MATRICI, VECTORI SI SCALARI

NOTATII

MATLAB este un pachet de programe care lucreaza numai cu un singur tip de entitati, matrici rectangulare, cu elemente reale sau complexe.In acest sens, scalarii sunt asimilati matricilor cu o linie si o coloana (1x1), iar vectorii sunt asimilati matricilor cu o linie si n coloane (1x n) sau o coloana si n linii (nx1). Operatiile si comenzile in MATLAB sunt aproape naturale, in sens matricial, asemanator modului de calcul obisnuit. Astfel, entitatile :

A=; B=; C=; D=; E=[1 3 5 7]

sunt toate matrici in acceptiunea MATLAB: A este o matrice 2x2, B are dimensiunea 2x3, C este 3x1, D este o matrice 3x4 si E este un vector linie 1x4. Elementele unei matrici, pot fi identificate prin una dintre notatiile: A_ij, A[i,j], A(i,j) etc. si semnifica elementul de la intersectia liniei "i" cu coloana "j". Ultima notatie, A(i,j), este cea care a fost adoptata si in MATLAB si va fi folosita in continuare. Dimensiunea unei matrici este precizata de o pereche de numere, care arata numarul de linii si coloane ale matricei respective: D este o matrice 3x4; iar o matrice cu o singura linie sau o singura coloana se numeste vector linie (matricea E din exemplul anterior) sau vector coloana (matricea C din exemplul anterior), elementele acestora putand fi identificate cu un singur indice. O matrice cu o singura linie si o singura coloana este un scalar.

Pentru a face referire la un element A(i,j), (adica elementul aflat la intersectia liniei i cu coloana j ) al unei matrici A, sunt necesari doi indici, indicele de linie si indicele de coloana, in aceasta ordine. Referirea la un element al unui vector poate fi facuta numai cu un singur indice.

Astfel, daca se introduce de la tastatura, la promptul MATLAB, (promptul are simbolul grafic " » ") matricile A, B, C, D si E:

»A=[1,2;3,4];B=[0,1,5;2,7,9];C=[1,2,3];D=[sqrt(2),0,pi,1;3,2,1, .

5;5,7,9,7];E=[1,3,5,7]

De exemplu, elementul de pe pozitia (2,1), al matricei A, poate fi apelat cu comanda:

»A(2,1) [Enter]

ans =

Daca se repeta exemplul, pentru matricile B, D, E:

»B(1,3) [Enter]

ans =

»D(3,4) [Enter]

ans =

»E(4) [Enter]

ans =

7

DEFINIREA MATRICILOR SIMPLE

Definirea matricilor se face prin una dintre urmatoarele metode:

introducerea explicita a listei de elementelor;

generarea prin instructiuni si functii;

crearea fisierelor" .m";

incarcare din fisiere de date externe.

MATLAB nu contine instructiuni de dimensionare si declaratii de tip, iar memoria este alocata automat, pana la valoarea maxim disponibila.

Definirea matricilor simple prin

introducerea listei de elemente

Cea mai simpla metoda de definire a matricilor mici consta in utilizarea unei liste explicite, a elementelor acesteia, respectand conventiile de scriere. La introducerea unei astfel de liste trebuie respectate urmatoarele reguli:

a) elementele matricei sunt cuprinse intre paranteze drepte " [ ] "

b)    elementele unei linii trebuie separate prin spatii libere (blanc-uri ) sau virgule;

c) liniile se separa prin semnul punct-virgula _" ; " ;

Astfel, matricea A=, se introduce de la tastatura cu secventa:

»A=[Enter]

A=

1 2

3 4

Obs. -In acest exemplu:

elementele unei linii sunt separate printr-un spatiu liber ((blank): respectiv ;

[Enter]- reprezinta tasta cu acelasi nume;

Acelasi rezultat se obtine daca elementele liniei se separa prin virgula:

A=

1 2

3 4

Matricea A, astfel definita, poate fi utilizata in calcule sau poate fi salvata intr-un fisier de date pentru o folosire ulterioara (tipul fisierelor de date este .mat).

Pentru matricile mari, la care datele de intrare nu incap pe o singura linie, se poate proceda la inlocuirea semnului " ; " cu o apasare a tastei "[Enter]", ca in exemplul urmator:

A=[1,2[Enter]

3,4[Enter]

5,6] [Enter]

si se afiseaza:

A =

1 2

3 4

5 6

Un alt mod de definire a unei matrici consta in apelarea numelui unui fisier de date aflat in memoria sistemului de calcul. Acest fisier trebuie sa fi fost salvat, in prealabil, pe hard-disc, in format ASCII (text), organizat ca o matrice rectangulara (completa) si trebuie sa aiba extensia " .m ". Astfel, de exemplu, daca pe hard-disc se gaseste un fisier cu numele matricea_A.m care contine urmatoarele linii de text:

instructiunea care citeste fisierul (si genereaza matricea "A") este:

» matricea_A

ceea ce va avea ca rezultat afisarea matricei A:

A =

16 3 2 13

5 10 11 8

9 6 7 12

4 15 14 1

Afisarea matricei continuta in fisierul matricea_A.mat, este posibila, la tastarea numelui acestui fisier, numai in cazul in care acest fisier este salvat in directorul curent.

Posibilitatea de a importa date din alte programe va fi abordata in sectiuni ulterioare.

generarea matricilor prin

instructiuni si functii

In MATLAB se pot defini matricile folosind instructiuni si functii specifice, existand, deasemenea, predefinite matrici implicite. Generarea matricilor prin instructiuni si functii utilizeaza facilitatile acestui mediu de programare.

De exemplu, matricile si se genereaza astfel:

» E=1:4 [Enter]

E =

1 2 3 4

iar cu secventa urmatoare se obtine matricea F:

» F=0.1:0.1:0.5 [Enter]

F =

0.1000 0.2000 0.3000 0.4000 0.5000

Matricile predefinite, prin functii MATLAB, sunt:

A).  Matricea unitate eye(n), eye(n,m)

Prin secvanta urmatoare se genereaza matricile unitate avand elementele diagonalei principale 1 (Atentie! Pentru afisarea matricilor I2, I3 respectiv I34, este necesara introducerea numelui acesteia, la prompterul MATLAB, intrucat definirea acestora se incheie cu caracterul ";" care blocheaza afisarea!):

» I2=eye(2);I3=eye(3);I34=eye(3,4); [Enter]

I2 =

1 0

0 1

I3 =

1 0 0

0 1 0

0 0 1

I34 =

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

B).  Matricea identica : ones(n), ones(m,n)

Matricea identica are toate elementele egale cu cifra 1:

» Y2= ones(2); Y34= ones(3,4);

se obtin rezultatele (dupa ce se introduce, de la tastatura, numele matricei):

Y2 =

1 1

1 1

Y34 =

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

C).  Matricea zero : zeros(n), zeros(n,m)

Matricea zero are toate elementele egale cu 0 (nu este matricea nula):

»Z3=zeros(3)

Z3 =

0 0 0

0 0 0

0 0 0

D).  Matricea vida: [ ]

E). 

Matricea "vida" este o matrice cu, cel putin, una dintre dimensiuni egala cu zero, deci fara elemente definite, dar matricea exista ca structura matematica:

»A=[]

F).  Matricea aleatoare: rand(n), rand(n,m), rand(n,m,p)

Functia rand() genereaza matrici ale caror elemente sunt numere uniform distribuite in intervalul de valori (0,1) . Cu secventa urmatoare se genereaza matricile arbitrare B3 (cu dimensiunea 3x3), B34(cu dimensiunea 3x4) si B345(cu dimensiunea 3x4 in 5 variante, disponibila numai in versiunile MATLAB superioare versiunii 5.3 ):

»B3=rand(3);B34=rand(3,4);B345=rand(3,4,5);

fiind obtinute rezultatele:

B3 =

0.4514 0.3127 0.6831

0.0439 0.0129 0.0928

0.0272 0.3840 0.0353

B34 =

0.6124 0.0164 0.0576 0.7176

0.6085 0.1901 0.3676 0.6927

0.0158 0.5869 0.6315 0.0841

B345(:,:,1) =

0.4544 0.1536 0.7275 0.1210

0.4418 0.6756 0.4784 0.4508

0.3533 0.6992 0.5548 0.7159

B345(:,:,2) =

0.8928 0.8656 0.9084 0.0498

0.2731 0.2324 0.2319 0.0784

0.2548 0.8049 0.2393 0.6408

B345(:,:,3) =

0.1909 0.1708 0.3400 0.3932

0.8439 0.9943 0.3142 0.5915

0.1739 0.4398 0.3651 0.1197

B345(:,:,4) =

0.0381 0.9342 0.8729 0.9669

0.4586 0.2644 0.2379 0.6649

0.8699 0.1603 0.6458 0.8704

B345(:,:,5) =

0.0099 0.4302 0.6873 0.1556

0.1370 0.8903 0.3461 0.1911

0.8188 0.7349 0.1660 0.4225

G).  Matricea dispersiilor:sparse (A), sparse(i,j,s,m,n)

Functia sparse() genereaza o matrice dispersata in raport cu argumentul. Astfel, daca se da matricea , atunci functia sparse (C), genereaza matricea:

»C=[1,0,3,9,4;0.6,0,0,9,8];

» sparse (C)

ans =

(1,1) 1.0000

(2,1) 0.6000

(1,3) 3.0000

(1,4) 9.0000

(2,4) 9.0000

(1,5) 4.0000

(2,5) -8.0000

adica, sunt retinute doar elementele diferite de valoarea zero din matricea C de la argumentul functiei sparse. Aceasta functie este utila pentru stocarea in memoria calculatorului a matricilor cu m linii si n coloane, unde m si n sunt valori mari.

H). Matricea Hadamard

Aceasta matrice se genereaza cu functia sinonima hadamard(n) cu conditia ca n, n/12 si n/20 sa fie puteri ale lui 2. Matricea Hadamard are elementele 1 si -1 iar coloanele sunt ortogonale. Utilitatea acestei matrici se regaseste in combinatorica, procesarea semnalelor si analiza numerica. Cu secventa urmatoare se obtin matricea Hadamard de ordinul 4:

»H4=hadamard(4)

H4 =

1 1 1 1

1 -1 1 -1

1 1 -1 -1

1 -1 -1 1

I).    Matricea Hilbert

Matricea Hilbert este un exemplu notabil de matrice slab conditionata. Elementele matricei Hilbert sunt de forma H(i, j) = 1/(i+j-1), si se genereaza cu functia MATLAB hilb(n). De exemplu:

»H3=hilb(3)

H3 =

1.0000 0.5000 0.3333

0.5000 0.3333 0.2500

0.3333 0.2500 0.2000

J).   Matricea magica patratica

Matricea magica patratica este generata cu functia MATLAB magic(n) si este construita din intregii cuprinsi intre 1 si n² cu conditia ca suma elementelor de pe orice rand sa fie egala cu suma elementelor de pe oricare coloana respectiv cu suma elementelor de pe diagonala principala, iar n trebuie sa fie un scalar mai mare sau egal cu 3:

»M3=magic(3) [Enter]

M3 =

8 1 6

3 5 7

4 9 2

Pentru verificarea conditiei de egalitate intre suma elementelor pe linie cu suma elementelor pe coloana, respectiv cu suma elementelor pe diagonala, se realizeaza suma corespunzatoare, folosind o functie Matlab (sum() )

» suma_elementelor_pe_linie=sum(M3) [Enter]

suma_elementelor_pe_linie =

15 15 15

» suma_elementelor_pe_coloana= sum(M3') [Enter]

suma_elementelor_pe_coloana =

15 15 15

» suma_elementelor_pe_diagonala= sum(diag(M3)) [Enter]

suma_elementelor_pe_diagonala =

15

»M4=magic(4)

M4 =

16 2 3 13

5 11 10 8

9 7 6 12

4 14 15 1

» suma_elementelor_pe_linie= sum(M4)

suma_elementelor_pe_linie =

34 34 34 34

» suma_elementelor_pe_coloana =sum(M4')

suma_elementelor_pe_coloana =

34 34 34 34

» suma_elementelor_pe_diagonala= sum(diag(M4))

suma_elementelor_pe_diagonala =

34

Pentru afisarea matricilor M3 respectiv M4, se tasteaza numele acesteia.

K).  Matricea Pascal

Matricea Pascal se genereaza cu functia MATLAB, specifica, pascal(n), este o matrice de ordinul n, pozitiv definita, simetrica, cu elemntele, numere intregi, preluate din Triunghiul lui Pascal (format din coeficientii binomiali), iar inversa acestei matrici este o matrice cu elementele numere intregi:

»P2=pascal(2);P3=pascal(3);P4=pascal(4);P5=pascal(5);

P2 =

1 1

1 2

P3 =

1 1 1

1 2 3

1 3 6

P4 =

1 1 1 1

1 2 3 4

1 3 6 10

1 4 10 20

P5 =

1 1 1 1 1

1 2 3 4 5

1 3 6 10 15

1 4 10 20 35

1 5 15 35 70

L).  Matricea Wilkinson

Cu functia MATLAB wilkinson(n) se genereaza matricea sinonima, care este o matrice patratica de ordinul n cu valori proprii, de test, simetrica, tridiagonala, cu perechi de valori intregi apropiate dar nu exact egale. Cea mai utilizata este matricea Wilkinson de ordinul 21. Pentru a se observa cum se construieste matricea Wilkinson se prezinta, mai jos, matricele corespunzatoare, de ordinul 2, 3, 4, 5, 6:

»doi=wilkinson(2)

doi =

0.5000 1.0000

1.0000 0.5000

»trei=wilkinson(3)

trei =

1 1 0

1 0 1

0 1 1

»patru=wilkinson(4)

patru =

1.5 1 0 0

1 0.5 1 0

0 1 0.5 1

0 0 1 1.5

»cinci=wilkinson(5)

cinci =

2 1 0 0 0

1 1 1 0 0

0 1 0 1 0

0 0 1 1 1

0 0 0 1 2

»sase=wilkinson(6)

sase =

2.5 1 0 0 0 0

1 1.5 1 0 0 0

0 1 0.5 1 0 0

0 0 1 0.5 1 0

0 0 0 1 1.5 1

0 0 0 0 1 2.5

Generarea matricilor prin

Crearea fiSierelor SCRIPT

O facilitate oferita de MATLAB, pentru generarea matricilor, este crearea fisierelor script. De exemplu, pentru matricea "A", data sub forma algebrica,     ,

se realizeaza fisierul matricea_A.m astfel:

Din meniul File → New → M-file se creaza fisierul matricea_A care va contine textul

A = [

16.0 3.0 2.0 13.0

5.0 10.0 11.0 8.0

9.0 6.0 7.0 12.0

4.0 15.0 14.0 1.0 ]

Acest fisier se salveaza (din meniul File →Save As . ) cu numele matricea_A, acestuia fiindu-i atribuita, implicit, extensia ".m"

Daca se doreste apelarea fisierului (pentru a fi utilizat in alte fisiere, sau in Workspace), in linia de comanda MATLAB, se tasteaza numele fisierului, matricea_A, rezultatul fiind afisarea matricei A:

»matricea_A

»A =

16 3 2 13

5 10 11 8

9 6 7 12

4 15 14 1

Generarea matricilor prin

incarcarea din fisiere externe

O alta posibilitate de a accesa date din fisiere in format text sau binar, in

MATLAB-6, este aceea de a folosi calea File→ Import Data . care utilizeaza un Import Wizard (Asistent pentru import date), acesta solicitand utilizatorului date suplimentare privind calea fisierului ce urmeaza a fi importat. De exemplu, pentru a importa fisierul "matrice", care se gaseste pe hard-disc, in partitia D:/ a acestuia, D:/MATLAB-6/work/matrice, se va deschide fereastra de dialog din figura:

Accesand butonul Next, iar, dupa validarea operatiei, Finish, in spatiul de lucru, poate fi, oricand, afisata si utilizata matricea salvata in acest fisier. Comanda load citeste fisierele binare continand matrici generate in sesiuni de lucru anterioare. Aceeasi comanda citeste fisiere- text continand date numerice. Fisierul text trebuie sa fie organizat ca tabel bi-dimensional (linii si coloane), separate prin spatii libere (blancuri), cu un rand pe fiecare linie si numar egal de elemente in fiecare rand (tabelul trebuie sa aiba acelasi numar de coloane pe fiecare linie). De exemplu, daca, intr-un editor de text (acest editor poate fi extern MATLAB-ului), se creeaza fisierul text continand urmatoarele patru linii de text:

16 3 2 13

5 10 11 8

9 6 7 12

4 15 14 1

si se salveaza fisierul cu numele, matrice, de exemplu, atunci, acest fisier poate fi apelat folosind urmatoarea succesiune de operatiuni, in Workspace (acest fisier poate fi apelat si de alte fisiere sau functii MATLAB). De exemplu, presupunand ca in calcule este necesar ca datele cuprinse in fisierul matrice.dat, stocat in memoria calculatorului, si aceste date sa fie identificate cu numele "B", atunci se procedeaza astfel:

»load matrice.dat

»B=matrice

B =

16 3 2 13

5 10 11 8

9 6 7 12

4 15 14 1

ELEMENTELE MATRICILOR

Elementele matricilor pot fi numere reale sau complexe, sau orice alta expresie MATLAB. De exemplu, pentru introducerea matricei se foloseste scrierea:

» x=[ -1.3, sqrt(3), (1+2+3)*4/5] [Enter]

rezulta:

» x=

-1.3000 1.7321 4.8000

Obs. De remarcat faptul ca pentru numarul rational "-1,3" s-a folosit formatul britanic: s-a folosit caracterul "." pentru separarea partii intregi de partea fractionara a numarului. De asemenea, "sqrt(3) pentru numarul "", elementul x(3) fiind afisat cu valoarea calculata pentru expresia de mai sus,iar pentru separarea elementelor unei linii s-a folosit caracterul virgula (,).

Elementele unei matrici pot fi referite (se pot apela, sau se poate edita) cu indici cuprinsi intre paranteze rotunde " ( ) ", cifrele reprezentand identificatorii de linie, respectiv de coloana ai elementului apelat.

De exemplu, cu instructiunea urmatoare, se cere afisarea elementului "al doilea" al vectorului x:

» a = x(2) [Enter]

a =

1.7321

in timp ce, cu instructiunea urmatoare se modifica elementul al cinci-lea al aceluiasi vector x (daca acest element nu exista in varianta originala a vectorului x, atunci, MATLAB atribuie automat valoarea inscrisa in partea dreapta a semnului "=", de atribuire):

» x(5) = abs(x(1) ) [Enter]

x=

-1.3000 1.7321 4.8000 0 1.3000

(adica, elementul al 5-lea al vectorului x este egal cu valoarea absoluta a elementului de pe pozitia 1 a vectorului x), ceea ce returneaza rezultatul:

Obs:De remarcat ca se atribuie o valoare unui element care ocupa o pozitie in afara dimensiunii maxime a matricei sau vectorului referit, iar elementele nedefinite sunt setate la valoarea zero

Deci, ca regula, se poate deduce ca in cazul in care pe o anumita pozitie, intr-o matrice, nu exista un element si se defineste, folosind o regula oarecare, un element de pe o pozitie "urmatoare", elementul care lipseste se inlocuieste automat de catre MATLAB, cu valoarea 0 (zero).In acest sens, instructiunea urmatoare "adauga" un element pe pozitia (2,4), si "completeaza" cu zerouri acolo unde nu sunt definite alte valori, pentru matricea A:

» A=[1,2;3,4];A(2,4) = 6 [Enter]

A=

1 2 0 0

3 4 0 6

(adica elementul din linia 2 coloana 4, al matricei A= este definit, de-acum inainte, ca fiind numarul intreg 6,(Atentie! Nu trebuie inlocuite elementele care lipsesc: A₁₃ , A₁₄, A₂₃, acest lucru este realizat automat de catre mediul MATLAB )).

O modalitate de a construi matrici mari consta in folosirea matricilor mici ca elemente, si concatenarea ("legarea") acestora. Spre exemplu, din doua matrici 2x3 se poate construi o matrice 4x3; dimensiunile matricilor utilizate trebuind sa fie astfel alese incat sa se realizeze tablouri rectangulare complete.

Fie A1 si A2 cele doua matrici utilizate. Cu secventa urmatoare:

» A1=[ 1 2 ; 3 4]; A2=[5 6 ; 7 8]; A =[ A1 ; A2] [Enter]

se obtine rezultatul:

»A=

1 2

3 4

5 6

7 8

O matrice cu dimensiuni reduse poate fi extrasa din matrici mai mari utilizand semnul " : " (doua puncte). De exemplu:

»B=A(2,3, :) [Enter]

extrage liniile doi si trei ("2:3") si toate coloanele din matricea curenta A, obtinandu-se matricea B:

B=

3 4

5 6

In acest exemplu, caracterul "doua puncte" ( " : " ), folosit in instructiunea »B=A(2:3, :), are urmatoarea semnificatie:"se extrag elementele aflate la intersectia liniilor 2, 3 cu toate coloanele matricei A".

concatenarea matricilor

Concatenarea ("legarea") este procesul de asamblare a matricilor mici, pentru generarea matricilor supra- dimensionate (o matrice, in fapt, este constituita prin concatenarea elementelor proprii). Operatorul de concatenare este perechea de paranteze drepte, [ ]. De exemplu, fiind data matricea , se poate genera o alta matrice B, prin suplimentarea liniilor si coloanelor matricei A, astfel:

Matricea B va avea doua "linii" si doua "coloane"

"Elementul" B(1,1) este matricea A;

"Elementul" B(1,2) este format din elementele matricei A, la care se aduna scalarul 32;

"Elementul" B(2,1) este format din elementele matricei A, la care se aduna scalarul 48;

"Elementul" B(2,1) este format din elementele matricei A, la care se aduna scalarul 16.

Pentru a realiza acest deziderat, in linia de comanda (considerand ca matricea A este stocata in memorie), se introduce, de la tastatura, urmatoarea secventa:

» A=[21,4,8,2;7,9,0,8;6,7,8,9;3,5,7,9];

» B = [A, A+32; A+48, A+16]

B =

21 4 8 2 53 36 40 34

7 9 0 8 39 41 32 40

6 7 8 9 38 39 40 41

3 5 7 9 35 37 39 41

69 52 56 50 37 20 24 18

55 57 48 56 23 25 16 24

54 55 56 57 22 23 24 25

51 53 55 57 19 21 23 25

Un alt exemplu, asamblarea acelorasi matrici, prin aranjarea acestora "in coloana" :

»B1 = [A ;A+32; A+48; A+16]

B1 =

21 4 8 2

A

7 9 0 8

6 7 8 9

3 5 7 9

53 36 40 34

A+32

39 41 32 40

38 39 40 41

35 37 39 41

69 52 56 50

A+48

55 57 48 56

54 55 56 57

51 53 55 57

37 20 24 18

A+16

23 25 16 24

22 23 24 25

19 21 23 25

STERGEREA LINIILOR SI A COLOANELOR

Se pot sterge linii si coloane, ale unei matrici, folosind operatorul [ ]. De exemplu, pentru a sterge coloana 2 a matricei A, data in forma algebrica generala:

, se poate folosi urmatoarea secventa:

» A=[21,4,8,2;7,9,0,8;6,7,8,9;3,5,7,9];x=A; x(:,2)=[]

se obtine o noua matrice x :

x =

21 8 2

7 0 8

6 8 9

3 7 9

Pentru stergerea unui singur element (de exemplu, tot al treilea element sa fie sters, considerand elementele matricei scrise "pe coloana") se poate folosi urmatoarea secventa:

» A=[21,4,8,2;7,9,0,8;6,7,8,9;3,5,7,9];x=A;

» x(1:3:16) =[]

x =

7 6 4 9 5 8 8 7 8 9

Se observa ca, elementele matricei au fost "citite" pe coloana, si tot al treilea element, incepand cu primul, a fost eliminat, rezultatul fiind un vector linie.

Extragerea submatricilor prin indici

Elementele individuale ale unei matrici se apeleaza cu numele acesteia, urmat de doi indici, cuprinsi intre paranteze rotunde separati prin virgula. Primul indice semnifica linia, iar al doilea coloana in care se gaseste elementul apelat. De exemplu, considerand matricea stocata in memoria calculatorului, atunci cu instructiunea:

» A=[21,4,8,2;7,9,0,8;6,7,8,9;3,5,7,9];A(6,5)=A(1,2)+A(3,1) [Enter]

se obtine o alta matrice la care elementul din linia 6, coloana 5: A(6,5), al matricei A, este obtinut ca suma dintre elementul de pe linia 1 -coloana 2 (A(1,2)) si elementul de pe linia 3, coloana 1 (A(3,1)), celelalte elemente fiind inlocuite cu valoarea zero:

A =

21 4 8 2 0

7 9 0 8 0

6 7 8 9 0

3 5 7 9 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 10

Indicii pot fi scalari sau vectori. Indicii vectori permit definirea unor submatrici, procedeu prin care se pot referi parti disparate dintr-o matrice. Spre exemplu, daca se presupune ca matricea M_6x10 exista deja salvata pe disc,

