Administratie | Alimentatie | Arta cultura | Asistenta sociala | Astronomie |
Biologie | Chimie | Comunicare | Constructii | Cosmetica |
Desen | Diverse | Drept | Economie | Engleza |
Filozofie | Fizica | Franceza | Geografie | Germana |
Informatica | Istorie | Latina | Management | Marketing |
Matematica | Mecanica | Medicina | Pedagogie | Psihologie |
Romana | Stiinte politice | Transporturi | Turism |
Transformata Z si transformata Laplace discreta
Transformata Z
Fie un sir de numere reale sau complexe.
Se numeste transformata Z a sirului , functia de variabila complexa
.
Daca sirul dat satisface conditia , unde , atunci F(z) defineste o functie olomorfa in domeniul .
Relatia de mai sus, in care este definit F(z), reprezinta de fapt dezvoltarea acestei functii intr-o vecinatate a lui . Astfel, daca F(z) este data, pentru determinarea sirului se poate proceda astfel:
- se dezvolta F(z) in jurul lui , identificandu-se termenii sirului, sau
- se aplica formula de calcul pentru coeficientii dezvoltarii in serie Laurent: , unde este o curba simpla inchisa cu proprietatea ca in cu se afla toate singularitatile lui F(z) aflate la distanta finita.
Exemplu pentru determinarea sirului a carui transformata Z se cunoaste
Sa se deduca sirul daca trasformata sa Z este .
- Metoda 1):
Dezvoltam F(z) in jurul lui :
,
pentru .
Rezulta: .
- Metoda 2):
Aplicam formula de calcul a coeficientilor dezvoltarii in serie Laurent:
.
Conform teoremei reziduurilor:
;
.
Transformata Laplace discreta
Fie . Daca , atunci f se numeste functie original discreta.
Se numeste transformata Laplace discreta a functiei (original discrete) f, functia de variabila complexa, notata , data de:
.
- Observam ca se obtine din F(z) (transformata Z), luand in definitia acesteia .
- De asemenea, se observa ca exista pentru
Notatie: legatura dintre f(n) si se noteaza: f(n) sau .
Are loc formula de inversiune: .
Exemplu
de calcul si de notatie pentru transformata
Sa
calculam transformata
Conform definitiei, ;
(se subintelege ca , pentru ca trebuie sa fie functie original discreta, adica ).
Deci, (sau ).
Daca , atunci (sau ).
Proprietatile transformatei Laplace discrete si reguli de calcul
- Liniaritatea
Daca , , atunci .
- Teorema deplasarii
Daca f(n) , atunci .
Exemple pentru
teorema deplasarii si liniaritatea transformatei
Sa calculam
transformata
Folosind formulele lui Euler, rezulta:
.
Din liniaritate si din teorema deplasarii, avem:
;
;
.
Prin urmare:
;
.
- Teorema intarzierii
Daca f(n) , atunci:
(i) ;
(ii) .
Exemple pentru
teorema deplasarii si liniaritatea transformatei
Sa calculam
transformata
Folosind formulele lui Euler, rezulta:
.
Din liniaritate si din teorema deplasarii, avem:
;
;
.
Prin urmare:
;
.
- Teorema de derivare in raport cu un parametru
Daca f(n,x) , atunci .
- Teorema de derivare a imaginii (a transformatei Laplace discrete)
Daca f(n) , atunci .
Exemplu
pentru teorema de derivare a transformatei
Sa calculam
transformata
, conform teoremei de derivare a imaginii.
Dar si prin urmare rezulta:
.
- Teorema de integrare a transformatei Laplace discrete
Daca f(n) , atunci .
- Transformata Laplace discreta a diferentelor divizate de ordin k ale originalului
Daca f(n) , atunci .
Definitia diferentelor divizate de ordin k
Fiind data , diferentele divizate asociate lui f se definesc recursiv, astfel:
;
.
Observatie:
.
- Transformata Laplace discreta pentru o suma finita de functii original
Daca f(n) , atunci g(n) .
- Teorema inmultirii (transformata Laplace discreta a produsului de convolutie)
Daca f(n) si g(n) , atunci .
Definitia produsului de convolutie (discret)
Daca , atunci produsul lor de convolutie, notat , este dat de:
.
Folosind regulile de calcul de mai sus, se pot deduce si se poate intocmi o lista de transformate Laplace discrete folosite des in aplicatii.
Lista de transformate
; ;
; ;
; ;
; ;
; ;
.
Acest document nu se poate descarca
E posibil sa te intereseze alte documente despre: |
Copyright © 2024 - Toate drepturile rezervate QReferat.com | Folositi documentele afisate ca sursa de inspiratie. Va recomandam sa nu copiati textul, ci sa compuneti propriul document pe baza informatiilor de pe site. { Home } { Contact } { Termeni si conditii } |
Documente similare:
|
ComentariiCaracterizari
|
Cauta document |