Minti luminate

MINTI LUMINATE   

NR.2/2010

EDITORIAL

Incepand cu data de 1 octombrie debuteazǎ , la noi in scoalǎ, jurnalul de culturǎ matematicǎ "Minti luminate " . Acesta isi propune sǎ vǎ dezvǎluie partea umanǎ , teoreticǎ si practicǎ a matematicii . In paginile ei vǎ vom dezvǎlui lucruri mai putin cunoscute, dar bine pǎstrate , din istoria matematicii : asa cum au apǎrut , cum ne-au influientat , cum au ajutat la dezvoltarea matematicii si la ce ne folosesc . Fiecare numǎr va trata cate un subiect anume si ne-am gandit cǎ cel mai important , interesant si mai usor pentru viitorul vostru ar fi "Multimile ". Acestea apar si in programa de evaluare nationalǎ . La sfarsit apar exercitii de inteligentǎ (IQ). Primul elev care le va rezolva va primi un "Premiu surprizǎ " . Vǎ invitǎm sǎ veniti cu articole , probleme , rezolvǎri si propuneri pe care ati dori sǎ le gǎsiti in ziarul nostru !

SPOR LA COLABORARE , CITIT SI REZOLVAT !

PSIHOLOGIA MULTIMILOR

De Gustave Le Bon

"Intram intr-o adevarata era a multimilor" afirma Gustave Le Bon in cartea "Psihologia multimilor",. "Soarta natiunilor nu se mai hotaraste in consiliile principilor", spune autorul, "ci in sufletul multimilor".

Gustave Le Bon (1841-1931), medic si sociolog francez, s-a numarat printre intelectuali parizieni. Succesul acestei carti se datoreaza, originalitatii autorului. Concluziile sale sunt bazate pe intuitie, ca in cazul afirmatiei: "Multimile sunt feminine, iar cele mai feminine sunt multimile latine".

Un rol important in intelegerea multimilor si a modului in care ele actioneaza, Le Bon il acorda factorilor indepartati, precum neamul, traditiile, timpul. Totodata autorul a considerat necesara dedicarea unui capitol special prezentarii conducatorilor multimilor si a mijloacelor lor de convingere. Este un aspect deosebit de important, pentru acesti conducatori, care au detinut si detin inca aceasta pricepere a manipularii multimilor, folosita in atingerea scopurilor personale, au mobilizat masele de oameni credincioase lor. Un astfel de conducator a fost Napoleon Bonaparte. Acest fapt este incontestabil, gandindu-ne numai la numarul impresionant de soldati pe care i-a convins sa lupte pentru cauza sa in si pe care i-a trimis la moarte curata in campania din Rusia. Armata sa intrunea toate caracteristicile unei multimi, lipsita de ratiune si supusa orbeste iluziilor create de conducatorul ei. Se pare insa ca Napoleon s-a inselat in ceea ce priveste multimile spaniole si rusesti.

Cartea se remarca si prin actualitate.Spre exemplu, "reusita" reclamelor comerciale atat de intens practicate in zilele noastre isi gaseste o explicatie deosebit de logica in faptul ca afirmarea repetata a unor texte simple, duce la implementarea ideii in inconstient. Dupa parerea mea cartea "Psihologia multimilor" de Gustave Le Bon cuprinde adevaruri demne de luat in considerare

Prentu Gabriel clsVIII C

Cand multimile se amuzǎ . .

Vǎ invit sǎ facem o cǎlǎtorie imaginarǎ in tara numitǎ "NUMERIA".Aici trǎiesc in bunǎ pace si intelegere: multimile N; Z; Q; R.

Sǎ facem cunostintǎ cu prima multime: N -multimea numerelor naturale. Purtǎtorul ei de cuvant ne spune: Populatia noastrǎ este numeroasǎ; nu stim care este cel mai in varstǎ cetǎtean al acestei multimi , in schimb stim care este cel mai tanǎr. El se numeste 0. Are o personalitate deosebitǎ: nu se poate impǎrti sau simplifica cu 0, este elementul neutru in rǎzboiul cu adunarea.

Sǎ facem cunostintǎ cu a doua multime Z. Purtǎtorul ei de cuvant ne declara: ,, Suntem genul acela de numere dintr-o bucatǎ'',la noi nu vei intalni fractiuni sau cifre din alea aditionale de le zice zecimale.Pe cartea de identitate scrie cǎ suntem negative sau pozitive. Dar nu uita semnele, cǎ de se intalnesc doua negative . e cu poveste, nu glumǎ.

Sǎ facem cunostintǎ cu a treia multime Q:Purtǎtorul ei de cuvant ne declara: Suntem cunoscute sub numele de fractii si suntem obtinute prin castigarea rǎzboiului cu impartirea. O fractie ia nastere prin divizarea a douǎ numere intregi, de aceea noi convetuim atat de bine cu numerele intregi si naturale.

Dupa cum bǎnuiti mai existǎ si numere ''vanitoase''care detin controlul peste radical si stǎpanesc zecimalele neperiodice infinite . Au o bogatie imensǎ: numǎrul pi (π) si numǎrul de aur..considerate de-a lungul timpului numere misterioase.

Numǎrul π=3,1415926535 . are o infinitate de numere zecimale neperiodice ; s-a introdus ca raportul dintre lungimea cercului si diametru.Chiar si in Biblie acest numǎr este folosit in lucrarea "Carte I a regilor ,ca fiind 3, cu aproximatie. π=1-1/3+1/5-1/7 . .Acest numǎr se numeste transcendent, adicǎ nu poate fi precizat printr-un numǎr finit de operatii algebrice.

Numǎrul de aur Φ.Uriasa piramidǎ a lui Keops cu baza un pǎtrat cu latura de 230 m si avand inǎltimea de 148m rǎmane o ofrandǎ vesnicǎ oferitǎ de preotii egipteni zeilor lor.Ea este mǎrturie a faptului cǎ printre slujitorii templelor erau multi vrǎjiti de taina numerelor, care i-au condus sǎ descopere o miniunatǎ proprietate a raportului dintre douǎ segmente, cunoscutǎ azi sub numele de " tǎietura de aur ". Numǎrul de aur Φ a fost notat cu litera greceasca FI in amintirea sculptorului Fidias, care a folosit acest raport in realizarea nemuritoarelor sale opera. Adeptii lui Pitagora considerau cǎ armonia se exprimǎ prin rapoarte numerice, iar cel ce si-a insusit intelegerea armoniei devine el insusi nemuritor si divin. Odatǎ cu aceeastǎ armonie , pitagoricienii au cunoscut o groaznicǎ dezamǎgire, atunci cand Hippas din Mesopotania a arǎtat cǎ existǎ mǎrimi care nu pot fi exprimate ca raport de numere intregi . astfel si-au dezvǎluit personalitatea numerele irationale.

Astfel ne-am apropiat de a patra multime R. Purtǎtorul ei de cuvant ne-a declarat: Noi suntem cea mai bogatǎ multime. Avem in plus si numerele irationale. Existenta noastrǎ se datoreazǎ lui Hippas care a pornit de la pǎtratul cu latura de 1 si a arǎtat cǎ diagonala sa nu poate fi exprimatǎ prin numere rationale. Se credea in antichitate cǎ dezvǎluind acest secret, el a fost pedepsit de zei si a murit intr-un naufragiu.Si pitagoricienii si-au adus mai apoi o contributie deosebitǎ la dezvoltarea noastrǎ , nu numai a lui , dar si a altor numere irationale, ca de exemplu numǎrul de aur,farǎ de care nu s-ar fi putut inscrie pentagonul regulat in cerc. Mai mult, ducand diagonalele acestui pentagon se obtine pentagrama, figura pe care pitagoricienii si-au insusit-o ca emblemǎ.Asocierea numǎrului cosmic cu pentagrama, se datoreazǎ lui Pitagora, care considerǎ numǎrul 5, ca numǎr perfect al omului, deoarece acesta are 5 simturi, 5 degete la fiecare membru, iar atat inǎltimea cat si latimea sunt alcǎtuite din 5 pǎrti egale.Cǎlǎtorului grǎbit . Desi NUMERIA nu apare in niciun atlas geografic cunoscut panǎ acum, ea este un tǎram mirific, pe care dacǎ te-ar fi purtat vreodatǎ pasii, cu sigurantǎ vei dori sǎ te intorci sǎ afli cat mai multe. Cei mai tineri turisti ai acestei tǎri sunt desigur elevii, care trebuie sǎ fi auzit de minunatii ei locuitori din manualele scolare.

Septar Melda si Melek clasa VIII B

Exercitii cu multimi pentru determinarea IQ-ului .

1.Sa se determine multimile A si B care indeplinesc simultan conditiile:

2.Fie A=

B=

C=

Sǎ se arate cǎ C

3. Se dau multimil

C =

S se g seasc aceste multimi stiind c elementele lor satisfac relatia :3. = 2.

4. Se consider multimile :

B =

S se arate c AB .

5. Se consider multimile :

A=

B = ;

C= ;

S se determine :

6. Se d A=

S se determine m , astfel incat :

A s contin exact trei elemente ;

A s contin exact doua elemente ;

A s contin exact un element ;

7. S se determine num rul de elemente al multimilor

A= ;

C=

8. S se determine multimile A= si B= unde a , b , c , d sunt cifre care indeplinesc conditiile :

1) b.c = 12 ;

2) a.d = 5 ;

3) (b+d) - (a+c)=3 .

9. S se determine multimele A<B<C , dac sunt indeplinite simultan conditiile :

a) A b) B C = ;

c) A C = ;

d) AB= B = .

10. S se afle valoarea de adev r a propozitiilor :

b) ;

c) = .

11. Fie

A = si

B= :

S se calculeze : AB ;

Stiati ca .

. In anul 2400 i. Hr.In Mesopotamia se dezvolta sistemul de numeratie pozitional in baza 60. Numarul 60 este ales, probabil, ca o consecinta a listei mari de divizori ai acestui numar (adica 12 divizori).

. In anul 585 i. Hr. utilizand proprietatile de divizibilitate a numerelor, Thales din Milet (636 - 546 i. Hr.) prezice o eclipsa de Soare.

. In anul 500 i. Hr. pitagorienii, lucrand cu numere reprezentate prin figuri, atribuie cate un sex fiecarui numar, cele impare sunt de sex masculin, cele pare, de sex feminin. Tot ei introduc notiunile de numar prim, numar compus, numere relative prime, numere prime perfecte, numere prietene (amiabile).

. In anul 1200 d. Hr. Leonardo Pisano cunoscut sub numele de Fibonacci scrie lucrarea "Liber abaci", considerata timp de doua secole cea mai competenta sursa de cunostinte in teoria numerelor in care sunt prezentate criteriile de divizibilitate cu 2, 3, 5, 9.

Leonardo da Vinci (15.04.1452 - 2.05.1519) anticipeaza construirea ceasului cu pendul, al carui mecanism utilizeaza principii de divizibilitate

. In anul 1640 d. Hr. Fermat formuleaza "mica teorema" a numerelor:"Daca p este un numar prim, atunci orice numar intreg a numarul a ^p - a se divide cu p".

. In anul 1772 d. Hr. Christian Goldbach (8.03.1690 - 20.11.1764) emite ipoteza ca orice numar par mai mare decat 2 este suma a doua numere prime. Ipoteza nu a fost nici confirmata, nici infirmata pana in prezent.

. In anul 1850 d. Hr. matematicianul rus Pafnutie Lvovivici Cebasev (26.05.1821 - 12.08.1894) demonstreaza afirmatia lui Bertrand: " Pentru orice n numar natural, n > 2, avem cel putin un numar prim cuprins intre n si 2n - n."

. In anul 1946 d. Hr. se naste calculatorul electronic. Inca de la inceput, puterea sa de calcul va fi utilizata in cautarea numerelor prime.

. In anul 1959 d. Hr. W. Sierpinski (1882 - 1970) demonstreaza ca pentru n > 5, intre numerele naturale n si 2n avem cel putin doua numere prime.

. In anul 1980 d. Hr. L. Adleman si R. Rumelig dezvolta o metoda noua si imbunatatita de testare a numerelor in vederea descoperii numerelor prime.

. In anul 1985 Hugh C. Wiliams si Harvey Dumbar ajung la concluzia ca numarul format din 1031 de cifre de 1 este prim.

. In anul 2000 d. Hr. Matematicianul american Nayan Hayratwala a lucrat simultan cu mai mult de 20 de mii de calculatoare de pe intreg globul si a obtinut numarul prim 2 ^{6 972 593} - 1 fiind cel mai mare numar prim cunoscut. Pentru scrierea acestui numar sunt necesare doua milioane de cifre.