Echivalenta cuantorilor

Echivalenta cuantorilor

1. Definirea cuantorilor prin conjunctie si discjunctie

Fie date un univers de discurs finit U = si o proprietate P. A spune ca orice element al lui U are proprietatea P este identic cu a spune ca x₁ are proprietatea P si x₂ are proprietatea P si si x_n are proprietatea P; simbolic:

xPx ≡ Px₁&Px₂& &Px_n.

Prin analogie,

xPx ≡ Px₁ Px₂ Px_n.

Cuantorul universal, dupa cum am constatat mai sus, coincide cu o conjunctie, iar cuantorul existential coincide cu o disjunctie (inclusiva). Deoarece conjunctia si disjunctia (inclusiva) se afla in raport de dualitate, ele pot fi reciproc transformate (cu ajutorul negatiei) una in cealalta. Astfel, gasim o analogie a legior lui De Morgan si in logica predicatelor:

Deci, cuantorii universali si existentiali se afla in raport de dualitate. Formula xPx este universala, iar xPx este existentiala sau, altfel spus, particulara.

In general, pentru a exprima negatia unei formule care incepe cu un cuantor universal (existenttial), e suficient ca acest cuantor sa fie inlocuit cu cel existential (universal), iar expresia consecventa cuantorului sa fie negata.

Exemplu: Fie data formula x y zS(x, y, z). Vom efectua negatia ei astfel:

Cuantorii care se afla in fata unei formule, iar tot restul formulei intra in domeniul de acsiune al acestora, se numesc prefixul formulei. Formulele cu prefix sunt negate conform urmatoarei reguli:

Daca prefixul formuiei contine cativa cuantori, negarea ei se produce astfel: fiecare cuantor se inlocuieste cu dualul sau, iar negatia trece la expresia care urmeaza dupa cuantori.

Formulele (1)-(4) pot fi raportate conform patratului logic (fig.

Din patratul logic reiese ca au loc relatiile:

In continuare, vom transcrie propozitiile categorice A(SaP), E(SeP), I(SiP), O(SoP) in limbajul logicii predicatelor.

Propozitia universal-aflrmativa A(SaP) poate fi redata grafic ca in fig. 5.9. Evident, S ¬P este o clasa vida, deoarece notiunile S si P sint incompatibile conform principiului noncontradictiei, obtinem formula: ¬(S P)

Aplicam la aceasta formula echivalenta p→q) ≡ ¬(p ¬q) si obtinem:

¬(S ¬P) ≡ (S→P)

Deoarece in logica predicatelor S si P sunt functii propozitionale (Sx si Px), propozitia universal-afirmativa din logica clasica poate fi transcrisa astfel:

si se citeste astfel:

1. "pentru orice x, este incoinpatibil S si non-P";

2. "pentru orice x, daca x este S, atunci x este P";

3. "nu exista x care sa fie S si sa nu fie P".

In literatura de specialitate, predomina transcrierea:

Prin analogie, vom obtine transcrierea propozitiei universal-negative din logica clasica (fig. 5.10):

care se citeste in felul urmator:

1. "pentru orice x, sunt incompatibile S si P";

2. "pentru orice x, daca x este S, atunci x nu este P";

3. "nu exista x care sa fie S si P".

In literatura de specialitate, predomina transcrierea SeP ≡ x(Sx→¬Px).

Propozitiile particular-afirmative SiP si particular-negative SoP (vezi: fig. 5.11 si fig. 5.12) pot fi transcrise astfel: SiP ≡ S P, SoP ≡ S ¬P

Deoarece SiP ≡ ¬(SeP), iar SoP ≡ ¬(SaP), aceste formule pot fi demonstrate si astfel:

SiP ≡ ¬ x(Sx→¬Px) ≡ x¬(Sx→¬Px) ≡ x(Sx Px (se citeste: "exista cel putin, un x astfel ca x este S si x este P").

SoP ≡ ¬ x(Sx→Px) ≡ x¬(Sx→Px) ≡ x(Sx ¬Px) (se citeste: "exista cel putin un x, astfel ca x este S si x nu esteP").

Sa retinem urmatoarele formule:

Formulele de tipul (9), (10), (11), (12) pot fi raportate cu ajutorul patratului logic (fig. 5.13).

Transcrierea ("traducerea") propozitiilor categorice prin mijloacele logicii predicatelor nu este perfecta. Interpretarea traditionala a propozitiilor generale este mai adecvata gandirii comune, dar interpretarea in limbajul logicii predicatelor corespunde mai bine exigentelor gandirii stiintifice.

De retinut ca propozitiile complexe, formulate in limbajul natural, se "traduc" in limbajul logicii predicatelor conform regulii: cuantorul universal cere implicatia, iar cuantorul existential cere conjunctia.

In continuare, iata cateva exemple de propozitii complexe, formulate in limbaj natural si formalizate cu ajutorul logicii predicatelor.

1. Orice opera are autor:

(se citeste: "pentru orice x, daca x este opera (Ox), atunci exista, cel putin, un y, astfel ca y este autorul acestei opere, A(y, x)").

2. Fiecare cetatean are obligatii fata de stat si societate:

(se citeste: " pentru orice x, daca x este cetatean (Cx), atunci exista, cel putin un y astfel ca y este obligatia lui x fata de stat, OS₁(x, y), sau/si fata de societate, OS₂(x, y)").

3. Functia de procuror este incompatibila cu orice alta functie publica si privata, cu exceptia activitatii didactice si stiintifice:

(se citeste: "pentru orice x, daca x are functie de procuror, atunci lui x i se interzice (Ix), orice alta functie y publica, PU(y-z), sau privata, PR(y-z), cu exceptia lui z, si exista cel putin un z, permis lui x P(x), care poate fi activitate didactica AD(x, z) sau/si activitate stiintifica, AS(x, z)").

4. Orice persoana capabilaa sa intretina cel putin o persoana este in stare sa se intretina pe sine:

(se citeste: "pentru orice x, daca x este persoana, P(x), si exista cel putin un y, astfel ca y este persoana, si x este capabil sa-l intretina pe y, CI(x, y), atunci x este capabil sa se intretina pe sine, CI(x, x)").

Din cele expuse, ne putem convinge ca logica predicatelor dispune de operatorii indispensabili transcrierii, intr-un limbaj formal, a propozitiilor complexe naturale, care contin atat propozitii analizate (atributive, de relatie etc.), cat si propozitii neanalizate (cu operatori interpropozitionali).