Administratie | Alimentatie | Arta cultura | Asistenta sociala | Astronomie |
Biologie | Chimie | Comunicare | Constructii | Cosmetica |
Desen | Diverse | Drept | Economie | Engleza |
Filozofie | Fizica | Franceza | Geografie | Germana |
Informatica | Istorie | Latina | Management | Marketing |
Matematica | Mecanica | Medicina | Pedagogie | Psihologie |
Romana | Stiinte politice | Transporturi | Turism |
Formulele Newton-Cotes de tip inchis
Fie h=, nN și x=a+kh, .
Avem:
=.
Pe fiecare interval , , consideram punctele echidistante :
x+i, =,
Pe acest sistem de noduri consideram formula de interpolare a lui Newton:
f=p+r, unde :
p(x)=f(x)+>
r(x)=f<x,,x+,,x+s>
Pentru diferențele divizate folosim formula de calcul cu ajutorul diferențelor ascendente:
f< >=
Se efectueaza in (9) și (10) schimbarea de variabila x=x+t
Obținem:
p(x+t)=f(x
r(x+t f(x
Remarca. In (12) pasul diferențelor ascendente este
Daca fC, exprimand diferența divizata din (13) cu ajutorul derivatei de ordinul s+1, obținem:
r(x+t)= (C(t)),
unde C este un punct intermediar punctelor x+t, x+i, .
Avem:
.
In ambele integrale din membrul drept efectuam schimbarea de variabila x=x+
Obținem:
Utilizand (12) rezulta:
Deoarece și (15) rezulta:
,
unde:
R(f)=
Formula (16) reprezinta forma generala a formulelor Newton Cotes de tip inchis.
Pentru studiul restului presupunem ca f. In acest caz avem:
Deci:
R(f)=
Cazuri particulare.
I. Formula generalizata a trapezelor.
Aceasta fprmula se obține pentru m=s=1. Rezulta
Din (16) deducem:
Pentru n se obține formula :
(formula generalizata a trapezelor).
Pentru n=1 se obține formula clasica a trapezelor:
Studiul restului. Din (18) rezulta:
R(f)=
Folosind formula de medie pentru integrala, obținem:
R(f)=
Deoarece f rezulta ca exista un punct , astfel incat :
Obținem in final pentru rest expresia:
R(f)=-
II. Formula generalizata a lui Simpson.
Aceasta formula se obține pentru m=2, s=3. In acest caz avem Din (16) rezulta:
Ultima integrala are valoarea zero. Apoi:
Pentru n dupa un calcul elementar, se obține formula:
(formul generalizata a lui Simpson).
Pentru n=1 se obține formula clasica a lui simpson:
Studiul restului. Din (18) rezulta:
R(f)=
Cu toate ca t(t-1)(t-2)(t-3) nu pastreaza semn constant pe se poate arata ca R(f) se poate scrie sub forma:
R(f)=
Se obține in final pentru rest evaluarea:
(22) R(f)=-
III. Formula generalizata a lui
Aceasta formula se obține pentru m=s=3. In acest caz avem:
Din (16) rezulta:
Deoarece:
dupa inlocuiri, pentru rezulta formula:
(formula generalizata a lui Newton).
Pentru n=1 se obține formula clasica a lui Newton:
Studiul restului. Din (18) rezulta:
R(f)=
Deoarece f, rezulta ca exista cu proprietatea :
In final se obține pentru rest expresia:
R(f)=- , .
Comentarii. 1. Pentru m=2q se poate lua s=m+1. Avem:
p(x+t)=p(x+)+f(x).
Deoarece:
,
rezulta:
și deci:
Formula (25) este exacta pentru polinoame de grad cel mult 2q+1.
Pentru m=s=2q+1 se obțin formule exacte pentru polinoame de grad cel mult 2q+1.
Din aceste motive, de obicei se prefera aplicarea formulelor de integrare numerica pentru m par.
Numarul n al punctelor se alege astfel incat valoarea absoluta a restului sa fie mai mica decat eroarea admisa. De exemplu, pentru a aproxima valoarea integralei cu eroarea data , folosind formula lui Newton (23), procedam astfel:
a) Daca se poate calcula numarul M=sup, sau un majorant al acestuia , atunci
x
vom lua pentru n cel mai mic numar natural cu proprietatea:
, respectiv
Cu n astfel determinat, vom aproxima valoarea integralei cu primul termen al membrului drept din formula (23).
b) Daca nu se poate calcula M și nici un majorant al acestuia, atunci pentru valori crescatoare ale lui n(obținute printr-un algoritm oarecare) calculatorul ne va da un șir de valori, aproximații pentru integrala. Pentru n suficient de mare, diferența in valoare absoluta intre doua valori consecutive va fi mai mica decat . Calculele pot fi oprite in acest moment.
. Formula lui Romberg. Formula:
din algoritmul de accelerare al lui Richardson, (formula (5) din capitolul IV), pentru x , devine:
, i, k
Fie aproximațiile integralei , calculate cu formula trapezelor (19), unde n=p2, p. Deci:
R
Metoda descrisa de formulele (26) și (27) se numește metoda lui Romberg.
Exemplul 1. Sa se aproximeze valoarea integralei cu eroarea , cu formula lui Newton.
Soluție. f(x)=
Condiția este echivalenta aici cu :
Rezulta n Cel mai mic numar natural cu aceasta proprietate este 3. Vom lua n=3. Deci: x=0, x=, x=, =1.
Obținem:
Rezulta:
Valoarea exacta a integralei este ln2=0,69314718056.
Exemplul 2. Sa se calculeze cu o eroare , folosind formula lui Simpson.
Soluție. Derivata a patra a funcției f(x)= este :
f(x)=
Cei doi termeni din expresia lui f sunt pozitivi și descrescatori pe intervalul
Rezulta
Din:
rezulta n16,8. Vom lua n=3.
Deci: x=, x=, x=, x=.
Obținem:
Folosind al doilea procedeu se obțin rezultatele din tabelul urmator:
n |
I |
|
|
Exemplul 3. In tabelul urmator sunt trecute rezultatele obținute aplicand formula lui Simpson pentru integrala:
Folosind al doilea procedeu, cu precizat.
n |
|
|
|
|
|
Exemplul 4. Pentru integrala:
din exemplul 1, aplicam acum metoda lui Romberg (26)+(27), cu p=1.
In tabelul care urmeaza apar primele patru coloane din
tabloul lui
k |
R |
R |
R |
R |
|
|
|
|
|
Valoarea exacta a integralei, cu 11 zecimale, este 0,69314718056.
Primele trei zecimale exacte, in prima coloana se obțin pentru k=4, deci prin insumarea a 2-1=15 termeni in (27). Cu același numar de termeni, se obțin in coloana a patra 8 zecimale exacte in R. Insumand termeni in , in se obțin 11 zecimale exacte.
Acest exemplu este ilustrativ pentru puterea de accelerare a algoritmului lui Richardson (formula (27) este obținuta din formula trapezelor).
Acest document nu se poate descarca
E posibil sa te intereseze alte documente despre: |
Copyright © 2024 - Toate drepturile rezervate QReferat.com | Folositi documentele afisate ca sursa de inspiratie. Va recomandam sa nu copiati textul, ci sa compuneti propriul document pe baza informatiilor de pe site. { Home } { Contact } { Termeni si conditii } |
Documente similare:
|
ComentariiCaracterizari
|
Cauta document |