Pitagora printre numere prime si divizibilitate

PITAGORA PRINTRE NUMERE PRIME SI DIVIZIBILITATE

Am sa incep povestea mea cu un citat al lui Emerson, in eseul : " Despre prietenie" unde acesta spune ca :    . singura cale ca sa ai un prieten este ca tu insuti sa fii unul

Este foarte greu sa-ti gasesti un prieten dar este si mai greu de crezut ca nu numai oamenii isi pot gasi prieteni, ci si numerele. De aceea am sa va spun o poveste despre numerele prietene :

Ca sa-si asigure protectia unui senior ce-l dusmanea, un cavaler a trimis acestuia un dar foarte curios fiindca l-a potrivit in asa fel ca sa cuprinda exact 220 de bucati. Anume: saci de grau, de poame uscate, vase de vin, de ulei, oi, porci si la acestea a adaugat o punga de bani, atatia la numar cat mai era nevoie ca impreuna cu numarul celorlalte bunuri sa ajunga la 220.

Separat, intr-o punga de piele, cavalarelul i-a trimis seniorului un medalion pe care era incrustat numarul 284.

Seniorul nestiind ce semnificatie sa dea neobisnuitului cadou, s-a dus sa se lamureasca la cel mai mare matematician de atunci, Pitagora.

Pitagora si-a dat seama imediat ca aceasta problema poate fi rezolvata cu ajutorul numerelor prime si a incercat sa-i explice seniorului de unde ar trebui sa inceapa cu rezolvarea problemei. El a inceput sa explice astfel :

Numim numar prim orice numar natural mai mare decat 1,care are numai divizori improprii.Numerele prime sunt:2;3;5;7;11;13;17;19;23;29;31

Obs.:Singurul nr.prim si par este 2.

Pentru a afla daca un numar este prim sau nu,il descompunem in factori primi,adica il impartim la toate numerele prime cu care este divizibil.Daca este divizibil doar cu 1 si cu el insusi,atunci numarul este prim.

Dupa aceste mici explicatii, Pitagora il ruga pe senior sa imparta cele doua numere in factori primi.

Atunci seniorul nota pe hartie :

220 = 2 x 2 x 5 x 11

284 = 2 x 2 x 71

Dar exista o deosebire intre factorii primi ai unui numar si divizorii lui, divizorii unui numar nu sunt numai factorii lui primi ci si produsele formate de acestia.

Daca reluam calculul adaugand si pe 1 (unu) printre factorii primi se poate constata ca prin adunarea partilor lui 220 se obtine 284.

2 x 2 = 4

2 x 5 = 10

2 x 11 = 22

5 x 11 = 55

2 x 2 x 5 = 20

2 x 2 x 11 = 44

2 x 5 x 11 = 110

Deci : 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 20 + 11 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284

Daca il luam pe 284 descompus in factori primi obtinem 2 x 2 x 71

2 x 2 = 4

2 x 71 = 142

Deci : 1 + 2 + 71 + 142 = 220

Seniorul pleca multumit de explicatia data de mare Pitagora si astfel reusi sa inteleaga mesajul cavalerului.

Raspandindu-se vorba prin tinut despre intelepciunea lui Pitagora, intr-o dimineata acesta se trezi cu un nou musafir care incerca sa il puna in incurcatura pe marele invatat. Astfel Pitagora trebui sa rezolve o noua problema care se pezenta astfel :

Un copil este de doua ori mai varstnic decat sora lui. Ea are de trei ori mai multe cirese decat are el alune. Daca inmultim numarul ce reprezinta varsta copilului cu numarul cireselor obtinem 510. Ce varsta are sora copilului si cate alune are el ?.

Pitagora se gandi un pic si isi dadu seama ca are de a face din nou cu numerele prime. Astfel daca descompunem in factori primi numarul 510, obtinem : 2 x 3 x 5 x 17. Varsta frateleui trebuie sa fie compusa din doi dintre acesti factori. Cum este dublul varstei sorei, unul din numere neaparat este 2.

Numarul cireselor trebuie sa fie un multiplu de 3. Raman doi factori primi : 5 si 17. Dar varsta fratelui nu poate fi 2 x 17 = 34, pentru ca este inca un copil. Atunci putem spune ca are 2 x 5 = 10 ani, iar surioara lui are 10 - 5 = 5 ani.

Numarul cireselor va fi de 3 x 17 = 51, iar cel al alunelor este 17.

Dar Pitagora il provoca pe musafirul sau sa rezolve si el o problema destul de simpla, iar acesta accepta. Problema spunea cam asa ceva:

Care sunt nr. prime de 2 cifre,avand produsul cifrelor 6?

Rezolvare:

ab=?,a este numar natural nenul si axb=6

=>a;b sunt divizori ai lui 6

D6=

a=1,b=6=>ab=16 si nu este nr. prim

a=2,b=3=>ab=23 si este prim

a=3,b=2=>ab=32 si nu este prim

a=6,b=1=>ab=61 si este prim

ab=

Pitagora fu multumit de raspunsul musafirului sau si ii mai puse acestuia o intrebare tot din domeniul matematicii. Dar numaidecat isi dadu seama ca nu ia spus acestuia cate ceva despre divizibilitate pentru a putea rezolva si aceasta problema. Asa ca incepu sa ii spuna urmatoarele definitii :

Definitia divizibilitatii:

Spunem ca numarul natural a se divide cu d,daca exista un nr.c, astfel incat a=dxc

Ex:30 se divide cu nr.5,pentru ca exista un nr.6,astfel incat

30=5x6.

d/a se citeste d divide a

d/a <=> exista c,astfel incat a=dxc,d si a sunt nr.nat.

a:d se citeste a este divizibil cu d

Proprietati ale divizibilitatii

1) 1/a, a este nr. nat.

2) a/a,a este nr.nat.

3)d/a => d/ab, a,b si d sunt nr.nat.

d/a =>exista nr.nat.c,a.stfel incat a=dc

ab=dcxb si cb este nr. nat.=> ab:d

4)d/a si d/b=>d/a+b

Demonstratie:

d/a<=> exista a' nr.nat.,a.i. a=dxa'

d/b<=> exista b' nr.nat.,a.i. b=dxb'

a+b=dxa'+dxb'=d(a'+b')

a'+b'=c=> a+b=dxc <=> d/a+b

Obs:la fel si pentru d/a si d/b =>d/a-b

Criterii de divizibilitate

Criteriul de divizibilitate cu 2

Un nr. este divizibil cu 2 daca ultima sa cifra este para.

Ex:nr.2345678 este divizibil cu 2,pentru ca ultima sa cifra este 8 si este cifra para:

nr.2000 este divizibil cu 2,pentru ca ultima sa cifra este 0 si este cifra para.

Nr. care sunt divizibile cu 2 se numesc nr.pare.

Criteriul de divizibilitate cu 5

Un nr. este divizibil cu 5 daca ultima sa cifra este 0 sau 5.

Criteriul de divizibilitate cu 4

Un nr.este divizibil cu 4,daca nr.format de ultimele sale 2 cifre este divizibil cu 4.

Criteriul de divizibilitate cu 8

Un nr.este divizibil cu 8,atunci cand nr.format de ultimele sale 3 cifre este divizibil cu 8.

Criteriul de divizibilitate cu 25

Un nr.este divizibil cu 25,daca nr. format de ultimele sale 2 cifre este divizibil cu 25,adica daca ultimele sale 2 cifre sunt:00;25;50; 75.

Criteriul de divizibilitate cu 125

Un nr. este divizibil vu 125,daca nr.format de ultimele sale 3 cifre este divizibil cu 125.

