Valoarea de adevar a formulelor predicative inchise. Operatii cu formule predicative. Relatii intre cuantori

Valoarea de adevar a formulelor predicative inchise. Operatii cu formule predicative. Relatii intre cuantori

Ca si in cazul formulelor logicii propozitionale, rezolvarea problemei valorii de adevar a unei formule predicative presupune interpretarea acesteia. A interpreta o formula predicativa inseamna a-i asocia o clasa de obiecte numita univers de discurs U, care reprezinta sfera unei notuni-gen pentru termenii aflati in componenta fomiulelor predicative. Fie, de pilda, Px (x este profesor si U − clasa persoanelor cu studii superioare sau medii speciale). In acest caz, formula xPx ("orice persoana cu studii superioare sau medii speciale (x) este profesor") este falsa, in timp ce formula xPx ("exista persoane cu studii superioare sau medii speciale (x) profesori") este adevärata. In general, adevarul sau falsitatea unei scheme (formule) predicative este determinat(a) de urmatoarele conditii:

. o schema inchisa (cuantificata) (propozitie simpla, atomara, de tipul xPx) este adevarata universal pentru un univers (U) nevid, numai daca toate obiectele din universul U au proprietatea P, si este falsa numai daca in U exista cel putin un obiect care nu are proprietatea P;

. o schema inchisa (cuantificata) (de tipul xPx.) este adevarata existential pentru un U nevid, numai daca in U exista cel putin un obiect care are proprietatea P, si este falsa numai daca niciun obiect din U nu are proprietatea P.

La schemele de functii si de propozitii pot fi aplicati operatorii propozitionali. Daca predicatul P este determinat in universul U, atunci si negatia accstuia, adica predicatul ¬P, de asemenea este determinat in U (vezi figura 5.1).

Formula ¬Px este adevarata numai pentru acei x din U pentru care Px este falsa. Deci, predicatele P si ¬P sunt complementare, alcatuind doua clase (multimi) contradictorii care epuizcaza universul U.

Daca universului U ii corespund predicatele P si Q, atunci acestui univers ii vor corespunde si predicatele compuse:

1 Px Qx;    4. Px → Qx;

2. Px Qx;   5. Px ← Qx;

3. Px w Qx;  6. Px ↔ Qx.

1. Formula prcdicativa Px) Q(x) este adevarata numai pentru acei x din U pentru care ambele predicate Px si Qx sunt adevarate. Cu alte cuvinte, acest predicat compus este adevarat numai pentru acei x care reprezinta intersectia valorilor de adevar ale predicatelor Px si Qx (figura 5.2).

2. Formula predicativa Px Qx este adevarata numai pentru acei x din U pentru care cel putin unul din predicatele Px si Qx este adevarat. Cu alte cuvinte, acest predicat compus este adevarat pentru acei x din U care alcatuiesc reuniunea valorilor de adevar ale lui Px si Qx (figura 5.3).

3. Formula predicativa Px w Qx este adevarata numai pentru acei x din U pentru care Px)este adevarat iar Qx este fals, sau Px este fals iar Qx adevarat (fig. 5.4):

(Px w Qx) ≡ (Px ¬Qx) (¬Px Qx)].

4. Formula predicativa Px→Qx este adevarata numai pentru acei x din U pentru care cel putin unul dintre predicatele ¬Px si Qx este adevarat (reuniunea valorilor de adevar ale lui Px si Qx), deoarece (Px→Qx) ≡ (¬Px Qx) (fig. 5.5).

5. Formula predicativä Px←Qx este adevarata numai pentru acei x din U care alcatuiesc reuniunea valorilor de adevar ale lui Px si Qx, deoarece (Px←Qx) ≡ (¬Px Qx) (fig. 5.6).

6. In fine, formula predicativp Px↔Qx este adevarata numai pentru acei x din U pentru care este adevarata cel putin una din formulele Px Qx si ¬Px ¬Qx, deoarece

(Px↔Qx) ≡ (Px Qx) (¬Px ¬Qx) (fig. 5.7).

Cele expuse mai sus ne permit sa formulam urmatoarea concluzie:

Operatorii propozitionali transforma formulele predicative simple in formule predica-tive compuse si, prin aceasta, logica propozitionala isi largeste considerabil sfera de aplica-bilitate in procesul formalizarii judecatilor naturale.

Daca in formula predicativa P(x₁, x₂,. . . , x_n), in care P este constanta predicativa, iar x₁, x₂, , x_n − variabile individuale, vom inlocui variabilele individuale cu constante individuale, vom obtine o propozitie atomara P(a₁, a₂, ,a_n) adevarata sau falsa. Atunci cand fiecare element al universului U poseda insusirea P, obtinem formule cuantificate de tipul xPx. Daca doar unele elemente ale acestui univers poseda insusirea P, obtinem formule predicative cuantificate de tipul xPx.

Cuantorii universali si existentiali pot fi tratati ca generalizari ale conjunctiei si, respectiv, ale disjunctiei neexclusive (inclusive):

Daca formulele predicative contin variabile care apartin multimilor infinite, acesti cuantori exprima conjunctii si disjunctii infinite.

Pentru a transforma un predicat poliadic intr-o propozitie, trebuie cuantificata fiecare variabilp individuala. Cuantificand o formula predicativa diadica, de tipul R(x, y), obtinem 8 combinatii:

Enunturile 1) si 2), de asemenea 3) si 4), au acelasi sens logic si, deci, aceeasi valoare de adevar. Daca este adevarat 6), atunci este adevarat si 5) (dar nu si myers). Daca este adevarat 8), atunci este adevarat si 7) (dar nu si inivers).

Prin urmare, cuantorii omogeni (de acelasi fel) sunt comutativi, iar cuantorii eterogeni sunt necomutativi: