Operatii cu vectori

Operatii cu vectori

Reprezenatrea vectorilor cu sageti ne permite sa dam interpretari geometrice interesanete operatilor cunoscute cu vectori

S(x₁+x₂.Y₁+y₂)

A(x₁ Y₁)

(,)

B.

Teormea : Suma vectorilor

Fie vectori OA si OB cu A(x_{1 ,}y₁) , B₂(x_{2 ,}y₂) si suma , S(x₁+x₂.Y₁+y₂)

Segmentul OS este diagonala paralelogramului cu laturile OA si OB

Demonstartie deoarece mijloacele segmentelor AB si OS au aceelasi coordonate anume ,) , rezulta ca ele coincid , deci AOBS este paralelogram

Deci suma vectorilor si este vectorul unde S este cel de al patrulea varf al paralelogramului cu laturile OA si OB Acest procedeu de obtinere a sumei a doi vectori se numeste regula paralelogramului

Exemplu

Fie vectori si su A(2,1)so B(-1,3) pentru a gasi suma

= + desenam paralelogramul OASB

y

S(1,4)

B(-1,3)

A(2,1)

x

O

Teorema fie vectorii si cu A(x₁ Y₁) , B₂(x_{2 ,}y₂)

Diferenta intre - este vectorul +unde B'(-x_2'-y₂) este simetricul lui b fata de O

y

A(x₁ Y₁)

D

B₂(x_{2 ,}y₂)

x

=-

B'(-x_2'-y₂)

Diferenta dintre -este vectorul unde D este cel de al doilea patrulater varf al paralelogramului cu laturile OA si OB'(B este simetricul lui b fata de O)

Teorema Produsului unui vector cu un scalar

Fie vectorul cu A(x₁ Y₁) si

Produsul vectorului cu scalarul este vectorul cu proprietatile : OP= OA si P(OA, daca >0

P=O, daca =0

POA-[OA, dac<0

y

P(_x , _y)

A(x₁ Y₁)

x

O

A(x₁ Y₁)

x

P(_x , _y)

Fie vectorul ,A(4,2) pentru a obtine 3OA gasim punctul p in semidreapta (oa, astfel incat OP= 3OA

y

P(12,6)

A(4,2)

Reprezentarea vectorilor in spatiu

Am reprezentat vectorii (x,y) R² prin puncte sau sageti in plan .Pentru a face acelasi lucru cu vectori (x, y, z) R³ avem nevoie de un reper cartezian (ortogonal) in spatiu

Definitie .Trei axe Ox , Oy Oz cu aceeasi origine O,perpendiculare doua cate doua , formeaza un reper ortogonal Oxyz in spatiu orientarea axelor se alege , de obicei asa cum indica sagetile din figura

z

y

o

x

Vectori liberi

s-au definit vectori in functie de un reper ortogonal dat .In continuare , vom introduce notiune a de vector liber in plan fara a ne mai baza pe reper , ci flolosind proprietatile geometrice ale dreptei si planului

definitie se numeste segment arientat o pereche ordonata de puncte din plan .

Segmentul orientat corespunzator perechi de puncate (P,Q) se noteaza cu PQ punctul P situat pe primul loc se numeste origine iar Q se numeste exterminarea segmentului pq in cazul cand originea se extermitatea coincid se obtine segmentul orientat nul

Atentie Daca P Q aveam PQ=QP (egali de segmente neorientate )

Definitie .Dreapta PQ(PQ) se numeste dreapta suport a segmentului pentru segmentul orientat nul , dreapta suport este nedeterminata

Marimea (modul) .marimea sau modulul segmentului orientat .se noteaza cu PQ sau si este lungimea segmentului neorientat PQ.segementul orientat nul aare marimea zero

Directia . daca d este o dreapta atunci multimea formata din dreapta d si toate dreptele paralele cu d se numeste directia dreptei d

Sens .Pe orice dreapta exista doua sensuri , corespunzatoare celor doua semi drepte pe care fiecare punct le determina pe dreapta .

Sensul este indicat de varful unei sageti

Produsul unui vector cu un numar real

Definitie inmultirea unui vector cu un numar real .

Produsul dintre vectorul si scalarul este un nou vector , notat , definit astfel :

- Daca si , atunci are modulul egal x , directia lui si sensul lui pentru >0 si sens contrar lui pentru <0 ;

daca =0 sau =, atunci este .

Exemplu vectorul 2 are distanta si sensul lui , iar modul egal cu dublu modului lui. Vectorul - are directia lui , sensul contrar lui , iar modulul egal cu jumatate din modulul lui

2

-

Teorema Proprietatile inmultiri uni vector cu saclar .

