 |  |
|
Urmatoarea propozitie pune in evidenta legatura intre radacinile reale ale ecuatiei de gradul al doilea ax˛+bx +c=0, a≠ 0 si coeficientii acesteia. Mai precis are loc urmatoarea teorema:
Teorema Fie ax˛+bx +c=0 , a≠ 0, cu radacini reale x1,
x2 (distincte sau nu). Atunci au loc relatiile lui
Vičte:
x1+x2=-b ,
x1·x2=c .
a
a
Demonstratia acestei teoreme o gasiti in manualul de clasa a IX-a.
Observatii
1) Aceste formule permit sa calculam suma si produsul
radacinilor ecuatiei de gradul al doilea fara a
cunoaste efectiv radacinile.
2) Calculul mental al solutiilor. Exista ecuatii de gradul al doilea cu
radacini reale care pot fi precizate daca stim suma si produsul radacinilor.
Ex.: Ecuatia x˛-6x +5=0 are suma
radacinilor, S=6 si produsul lor, P=5. Numerele x1=1,
x2=5 verifica aceste conditii: 1+5=6, 1·5=5. Deci radacinile ecuatiei sunt x1=1, x2=5.
3) Ori de cate ori pentru o ecuatie de gradul al doilea se precizeaza o relatie
intre radacinile acesteia, atunci acestei relatii ii asociem relatiile lui
Vičte.
Formarea ecuatiei de gradul al doilea
Daca ne propunem sa gasim ecuatia de gradul al doilea care are ca radacini
numerele reale x1 si x2, atunci ne vom folosi
de urmatoarea teorema:
Teorema: Daca doua
numere reale x1, x2 au suma x1+x2=S
si produsul x1·x2=P, atunci ele sunt solutiile
ecuatiei
x˛-Sx +P=0 Cele doua numere exista daca si numai daca S2-4P≥0.
Exemplu: Sa
formam ecuatia de gradul al doilea daca radacinile ei sunt x1=-4 si x2=5.
Mai intai aflam suma si produsul
radacinilor apoi inlocuim in ecuatia x˛-Sx +P=0
Obtinem:
S=1, P= 20 si ecuatia x˛-x
Descompunerea trinomului de gradul al doilea in factori liniari
Fie trinomul de
gradul al doilea aX2+bX+c, a≠ 0, a,
b, c c R si Δ =b2-4ac,
Δ≥0. Deci ecuatia de gradul al doilea ax˛+bx +c=0, are radacinile reale x1, x2. Are loc urmatoarea teorema:
Teorema: Trinomul aX2+bX+c,
a≠ 0, a, b, c c R si b2-4ac≥0
se descompune in factori liniari dupa formula aX2+bX+c=a(x-x1)(x-x2), unde x1, x2 sunt radacinile reale ale ecuatiei ax˛+bx +c=0.
Demonstratia
acestei teoreme o gasiti in manualul de clasa a IX-a.
Exemplu: Sa descompunem in
factori trinomul: X2-3X+2.
Rezolvam
in R ecuatia atasata trinomului: x˛-3x +2=0 si gasim solutiile x1=2
si x2=1. Deci descompunerea va fi: X2-3X+2=(x-1)(x-2).
Definitie: O ecuatie cu doua necunoscute x, y se
numeste simetrica daca inlocuind pe y cu x, ecuatia
nu se schimba. Daca ecuatia simetrica are solutia (x0, y0),
atunci admite si solutia (y0, x0).
Exemple: Ecuatiile 5x+3xy+5y=10
si 2(x2+y2)-xy=1 sunt simetrice dar ecuatia x-2xy+3y=0 nu
este simetrica.
Definitie: Se
numeste sistem simetric sistemul format din ecuatii simetrice.
Sistemul simetric 
se
numeste sistem simetric fundamental. Rezolvarea sistemului simetric fundamental se face utilizand
ecuatia de gradul al II-lea in z
(o noua necunoscuta) cand se cunosc suma S=x+y si produsul P=xy
pentru necunoscutele x si y. Formam ecuatia z2-Sz+P=0, o rezolvam si-i determinam radacinile z1
si z2. Deci o solutie a sistemului este (x1=z1,
y1=z2)si pentru ca sistemul
este simetric avem si solutia (x2=z2, y2=z1).
Exemplu: Sa rezolvam sistemul
.
Vom forma ecuatia de gradul al doilea in z: z2-10z+21=0. Aceasta are solutiile z1=3 si
z2=7. Asadar sistemul are solutia S=.
Acest document nu se poate descarca
| E posibil sa te intereseze alte documente despre:
|
| Copyright © 2024 - Toate drepturile rezervate QReferat.com | Folositi documentele afisate ca sursa de inspiratie. Va recomandam sa nu copiati textul, ci sa compuneti propriul document pe baza informatiilor de pe site. { Home } { Contact } { Termeni si conditii } |
Documente similare:
|
Cauta document |