Numarul Pi

Numarul Pi

In cuadratura cercului asa cum este numita prescurtat,este vorba de un cuadrat ,adica patrat,si de un cerc.Enuntul complet al acestei vestite probleme nerezolvate asa cum s-a propus este urmatorul:"se da un cerc;sa se construiasca numai cu linia si compasul patratul care inchide aceeasi arie ca si cercul".

Problema a fost pusa in acest mod la greci de cel putin 2400 de ani,cu mult inainte de Euclid,si a preocupat atat pe matematicieni cat si pe nespecialisti.

Era pusa astfel o problema ,adica sa se realizeze numai cu rigla si compasul ,fiindca in epoca de aur greceasca a matematicienilor (600-200 i.e.n.) se considera ca numai aceasta era o rezolvare intr-adevar pur geometrica.

Legata de aceasta cuadratura a cercului este si rectificarea (aflarea lungimii) cercului ,adica determinarea prin calcul sau construirea unui segment de linie dreapta de aceeasi lungime ca si cercul.

In papirusul Rhind al lui Ahmes folosindu-se fractia 1/9,se arata ca aria cercului (in notatia noastra de astazi),daca d este diametrul cercului ,ne este data de relatia:

(1-1/9)d*d-1/9(1-1/9)d*d ceea ce inseamna :(8/9d)^2.

Deci cercul de diametru d ar fi echivalent cu un patrat de latura a=8/9d.

Sa vedem cat de apropiata este aceasta expresie de formula pa care o folofim azi pentru aria cercului si patratului echivalent.Daca a este latura patratului si d diametrul cercului avem: a^2=π d^2/4,de unde a/d=1/2√π

Insa avem pentru √π.=1,7724539.deci a/d=0.8862269.

Egiptenii ,luand pentru a/d=8/9=0.8888..se vede ca erau foarte apropiati de valoarea folosita azi pentru √π/2.

Daca egiptenii au considerat valoarea prin exces √π/2 ≈8/9,asta inseamna ca avem pentru

Π ≈ 4(8/9)^2=256/81≈3.1604; maim area decat valoarea reala a lui π cu aproximativ 0.0188.Aceasta valoare a lui π este cuprinsa intre:22/7<256/81<19/6.

Dar precum se va vedea Arhimede a considerat pentru π valoarea 22/7,deci valoarea lui π data de egipteni era mai apropiata de cea reala cunoscuta astazi decat cea stabilita mult mai tarziu de Arhimede,acum 2200 ani(in sec III i.e.n).Dupa cele aratate in anul 1950 de M.Bruins ,care a descifrat niste tablete babiloniene gasite la Susa in Iran,babilonienii au folosit si ei (ca si egiptenii tot pe la inceputul celui de al II-lea mileniu i.e.n.) pentru π ,valoarea 3.125(deci babilonienii nu au folosit ,cum s-a crezut pentru mult timp,pentru π valoarea 3),3.125 fiind mai mica decat valoarea reala a lui π cu aproximativ 0.0166.

Arhimede in tratatul sau "Asupra masurarii cercului ",are trei propozitii care se refera la rectificarea cercului ,deci la determinarea lui π(fara sa numeasca ,bineinteles,cu π raportul dintre lungimea cercului si diametrul sau ,fiindca acest lucru s-a facut mai tarziu ,pentru timpul lui Euler).In prima propozitie Arhimede arata echvalenta ce exista intre cuadratura cercului si rectificarea lungimii cercului.In cea de a treia propozitie ,Ahimede stabileste ca perimetrul cercului este mai mic de 22/7 ori ca diametrul acestuia ,dar superior lui 61/17 din acest diametru.

Metoda pe care o foloseste Arhimede pentru calcularea numarului π poarta numele de metoda perimetrelor,si anume "daca intr-un cerc de raza 1 inscriem pologoane regulate ,cu un numar de laturi din ce in ce mai mare(prin dublarea numarului de laturi)

semiperimetrele lor formeaza un sir crescator de numere , apropiindu-se mereu de valoarea lui π ,ramanand insa mereu mai mici ca π. De asemenea ,daca circumscriem cercului de raza 1 poligoane regulate,cu numar din ce in ce mai mare(tot prin dublarea numarului de laturi) ,semiperimetrele lor formeaza un sir descrescator de numere ,apropiindu-se mereu de valoarea lui π, ramanand insa mereu mai mari ca π

Asadar ,valoarea lui π ramane mereu cuprinsa intre semiperimetrul poligonului regulat inscris si cel al poligonului regulat circumscris cercului de raza 1,cu acelasi numar de laturi.

Arhimede pornind de la semiperimetrul hexagonului si dubland mereu ,ajunge la concluzia ca in cazul poligonului de 96 de laturi avem:

223/71<(99*66)/(8069/4)<(96*156)/(18693/2)<22/7;

Ceea ce in fractii zecimale inseamna:3.01408<π<3.1428.(bineinteles ,in antichitate si in tot evul mediu nu s-au utilizat fractiile zecimale; deci Arhimede a lucrat numai cu fractii ordinare).

Dupa epoca de aur greceasca ,calculul lui π sub forma de raport a fost dus ceva mai departe de arabi in secolele IX-X e.n.Acesta n-a fost reluat decat in sec XV de Nicolas de Cues si Regimontanus(Johannes Müller;1436-1476).Odata cu reluarea acestei probleme a calcularii lui π si deci a cuadraturii cercului au aparut o serie intreaga de cuadratori utopici (inca nu se numai cuadratori).Cuadratura cercului,asa cu a fost pusa initial de greci ,nu este realizabila si s-a demonstrate ca nu poate fi rezolvata.

La sfarsitul secolului XVI,unul din acesti cuadratori utopici ,Simon du Chêne

sau Van der Eyck din Tarile de Jos a supus printului regent o pretinsa solutie;

acesta i-a trecut-o lui Adriaan Anthonitz(1527-1607),care i-a propus lui Ludolph van Ceulen(1540-1610) sa determine numerul π in limite mai restranse decat o facuse Arhimede cu 18 secole mai inainte.Astfel acest van Ceulen a stabilit valoarea lui π

(prin metoda perimetrelor) cu 34 de zecimale exacte.Cand Adriaan Anthonitz a aflat de acest rezultat s-a apucat si el sa determine valoarea lui π si a aflat ca este cuprins intre 333/106 si 377/120,de aici a scos o valoare medie pentru π ,355/113,cunoscuta dupa aceea sub numele de aproximatia lui Metius.

Odata cu François Viet 1540-1603 se trece la determinarea numarului π prin metode analitice.Acesta,in anul 1593,in lucrarea sa intitulata"Variorum de rebus responsorum libri VIII"(8 carti despre raspunsul la diferite probleme),a demonstrate ca raportul dintre aria patratului inscris in cerc si aria acestuia se poate exprima prin produsul:√1/2*√(1/2+1/2√1/2.)cu un numar finit de factori (daca a este primul factor,urmatorul este √(1/2+a/2) ).

In urma John Wallis 1616-1703,in 1665 in lucrarea sa "Arithmetica Infinitorum " (Aritmetica infinitilor), a stability pentru π valoarea : π/2=2/1*2/3*4/3*4/5*6/5*6/7*8/9..la nesfarsit.

Dar exactitatea formulei a fost contestata si atunci lordul W.Brauncker(1620-1684) i-a dat justificarea ,aratand ca valoarea lui π este cuprinsa intre 3.141592653569 si 3.141592653696.

Insa,cu aceasta ocazie ,Brauncker a stability cu ajutorul fractiilor continue o formula pentru π si anume:

4/ π =1+-

2+9-

Insa,atat formula lui Wallis,cat si cea a lui Brauncker nu sunt practice pentru calculul lui π .Dupa Brauncker , James Gregory (1638-1675) , Nicolaus Mercantor (1620-1687), Newton(1642-1727) si Gatt fried Wilhem Leibniz (1646-1716) au aflat valoarea luiarctg x printr-o serie in x,data de relatia:

arctg x =x - x^3/3 + x^5/5 - x^7/7 .

Daca aici facem x=1,avem arctag 1= π /4 ,deci π /4=1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9.

Dar seria din partea a doua converge prea incet spre a putea calcula cu usurinta pe π

Si tot astfel ,din expresia stabilita de Newton ,care da pe arcsin x printr-o serie in x data de relatia:

arcsin x =x + (1/2)*(x^3/3) + (1/2)*(3/4)*(x^5/5) + (1/2)*(3/4)*(5/6)*(x^7/7) + ..

Daca facem x=1 atunci arcsin 1= π/2.

Obtinem π/2=1 + 1/2*1/3 + 1/2*3/4*1/5 + 1/2*3/4*5/6*1/7 + .,care de asemenea este greoaie pentru aflarea lui π

John Machin (1685?-1751) a gasit ca se poate scrie: π/4 = 4 arctg 1/5 - arctg 1/239,iar aceasta formula este mult mai usoara pentru calculul lui π si a fost mult utilizata ulterior.

Iata cum stabilim aceasta formula.

Sa notam cu a = arctg 1/5,deci tg a = 1/5,atunci tg 2a =(2 tg a)/(1-tg^2 a) = 5/12.

si tg 4a = 2tg 2a/(1-tg^2 a)=120/119.

Aceasta inseamna ca 4a = arctg 120/119 sau 4arctg 1/5 = arctg 120/119 (1)

Insa arctg 120/119 este mai mare ca arctg 1= π/4.

Sa notam din nou cu x= arctg 120/119 si cu y-arcul pe care trebuie sa-l scadem din x spre a obtine pe π/4.Asadar x - y = π/4 (2)

Aplicand acestei ecuatii functia tg avem:tg(x-y) = (tg x - tg y)/(1+tg x *tg y)=tg π/4=1, dar tg x=120/119, deci (120/119-tg y)/(1+120/119*tg y)=1 ceea ce ne duce la tg y =1/239

Si, tinand seama de (2):arctg 120/119 - arctg 1/239 = π/4

Luand in considerare pe (1) obtinem in final 4 arctg1/5 - arctg 1/239 = π/4.

Acum se pare ca pentru calculul lui π se poate folosi mai simplu , formula

π/4 = arctg 1/5 - arctg 1/70 + arctg 1/99, din cauza usurintei cu care se pot face impartirile.Gauss a stability o metoda generala pentru furnizarea de formule analogice cu cea a lui Machine pentru calculul lui π cu oricate zecimale dorim.

Cand a fost desemnat prin π raportul dintre lungimea cercului si diametrul sau?De cand gasim in lucrarile de matematici numarul π cu aceasta semnificatie?

Cine citeste lucrarea lui Issac Barrow(1630-1677) intitulata "Lectiones habitae in Schalis Publicis Academiae Cantabrigiensis"(lectii tinute in scoala publica a academiei din Cambridge) sau cea a lui W.Oughtred "Mathematical recreations" va constata ca apare π , dar desemneaza cu totul altceva,lungimea cercului.

Abia catre sfarsitul secolului XVII dup ace rapoartele au fost asimilate cu numere,abia dupa aceea apare π in sensul de astazi.Cel dintai care reprezinta pe 3,14.prin π este W.Jones (1675-1749) in anul 1704 ;apoi Christian Goldbach (1690-1764) in anul 1742. Dar cel care l-a incetatenit pe π in matematica a fost Euler ,care in "Introductio in analysm infinitorum"(introducere in analiza infinitilor),publicata in 1748, a folosit pentru 3,14. notatia π.Cum aceasta a fost o carte de capatai pentru matematicieni ,se poate spune ,pe buna dreptate ca lui Euler ii se datoreaza notatia π ,care este inceputul cuvantului grecesc perimetru ,utilizat de Arhimede in lucrarea sa despre crec.

Si acum care sunt cei care au calculate zecimalele lui π?

Am aratat mai sus ca Ludalph van Ceulen a calculat  π cu 34 de zecimale la sfarsitul secolului XVI.Dupa el,Abraham Sharp(1651-1742) l-a calculat in 1699 cu 71 de zecimale exacte (din 72 date).Urmeaza Machin cu formula data mai sus ,care in 1706 il calculeaza cu 100 de zecimale exacte.T.F.Lagny (1660-1734) in 1719 l-a calculat pe π cu 127 de zecimale ,din care cea de-a 113-a era eronata.

In 1789 Vega (1754-1802)l-a calculat cu 126 de zecimale exacte (din 143 date);in 1794,refacand calculul a dat de 136 de zecimale exacte.

Pe urma Callet (1744-1799) a dat152 de zecimale exacte ,in 1795 Rutherford ,in 1841 tot 152 de zecimale exacte (din 208);Dahse ,in 1844,200 de zecimale exacte ;Thomas Clausen,in 1847 a dat 248 de zecimale exacte ;Rutherford a reluat calculul si a dat pentru π,in 1853,440 zecimale exacte .

Tot in anul 1853,William Shanks a dat ,cu detalii calculul lui π cu 607 zecimale in lucrarea sa "Contributiens to mathematics",cand a calculate din nou pe π cu 707 zecimale din care insa numai 527 erau exacte ,aratand ca s-a folosit pentru calcul de formula lui Machin.Cele 707 zecimale ale lui Shanks sunt trecute intr-un tablou la Paris ,la Palais de la Découverte,unde se tin conferintele stiintifice.

In 1946 calculul lui π a fost reluat in SUA cu ajutorul masinilor de calcul electrice ;1947 Fergusson si Wrench,fara sa stie unul de altul ,l-au calculate cu 808 zecimale exacte.

In anul 1950 masina electronica de calcul ENIAC a calculate 2035 zecimale iar in 1958, dodernele masini electronice din SUA l-au calculat pe π cu 10000 zecimale.