Vectori si valori proprii

Vectori si valori proprii

Fie V un spatiu vectorial peste corpul comutativ K si f: VV o aplicatie liniara, cu dimV=n. Un vector x V- se numeste vector propriu al aplicatiei liniare f daca exista astfel ca f(x)=x. Scalarul se numeste valoare proprie a aplicatiei liniare f corespunzatoare vectorului propriu x.

Fie A=(a_ij)_ijM_n(K), matrice patratica de ordin n cu coeficienti in corpul comutativ K si XM_nx1(K). Daca exista K astfel incat AX=X, atunci X se numeste vector propriu al matricei A , iar se numeste valoare proprie pentru matricea A. Multimea S={este subspatiu vectorial al patiului vectorial V si se numeste subspatiu propriu corespunzator valorii proprii

Fie I_n matricea unitate de ordin n, I_n M_n(K). Atunci, cu notatiile de mai sus, ecuatia matriceala AX=X devine ( A- I_n) X=0 si este echivalenta cu sistemul liniar omogen:

   ,

care are solutii nebanale daca si numai daca det(A-I_n)=0. Polinomul P_A(=det(A-I_n) se numeste polinom caracteristic al matricei A iar ecuatia det(A-I_n)=0 cu K se numeste ecuatia caracteristica a matricei A.

Putem concluziona ca valorile si vectorii proprii ai unei aplicatii liniare sunt valorile si vectorii proprii ai matricei sale asociate intr-o baza data.