Divizibilitatea in inele

Divizibilitatea in inele

Fie A un inel comutativ cu element unitate. Se spune ca un element aA divide un element bA (sau b este un multiplu al lui a) si se scrie a|b daca exista un elemnt cA astfel ca b= ac. Daca a|b se mai spune ca a este divizor al lui b, denumire care nu va fi folosita daca b=0.

Este clar ca relatia de divizibilitate in A este o relatie binara care este reflexiva, caci a|a , a=a·1 si tranzitiva caci din a|b si b|c rezulta b=ac, c= bc', deci c=acc', adica a|c. Asadar,relatia de dvizibilitate este o relatie de cuasiordine pe inelul A. Ea nu este insa in general o relatie de ordine. In adevar, chiar in inelul al intregilor avem ca 1 si -1|1, insa 1-1.

Direct din definitie rezulta ca daca a,b,c si a|b, atunci a|bc, si daca in plus a divide si pe c, atunci a b+c). De asemenea, daca a|(b+c) si a divide unul dintre termenii sumei el divide si pe celalalt.

Daca a si b sunt elemente in A astfel incat a divide b si b divide a, se spune ca a este asociat cu b si vom scrie a~b. Relatia de asociere este o relatie de echivalenta caci a~a, iar daca a b, atunci evident b~a. De asemenea, se verifica imediat ca relatia de asociere este tranzitiva. In fapt aceasta relatie de echivalenta este relatia de echivalenta asociata relatiei de divizibilitate considarata ca o relatie de cuasiordine (cap. I,2). Daca considram multimea factor in raport cu aceasta relatie de echivalenta, atunci relatia de divizibilitate introduce pe aceasta multime o relatie de ordine. Mai mult daca a~b si c~d, rezulta ac~bd si atunci se constata ca pe multimea factor putem introduce o operatie dedusa din operatia de inmultire in A si cu care aceasta multime factor devine semigrup. Multe dintre proprietatile divizibilitatii in inelul A se reduc la studiul divizibilitatii in acest semigrup, dupa cum se va vedea mai departe, caci aproape toate notiunile si afimatiile raman adevarate pentru elemente asociate. Acest fapt este o generalizare a aceluia ca studiul aritmeticii in se reduce la studiul acesteia in .

Lema 1.1. Fie A un inel si a, b doua elemente din A. Atunci A divide pe b daca si numai daca aAbA. In particular, a si b sunt asociate daca si numai daca aA= bA.

Demonstratie. Daca a divide pe b , rezulta b=aa' cu a'A, deci baA, de unde rezulta bA aA. Atunci in particular baA, adica b=aa', cu a'A

Propozitia 1.2 . