Formulele Newton-Cotes de tip deschis

Formulele Newton-Cotes de tip deschis

Formulele de integrare numerica deschise se obțin folosind polinoame de interpolare pe noduri echidistante printre care nu se afla cel puțin unul din capetele intervalului de integrare.

Daca h= și x=a+kh, , atunci:

.

Pe fiecare interval construim polinomul de interpolare, de forma (12), al funcției f pe nodurile x+i, , cu :

p(x+t)=f(x+)+

Pentru f restul r=f-p este:

r(x+t (C(t)), (vezi formula (14)).

Folosind un raționament asemanator celui din paragraful precedent pentru obținerea formulelor (16), (18), obținem aici:

R(f)=

Cazuri particulare.

I. Pentru m=2, s=3 rezulta:

Deoarece obținem formula:

n,

unde restul este:

R(f)=

Pentru n=1 rezulta:

II. Pentru m=s=3 se obține formula:

unde:

R(f)=

Daca n=1 atunci:

III. Pentru m=4, s=5 se obține formula:

unde :

R(f)=

Pentru n=1 avem:

IV. Pentru m=s=5 rezulta formula:

unde:

R(f)=

Pentru n=1 avem:

Comentarii. 1. In general, pentru m=2q vom lua s=2q+1, deoarece:

De aceea, și in acest caz, dintre formulele Newton-Cotes deschise sunt preferate cele cu m par.

Comparand resturile din formulele inchise și deschise, care folosesc același numar de noduri pe fiecare subinterval , vom constata ca pentru un numar de noduri de cel mult trei sunt preferate cele de tip deschis (valoarea absoluta a restului este mai mica). Pentru un numar de noduri in fiecare subinterval mai mare de patru, ordinul de exactitate al celor inchise este mai mare.

Modul de aplicare al acestor formule este același cu cel folosit in paragraful precedent.

Exemple. In tabelele care urmeaza sunt trecute rezultatele obținute aplicand formula (37) integralelor specificate in fiecare caz. Numarul reprezinta diferența in valoarea absoluta maxima admisa dintre doua aproximații succesive.