-( + )= + , , g

-(+) =+,

- (+)=() ,,

-1 =,0 =

Exerciti :

1 Fie A si B doua puncte diferite .Demonstreaza ca M este mijlocul segmentului AB daca si numai daca +=

Daca M(AB) si AM=MB atunci =, deci +=

Reciproc .Fie M' mijlocul segmentului AB. Conform regulii paralelogramului +=2.Deci 2= adica M=M' este mijlocul segmentului AB

2) DOUa Paralelograme ABCD siAB'CD' au diagonala AC comuna .Demonstreaza vectorialca BB'DD' este paralelogram .

Cum ABCD este paralelogramul rezulta +=

Iar din faptul ca AB'CD' este paralelogram deducem +=.Asadar avem -='-sau 'B=, ceea ce inseamna ca BB'DD' este paralelogram

Fie triunghiul ABC si A',B'C' mijloacele laturilor BC , CA si respectiv AB

a) demonstreaza ca G astefl incat = .Arata ca =2 si ++=

b) Demonstreaza ca +2=.Arata ca B,C,B' sunt coliniare

c) Arata ca medianele AA' BB' , CC' sunt concurente

A

C' B'

G

B A C

a) Impartim prin doua puncte segmentu AA' in trei parti egale si notam cu punctul situat mai aproape de A' .Vectori ,au aceeasi directie acelasi sens si = , deci =.Avem 3=, de unde rezulta 2=-

Obtinem -2'=si ++=+(+)=+2'=

b) Cum B' este mijlocul lui AC rezulta ca +=2'.Aceasta inseamna casi ' au aceasi directie deci B,G,B' sunt coliniare

c) Aratam in mod analog ca C.G.C' sunt cooliniare .Prin urmare , AA',BB',CC sunt sunt concruente in G

Vectori coliniari

Definitie .Doi vectori sunt coliniari daca cel putin unul este nul sau daca amndoi sunt ne nuli si au aceeasi directie

Observatie :

din definitie rezulta ca vectorul nul este coliniar cu orice vector.

Doi vectori necoliniari sunt doi vectori nenuli care au directi diferite

Exemplu

Daca ABCD este trapez cu AB CD si AC BD =atunci vectori si ,si, si sunt coliniari iar vectori si , , si sunt becoliniari

D C

O

A B

Teorema Fie vector ne nul si un vector oarecare

1 Daca si sunt coliniari i exista un nu numar real l , unic astfel incat =l

2 Daca existal astfel incat =l, atunci si sunt coliniari

Demonstartie

1) Daca = , atunci ==0 deci l

Daca si , sunt coliniari , exista trei puncte coliniare Q,P,R astfel incat

= si=.Fie l= daca si au acelasi sens si l=-cand si au sensuri diferite

R P Q

Pentru astfel ales , vectorul are aceeasi directe , sens si marime ca , deci = l sau =l

Sa dovedim unicitatea numarului l a carui existenta am demonstrat -o .In acest scop presupem ca ca exista l_{1 +} l astfel incat =l si l .Din aceste egalitai deducem ca l =l sau ( l l ) = deci l l

Exerciti

1 fie si doi vectori necoliniari .Arata ca :

a)daca exista x, y astefel incat x + y=, atunci x=y=0

b) daca exista a , b ,a', b' astfel inact a+b= a=b' , atunci a = a' si b=b'

rezolvare

Sa presupunem prin reducere la absurd ca x0.Atunci di egalitatea x=y=, rezulta ca =- , deci vectorii si sunt coliniari , ceea ce contrazice ipoteza .Asa dar , avem x=0. Analog se demonstreaza ca y= o

b) Relatia data se scrie in forma: ( a-a') + (b-b') = de unde rezulta conform punctului a0 ca a-a' =o si b-b'=0 deci a= a' si b = b'

Descompunerea unui vector dupa doua directi date

Dupa directie pot fi definite de doi vectori necoliniari

Teorema .Fie si doi vectori necoliniari .Oricare ar fi vectorul , exista a b astfel incat =a,+b .Scalarii a si b cu aceasta proprietate sunt unici

Exemplu

Fie paralelogramul ABCD cu centrul in O punctele M (AB), N(AD) , astfel incat AM= AB si AN =AD

D C

N

O

A M B

Daca = si = sa descompunem vectorii , , si dupa vectori ne coliniari si

Definitie Fie xOy un reper cartezian .Consideram punctele A(1, 0) si B(0 ,1) .Vectori =si = se numesc versorii axelor de coordonare .Ei au modulul egal cu 1, Directiile Axelor si sensurile semiaxelor pozitive Ox si Oy

B(0,1)

A(1,0)

Exemplu fie Oy un sistem de coordonate si puncte A(-1,3) , B(4,-2)

Proiectia lui AB pe Ox este prAB=

Proiectia lui AB pe Oy este prAB=

A(-1,3) A(0,3) C

J

O

D B (O,-2) B(4-2)

2 IN reperul cartezian xOy se considera baza Ortonoma .Reprezinta punctele A, B,C,D, stiind ca =3+2 ; =3; =2;-3-2

y

C A

x

O

B

D