Criteriul de divizibilitate cu o putere a lui 10

Un nr. este divizibil cu o putere a lui 10,daca ultimele sale n cifre sunt zerouri.

Criteriul de divizibilitate cu 3

Un nr.este divizibil cu 3,daca suma cifrelor sale este un nr.divizibil cu

Criteriul de divizibilitate cu 9

Un nr.este divizibil cu 9,daca suma cifrelor sale este divizibila cu 9.

Criteriul de divizibilitate cu 6

Un nr. este divizibil cu 6,daca este divizibil cu 2 si cu 3.

Criteriul de divizibilitate cu 15

Un nr. este divizibil cu 15,daca este divizibil cu 5 si cu 3.

Criteriul de divizibilitate cu 11

Un nr. este divizibil cu 11,daca diferenta dintre suma cifrelor situate pe locurile impare si suma cifrelor situate pe locurile pare este un nr. divizibil cu 11.

Ex.:1925

11:11=>1925:11

Dar sa aflam problema :

Sa se afle cel mai mic numar natural de doua cifre,care impartit la 10, 15 si 18 sa dea restul 2.

Rezolvare:

x:10=c1 (r2)

x:15=c2 (r2)

x:18=c3 (r2)

<=>x=10c1+2

x=15c2+2

x=18c3+2

=>x-2=[10;15;18]

<=>x-2=90

<=>x=90+2=92

Nici nu observara cand trecu timpul asa ca urmatoarea problema rezolvata de musafirul lui Pitagora arata cam asa :

Determina cel mai mic a,astfel incat nr. 3579a sa fie divizibil cu 11.

Rezolvare:

a+7+3=a+10.

[14-(10+a)]:11

14-(10+a)=0

<=>10+a=14

<=>a=14-10

<=>a=4

(3+7+4)-(5+9)=14-14=0=>0:11=>35794:11

Pitagora spuse o alta problema crezand ca isi va pune musafirul in mare incurcatura, dar acesta o rezolva pe loc astfel:

Care este numarul divizorilor naturali ai numarului:

p=2x3x5

Rezolvare:

Nr. divizorilor este:

(3+1)(1+1)(2+1)=4x2x3=24

In timp ce Pitagora cu musafirul sau se delectau rezolvand probleme, la usa lui Pitagora aparu un tanar care avea o problema cu mostenirea lasata de tatal sau. La inceput Pitagora nu a vrut sa il ajute, dar mai tarziu ascultandu-i problema mai pe indelete se invoi sa ii dea o mana de ajutor. Iata cum se prezenta problema :

Un negustor grec avea trei fii. Dupa moartea sa, el lasa mostenire celor trei copii ai lui 19 camile.Dar el le-a spus copiilor sa le imparta in felul urmator : fiul cel mare sa ia jumatate din numarul camilelor, cel mijlociu 1/4 din toate camilele, iar cel mai mic 1/5 din numarul lor.

Dupa moartea tatalui lor, cei trei feciori au incercat sa imparta intre ei camilele asa cum lasase cu limba de moarte parintele lor. Dar neizbutind sa faca imparteala, au cerut sfatul invatatului Pitagora. Astfel ca Pitagora se duse impreuna cu tanarul in grajd si ii dadu acestuia o camila, spunandu-i ca acum daca va merge acasa va putea rezolva problema mostenirii fara nici o dificultate. Tanarul se duse acasa putin nedumerit, dar cand ajunse acasa isi dadu seama ca acum avea 20 de camile si totul se putea rezolva mai usor.

Feciorii facura urmatoarele impartiri :

20 : 2 = 10

20 : 4 = 5

20 : 5 = 4

10 + 5 + 4 = 19 camile

Dupa impartirea facuta, cei trei feciori au observat ca au o camila in plus. Bineanteles ca aceasta era camila marelui invatat Pitagora asa ca se duse toti trei si o duse acestuia inapoi, multumindu-i pentru ajutorul dat.