»M=[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10;-1,2,3,-4,5,-6,7,-8,9,-10;0,2,0,4,0,6,0,8,0,10;

-1,2,-3,4,-5,6,-7,8,-9,10;1,2,3,0,0,0,7,8,9,10;10,9,8,7,6,5,4,3,2,1];

M =

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-1 2 3 -4 5 -6 7 -8 9 -10

0 2 0 4 0 6 0 8 0 10

-1 2 -3 4 -5 6 -7 8 -9 10

1 2 3 0 0 0 7 8 9 10

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

atunci, cu instructiunea urmatoare, se extrage submatricea B cu dimensiunea 5x1, formata cu elementele liniilor 1, 2, 3, 4, 5 (notatia "1:5" arata ca sunt apelate toate liniile: 1 pana la 5) si coloana a 3-a a matricei M:

»B1=M(1:5,3) [Enter]

B1 =

3

3

0

- 3

3

in timp ce, instructiunea urmatoare, extrage submatricea C, de dimensiunea 5x4, constituita din elementele primelor 5 liniii si ale ultimelor 4 coloane (coloanele 7, 8, 9, 10) ale matricei M:

»C1=M(1:5, 7:10) [Enter]

C1 =

7 8 9 10

7 - 8 9 - 10

0 8 0 10

-7 8 - 9 10

7 8 9 10

Utilizarea, numai a caracterului ":" ("doua puncte") in locul indicilor pentru linii sau pentru coloane, presupune considerarea tuturor elementelor pe linii, respectiv pe coloane. Astfel instructiunea:

»D1=M(:,3) [Enter]

extrage din matricea M, o submatrice D1 cu elementele extrase din matricea M

(toate liniile si numai coloana 3) avand urmatoarea configuratie:

»D1 =

3

3

0

- 3

3

8

in timp ce, instructiunea:

»E1=M(1:5,:) [Enter]

extrage submatricea E1 care contine liniile de la 1 la 5 ale tuturor coloanelor matricei M:

»E1 =

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-1 2 3 -4 5 -6 7 -8 9 -10

0 2 0 4 0 6 0 8 0 10

-1 2 -3 4 - 5 6 -7 8 -9 10

1 2 3 0 0 0 7 8 9 10

UTILIZAREA SIMBOLURILOR

matlab, in variantele recente foloseste Symbolic Math Toolbox (grup de instrumente matematice simbolice) pentru crearea variabilelor si obiectelor simbolice. Aceasta colectie de instrumente MATLAB, nu trebuie confundata cu facilitatea oferita, tot de MATLAB, pentru utilizarea simbolurilor literale.

In calcule ingineresti se utilizeaza frecvent, in locul expresiilor numerice, supradimensionate, in general in cazul calculelor numerice cu matrici si de analiza numerica, expresii simbolice. Nucleul computational este format pe baza kernel-ului MAPLE®, dezvoltat la University of Waterloo, Canada, si la Eidgenössiche Technische Hochschule, Zürich, Elvetia. Sunt disponibile doua categorii de toolbox-uri: o colectie de baza, numita Symbolic Math Toolbox, respectiv, o colectie de functii extinse, numita Extended Symbolic Math Toolbox.

Simbolurile matematice se creeaza cu functia MATLAB sym(), respectiv cu functia syms. Diferenta dintre aceste doua functii consta in faptul ca prima creeaza o variabila simbolica, in timp ce, a doua, creaza o multime finita de variabile, prin declararea acestora, la inceputul sesiunii de lucru. Trebuie facuta o diferentiere exacta intre simbolurile literale (ale literelor din alfabetul grecesc, de exemplu) si simbolurile matematice folosite pentru reprezentarea variabilelor in MATLAB. De exemplu, pentru introducerea unui text, de la tastatura, in care intervin simboluri matematice sau caractere grecesti, precum si caractere speciale folosite ca simboluri pentru operatori matematici, se folosesc proprietatile disponibile in MATLAB, pentru inserarea acestora. In tabelul alaturat sunt cuprinse toate simbolurile literale si caracterele speciale, pentru care MATLAB ofera facilitati de inserare in text:

Introducerea simbolurilor literale, respectiv a caracterelor speciale, in texte sau siruri de caractere este o operatiune distincta a MATLAB, din acest motiv, aceasta va fi tratata intr-o sectiune consacrata acestui subiect. Ratiunea pentru care aceste observatii, referitoare la diferenta dintre simbolurile matematice, folosite in MATLAB ca orice alt tip de variabila si simbolurile literale, folosite ca siruri de caractere (text) rezida in aceea ca se doreste eliminarea unei posibilitati de aparitie a confuziilor nedorite, in tratarea calculului simbolic.

Definirea si crearea expresiilor simbolice

Variabilele si expresiile simbolice se definesc cu comanda sym, in linia de comanda a spatiului de lucru MATLAB. Functia MATLAB sym(x), permite atribuirea, variabilei "x", caracterul de "simbol". Astfel, cu comanda:

»c = sym('variabila_simbolica')

se creaza variabila simbolica " c ", care va afisa, atunci cand este accesata, expresia " variabila_simbolica ":

c =

variabila_simbolica

O expresie matematica poate fi reprezentata printr-un simbol alfanumeric, fiind posibila utilizarea acesteia, ulterior, in calcule si expresii numerice complexe. De exemplu, presupunand ca se doreste folosirea repetata a unei expresii matematice, relativ complicata, ca editare, in expresii diferite, atunci se poate folosi urmatorul algoritm: se declara expresia simbolica, dupa care aceasta se poate utiliza in calcule si expresii ca o valoare numerica sau simbolica de sine-statatoare. Fie expresia:

Declararea acesteia ca variabila simbolica se realizeaza cu comanda:

»E=sym( ' (((1+2+3)/((12-3^5)/11)-(14+(34)^(1/5)- log(23))^(1/3))*8 .

^((log(125))/(log(5))))-sqrt(55)*(12-4^3)/(8) ' )

ceea ce are ca rezultat afisarea expresiei simbolice:

E =

(((1+2+3)/((12-3^5)/11)-(14+(34)^(1/5)- log(23))^(1/3))*8^((log(125))/(log(5))))-sqrt(55)*(12-4^3)/(8)

Utilizarea acestei expresii, in calcule, (pentru determinarea valorii expresiei f=E^2-3*E+log(E), de exemplu), este posibila, folosind urmatoarea secventa MATLAB:

» f=E^2-3*E+log(E)

f =((-2/7-(14+34^(1/5)- log(23))^(1/3))*8^(log(125)/log(5))+

13/2*55^(1/2))^2-3*(-2/7-(14+34^(1/5)-log(23))^(1/3))*8^(log(125)/

log(5))-39/2*55^(1/2)+log((-2/7-(14+34^(1/5)-log(23))^(1/3))*

8^(log(125)/log(5))+13/2*55^(1/2))

Pentru ca operatiile aritmetice cu expresii simbolice, in MATLAB, sa se poata realiza, este necesara declararea tuturor variabilelor dintr-o expresie matematica. De exemplu, rezolvarea unei ecuatii parametrice, cu parametrul " a ", si variabila " x ", declarata, este posibila daca, in prealabil, s-a declarat simbol, parametrul respectiv, folosind, pentru aceasta functia syms. Astfel, pentru rezolvarea ecuatiei , unde , se procedeaza astfel:

»syms x a

»f=x^2-2*a*x+7

f =

x^2-2*a*x+7

» solve(f)

ans =

[ a+(a^2-7)^(1/2)]

[ a-(a^2-7)^(1/2)]

elementele matricei "simbolice" "ans" fiind cele doua radacini ale ecuatiei date.

CALCULE SIMBOLICE

Diferentierea

Pentru calculul diferentialei unei functii, se procedeaza astfel:

-se declara simbolurile care urmeaza a fi utilizate:

» syms x a b c

» f=a*x^3+b*x^2+c*x

f =

a*x^3+b*x^2+c*x

-se aplica functia diff() expresiei simbolice, creata anterior, "f":

» diff(f)

ans =

3*a*x^2+2*b*x+c

Diferentiala se calculeaza, implicit, in raport cu variabila "x", indiferent de ordinea declararii simbolurilor. Daca, de exemplu, se cere diferentiala in raport cu o alta variabila, atunci functia MATLAB pentru calculul diferentialei se apeleaza cu doi parametri:

» diff(f,a)

ans =

x^3

In mod similar se determina diferentiala de ordinul "n"(n≥2) in raport cu o variabila. Functia MATLAB diff() se apeleaza, atunci, cu doi sau trei parametri, intre acestia, ultimul parametru fiind ordinul de diferentiere:

»diff(f,x,2)

ans =

6*a*x+2*b -diferentiala de ordinul doi in raport cu "x"

» diff(f,2)

ans =

6*a*x+2*b - diferentiala de ordinul doi in raport cu "x"

» diff(f,3)

ans =

6*a - diferentiala de ordinul trei in raport cu "x"

» diff(f,a,2)

ans =

diferentiala de ordinul doi in raport cu "a"

Diferentiala matricei se determina in mod similar diferentialelor functiilor simple:

» syms x k pi

» A=[ (k*x)^2, (pi*x)^3;k^2*x, (x^2+1)^(1/2)];

» diff(A)

ans =

[ 2*k^2*x, 3*pi^3*x^2]

[ k^2, 1/(x^2+1)^(1/2)*x]

Derivatele partiale se determina folosind functia MATLAB jacobian(), in functie de variabilele functiilor. Astfel, derivata unei functii , in raport cu functiile , respectiv , se determina cu urmatoarea secventa:

» syms x y u v

» u=2*x^4-log(x^2+4);v=exp(x^2-8)+4*log(3*x^3-2);

» Der_partiala=jacobian([u;v],[x,y])

Der_partiala =

[8*x^3-2*x/(x^2+4)-(2*x+2*y^3)/(x^2+2*x*y^3-5*y),- (6*x*y^2-5)/(x^2+2*x*y^3-5*y)]

