80′ 50″ -

22s 32′ 40″

----- ----- ----------

7s 48′ 10″.

1.3.INMULTIREA UNUI UNGHI CU UN NUMǍR INTREG

Inmultire valorii unui unghi cu un numǎr intreg se efectueazǎ prin inmultirea acelui

numǎr cu fiecare grupǎ in parte,grupa secunde , minute si grade avandu-se grijǎ ca valoarea unghiului sǎ fie adusǎ la valori subunitare raportat la grupa superioarǎ.Adicǎ,

dacǎ la grupa secunde valoarea rezultatǎ este mai mare de 60 ,atunci diferenta dintre valoarea secunde si 60 trebuie sǎ dea o valoate subunitarǎ de minut, in caz contrar

operatia se repetǎ panǎ se obtine aceasta, iar numǎrul de pǎrti a cate 60 unitati se tran-

sformǎ in minute,numǎr ce se adaugǎ la grupa minute.Acelasi rationament se aplicǎ si

la grupa minute,grupǎ ce se raporteazǎ la grupa grade.

EXEMOLU 1.Sǎ se efectueze urmǎtoarea inmultire :

15s 10′ 45″ · 3 = 45s 32′ 15″

1) 45″ · 3 = 135″ ( 135″-60″=75″→75″- 60″ = 15″) ; 60″ = 1′(2· 60″=2′) ;

2) 10′ · 3 + 2′ =30′ + 2′ = 32′ ;

3) 15s · 3 = 45s.

15s 10′ 45″ · 3 = 45s 30′ 135″.

EXEMPLU 2.Sǎ se efectueze urmǎtoarea inmultire :

47s 55′ 03″ · 4 =191s 40′ 12″

1) 03″ · 4 = 12″ ;

2) 55′ · 4 =220′ (220′ : 60′ = 3s si rest 40′) ;→ 60′ = 1s ;

3) 47s · 4 + 3s = 188s + 3s = 191s.

47s 55′ 03″ · 4 = 188s 220′ 12″ .

1.4.IMPǍRTIREA UNUI UNGHI CU UN NUMǍR

INTREG

Impǎrtirea unui unghi cu un numǎr intreg se efectueazǎ prin impǎrtirea fiecǎrei grupe

,adicǎ grupa grade,minute si secunde cu acel numǎr,aceasta pornindu-se de la stanga la

dreapta , unde se va tine seama de partea zecimalǎ a rezultatului,care se va transforma in

unitǎti fractionare de grad si care se va adǎuga grupei respective, aceasta panǎ la obti-

nerea subunitǎtilor de secundǎ.

EXEMPLU 1. Sǎ se efectueze urmǎtoarea impǎrtire :

15s 24′ 30″ :3 = 5s 8′ 10″

1) 15s : 3 = 5s ;

2) 24′ : 3 = 8′ ;

3) 30″ : 3 = 10″ .

EXEMPLU 2. Sǎ se efectueze urmǎtoarea impǎrtire :

21s 40′ 55″ : 4 = 5s 25′ 14″

1) 21s : 4 =5,25s→( 5s +0.25s =5s +0.25s · 60′ =5s + 15′ ;

2) 40′ : 4 =10′ ; 10′ + 15′ = 25′ ;

3) 55″ : 4 =13,75″→ se roptunjeste in plus : 14″.

1.5. DETRMINAREA VALORII UNGHIURILOR

EXPRIMATE CU ZECIMALE

In general unghiurile sunt exprimate pe cele trei grupe : grade, minute si secunde, dar sunt situatii cand proiectantul exprimǎ unghiu cu zecimale :1,3s,

situatie ce se rezolvǎ in baza unui calcul simplu. Se desparte partea zecimalǎ

de cea unitarǎ dupǎ care se imulteste partea zecimalǎ cu 60 obtinadu-se valoa-

rea grupei minute, dacǎ rezultatul este cu zecimale atunci se desparte mai

departe si se aplicǎ rationamentul de mai sus pentru grupa secunde.

EXEMPLU 1. Sǎ se exprime in grade sexagesimale urmatorul unghi :3,37s

1) 3,37s = 3s + 0,37s = 3s + 0.37 s · 60′/1s = 3s + 22,2′= 3s + 22′ + 0,2′ ;

2) 0.2′ · 60″/ 1′ = 12″ .

3,37s = 3s 22′ 12″.

NOTǍ : Pentru transformarea zecimilor de grad si a zecimilor de minut in minute, respectiv secunde sexagesimale s-a folosit regula de trei simplǎ :

a) 1s----- ----- -------- 60′ b) 1′ ----- ----- --------- 60″

0.37s----- ----- ---- x 0,2′ ----- ----- ------- x

-------- ----- ------ ------ -------- ----- ------ ------ .

0,37s · 60´ 0,2´ · 60 ˝

x= ----- ----- ----- x= ----- ----- -----

1s 1′