Administratie | Alimentatie | Arta cultura | Asistenta sociala | Astronomie |
Biologie | Chimie | Comunicare | Constructii | Cosmetica |
Desen | Diverse | Drept | Economie | Engleza |
Filozofie | Fizica | Franceza | Geografie | Germana |
Informatica | Istorie | Latina | Management | Marketing |
Matematica | Mecanica | Medicina | Pedagogie | Psihologie |
Romana | Stiinte politice | Transporturi | Turism |
Voi prezenta in continuare cateva paragrafe ale cartii care mi s-au parut mai interesante, desi alegerea a fost foarte greu de facut.
Demonstratie a inegalitatii CBS
In cazul in care pentru macar un avem , consideram functia de gradul doi cu coeficientul dominant pozitiv
Inegalitatea CBS este echivalenta cu . Pentru demonstrarea ei e suficient sa dovedim ca pentru orice . Observam ca
.
Pentru a avea egalitate in CBS, deci pentru a avea , este obligatoriu sa existe un pentru care , aceasta insemnand ca sistemul
,
cu singura necunoscuta x, are solutie, adica n-uplele si sunt proportionale.
Pentru demonstrarea unor inegalitati putem apela la extremul functiei de grad doi.
Daca avem
inegalitate verificata cu egal pentru .
Fie inegalitatea
,
punem .
Cum , inegalitatea (*) devine
Revenim la inegalitatea CBS
Punem
,
unde , , .
Cum A>0 inegalitatea (*) devine
Obtinem astfel
(**)
Inegalitate care se poate folosi pentru a demonstra inegalitatea CBS prin inductie.
Capitolul 7. Intercalarea
7.7. Trucul CBS
Pentru inegalitati de genul
(*) , unde ,
putem incerca o intercalare care foloseste un mic "truc" care consta in esenta in inmultirea inegalitatii date cu o suma de termeni pozitivi astfel incat expresia din membrul stang sa fie antrenata intr-o inegalitate CBS.
Pentru avem, conform CBS,
Acum este suficient sa fie adevarata inegalitatea:
pentru ca si inegalitatea (*) sa fie adevarata. Deci ( ?) T (*) ceea ce inseamna ca e posibil ca inegalitatea (*) sa fie adevarata fara ca inegalitatea ( ?) sa fie adevarata. In aceasta consta si slabiciunea acestei metode. Avantajul ei consta in faptul ca inegalitatea ( ?) ne scapa de numitorii din (*) si cu o buna alegere a numerelor si de radicalii din ( ?). Morala este ca aceasta schema de intercalare merita incercata pentru inegalitati ce folosesc numitori incomozi.
Exemple:
1. 2. , a,b,c>0
Capitolul 13. Inductia
13.4 Inductia Cauchy
Principiul de inductie Cauchy
Fie P(n) un predicat peste N.
Daca P(2) este adevarata,
pentru orice si
pentru orice
atunci P(n) este adevarata pentru orice .
Avantajul inductiei Cauchy in comparatie cu inductia standard consta in faptul ca adesea in cazul unei inegalitati se poate trece mai usor de la cazul n la cazul 2n decat la cazul n+1. Apoi "coborarea" de la cazul n la cazul n-1 ar trebui sa s efaca relativ usor, prin particularizare.
Pentru a demonstra inegalitatea mediilor
,
prin inductie Cauchy, consideram predicatul
P(n): "pentru orice
,
inegalitate verificata cu egal daca si numai daca ."
P(2) este adevarata deoarece pentru orice avem
.
Pentru avem
Exemple
,
Capitolul 8. Exploatarea ordinii
8.1. Doua teoreme de maximizare
Teorema A. Fie si n-uple de numere reale,
Daca x si y sunt la fel ordonate, atunci, dintre toate sumele , cea maxima corespunde permutarii identice, adica:
In cazul in care x si y sunt invers ordonate, atunci, din toate sumele cea minima corespunde permutarii identice, adica
Folosind Teorema A autorul da o foarte frumoasa demonstratie ("o perla") pentru inegalitatea mediilor
Notam
si sunt strict invers ordonate si atunci, din teorema A avem:
Inegalitarea se verifica cu egal daca si numai daca
profesor Nicolae Stipeanu
Acest document nu se poate descarca
E posibil sa te intereseze alte documente despre: |
Copyright © 2024 - Toate drepturile rezervate QReferat.com | Folositi documentele afisate ca sursa de inspiratie. Va recomandam sa nu copiati textul, ci sa compuneti propriul document pe baza informatiilor de pe site. { Home } { Contact } { Termeni si conditii } |
Documente similare:
|
ComentariiCaracterizari
|
Cauta document |