[ 2*x*exp(x^2-8*y^3+6*y^2)+36*x^2/(3*x^3-2*y),(-24*y^2+12*y)*exp(x^2-8*y^3+6*y^2)-8/(3*x^3-2*y)]

respectiv, pentru alte doua functii:

» syms x y u v a b c d

» u=cos(a*x+b*y);v=sin(c*x-d*y);

» Der_partiala=jacobian([u;v],[x,y])

Der_partiala =

[ -sin(a*x+b*y)*a, -sin(a*x+b*y)*b]

[ cos(c*x-d*y)*c, -cos(c*x-d*y)*d]

Calculul limitelor functiilor simbolice

Calculul limitei unei functii, definita simbolic presupune existenta, in primul rand, limitei functiei respective intr-un punct. Intrucat se definesc limitele laterale (la stanga sau la dreapta), MATLAB permite calculul diferentiat al acestora prin specificarea "sensului" de calcul. Limitele se calculeaza folosind functia MATLAB limit(f(x),x_o), cu parametrii de intrare, f(x) si x_o in functie de tipul limitei. De exemplu, daca se cere calculul limitei functiei , cand x tinde spre a, se procedeaza astfel:

»syms a x

»limit((x^x-a^x)/(a^x-a^a),a)

ans =

1/log(a)

Pentru calculul limitei sirului , se foloseste secventa MATLAB:

»syms n a

» limit((n^2)*(a^(1/n)-a^(1/(n+1))),n,inf)

ans =

log(a)

Limitele laterale se determina folosind aceeasi functie MATLAB, pentru care paramatrii de intrare sunt:functia (scrisa simbolic), variabila, punctul in care se cere limita respectiv "sensul" ("left"-stanga; "right"-dreapta), dupa cum limita se calculeaza, la stanga, sau la dreapta punctului de acumulare. De exemplu, pentru calculul limitelor laterale si se procedeaza astfel:

»syms a x

» limit(exp(1/(x-a)),x,a,'left')

ans =

0

» limit(exp(1/(x-a)),x,a,'right')

ans =

inf

Calculul sumelor simbolice

Pentru calculul sumelor de tipul , in care sirul este definit

simbolic, se foloseste functia MATLAB symsum(,k,k_o,k_n). De exemplu, pentru calculul sumei , se foloseste secventa:

» syms k n

» symsum(1/(k^2+k),1,n)

ans =

-1/(n+1)+1

In cazul in care indexul de sumare nu este implicit (in expresia simbolica, sirul fiind definit cu mai multe variabile), functia MATLAB trebuie sa fie explicit definita prin parametrii de intrare. Astfel, daca se cere calculul sumelor infinite si , se foloseste secventa:

» syms k x y n

»symsum((x^k)*(k^2+1),k,0,inf)

ans =

-(2*x^2-x+1)/(x-1)^3

respectiv, pentru cea de-a doua suma:

» syms k x y n

»symsum(x^k+y^k,k,0,inf)

ans =

-1/(x-1)-1/(y-1)

Calculul seriilor Taylor

Dezvoltarea unei functii in serie Taylor are o aplicabilitate deosebita in calculele numerice. Fie Se pune problema determinaii unei functii F, care sa aproximeze functia f in intervalul [a,b]. Se recurge la aceasta aproximare in doua cazuri: 1) cand nu se cunoaste expresia analitica a lui f, dar se cunosc valorile sale intr-un numar finit de puncte si 2) cand expresia analitica a lui f este destul de complicata si cu ajutorul acesteia calculele sunt destul de dificile. Pentru evaluarea lui f(x) se cauta o alta functie F(x) relativ simpla astfel ca pentru orice valoare a lui x valoarea lui f(x) se alege dintr-o anumita clasa de functii, de exemplu din clasa polinoamelor de grad n sau mai mic, pentru un anume n, atunci trebuie ca F(x) sa ia aceeasi valoare cu f(x) pentru anumite valori ale lui x. Aceste valori ale lui x sunt adesea referite ca puncte de interpolare. De asemenea se poate cere ca anumite derivate ale lui F(x) sa ia acelasi valori cu valorile derivatelor corespunzatoare ale lui f(x) in anumite puncte de interpolare. Se poate arata ca daca F(x) este suma a n+1 termeni ai seriei Taylor pentru f(x) in punctul x=a, atunci F(x) poate fi considerata ca un polinom de interpolare pentru f(x) de grad n sau mai mic, deoarece:

Forma generala a dezvoltarii functiei f(x), in serie Taylor, in jurul unui punct x=a este: . Functia MATLAB, pentru calculul primilor n termeni ai dezvoltarii, se utilizeaza functia taylor(f(x), n, a). De exemplu, pentru determinarea primilor 4 termeni ai dezvoltarii functiei , in jurul punctului x=3, se va folosi urmatoarea secventa:

» syms x

» taylor(exp(x^2),4,3)

ans =

exp(9)+6*exp(9)*(x-3)+19*exp(9)*(x-3)^2+42*exp(9)*(x-3)^3

Problemele legate de aproximarea folosind seriile Taylor vor fi abordate intr-o alta sectiune a acestei lucrari.