Matematica aplicata, Anul I

 

Analiza functionala

OPERATORI COMPACTI

 

DEFINITIA SI PROPRIETATILE OPERATORILOR COMPACTI

Fie si spatii liniare normate.

Definitia 1.1 Un operator liniar se numeste compact (complet continuu), daca pentru orice multime marginita multimea este relativ compacta in

Daca un operator liniar este compact, atunci el este si continuu.

Intr-adevar, daca este sfera unitate inchisa in , atunci este marginita si este continuu.

Vom nota cu multimea operatorilor liniar compacti care aplica in .

Teorema 1.1 Daca , iar este un sir de elemente din care converge slab catre , atunci converge in norma catre .

Demonstratie. Notam si . Sa presupunem ca sirul nu converge in norma catre . Exista atunci un numar si un sir crescator de numere naturale asa ca

Pe de alta parte, sirul fiind slab convergent este marginit. Deci si subsirul este marginit. Dar atunci care converge in norma si deci si slab catre un element . Deci Cum insa rezulta

Rezulta , adica in norma) ceea ce este in contradictie cu

Teorema 1.2 Multimea este un subspatiu liniar al spatiului .

Demonstratie. Fie si . Notam . Fie o submultime marginita a lui si un sir de elemente din . Fie asa ca si sa notam . Operatorul fiind compact, sirul contine un subsir convergent ; operatorul fiind compact, sirul contine un subsir convergent . Deoarece

sirul este convergent. Multimea este deci relativ compacta si in concluzie .■

Teorema 1.3 Daca este un spatiu Banach, atunci este un subspatiu liniar inchis al spatiului .

Demonstratie. Fie un sir de elemente din si asfel ca in . Sa aratam ca .

Pentru aceasta este suficient sa demonstram ca daca este un sir marginit de elemente din , atunci contine un subsir convergent.

Consideram deci sirul marginit . Exista un subsir al sirului asfel incat sa fie convergent. Din se poate extrage un subsir astfel incat sa fie convergent. Continuand procedeul si notand , sirul este convergent, .

Avem apoi

    Sirul fiind marginit exista astfel incat , deci

Deoarece , pentru orice exista astfel incat

Pe de alta parte, sirul fiind convergent, este un sir Cauchy, deci exista asfel incat

Daca in inlocuim cu si tinand seama de si obtinem

Deci este un sir Cauchy. Spatiul fiind complet, exista , deci este compact. ■

Fie multimea tuturor operatorilor compacti care aplica in si , multimea tuturor operatorilor liniari si continui care aplica in .

Teorema 1.4 Daca si , atunci .

Demonstratie. Deoarece rezulta ca multimea este marginita si atunci, intrucat rezulta ca multimea este relativ compacta. Deci .

Fie acum un sir astfel incat , . Cum rezulta ca exista un subsir astfel incat sirul este convergent.

Deoarece rezulta ca sirul este convergent. Prin urmare, .

2. ADJUNCTUL UNUI OPERATOR COMPACT

Fie si doua perechi duale de spatii liniare si un operator liniar .

Definitia 2.1 Se numeste adjunctul (sau dualul) lui , operatorul dat de formula:

, .

Operatorul U este evident liniar.

In teorema urmatoare, pentru doua spattii liniare normate vom considera perechile duale ,.

Teorema 2.1 Pentru ca un operator liniar si continuu , care aplica un spatiu liniar normat intr un spatiu Banach , sa fie un operator compact, este necesar si suficient ca adjunctul sau sa fie un operator compact.

Demonstratie. Sa notam cu bila unitate inchisa in spatiul si fie un sir de elemente din , deci cu . Multimea fiind slab compacta, un subsir al sirului slab convergent catre un element . Multimea fiind egal continua, sirul converge catre si in topologia convergentei total marginite. Pe de alta parte, notand cu bila unitate inchisa din saptiul , multimea este relativ compacta. Pentru orice numar exista deci astfel ca

, .

Rezulta .

Punand acum avem deci

, .

Prin urmare, este operator compact.

Suficienta rezulta din faptul ca fiind operator compact, adjunctul sau este de asemenea operator compact si deci operatorul este compact.

EXEMPLE DE OPERATORI COMPACTI

Spatiile considerate vor fi spatii Banach reale.

3.1 Operatorul matricial. Consideram spatiul si operatorul matricial

(unde ) cu conditia ca seria dubla sa fie convergenta.

Acest operator este compact.

3.2 Operatorul integral. Notam si . Fie o functie reala continua pe . Daca , atunci functia

este continua, deoarece

Sa consideram operatorul definit prin

Acest operator este compact.

Observatii. (1) Daca prin (3.3) se considera operatorul , atunci acest operator liniar este de asemenea compact.

(2) Daca prin (3.3) se considera operatorul , atunci acest operator liniar este de asemenea compact.

3.3 Pentru , definim operatorul liniar prin

Operatorul este operator compact.

3.4 Operatorul identitate este operator compact daca si numai daca spatiul este finit dimensional.

BIBLIOGRAFIE

Analiza functionala, Romulus CRISTESCU, Editura didactica si pedagogica, Bucuresti, 1983.

Analiza functionala, Danut RUSU.

https://en.wikipedia.org/wiki/Compact_operator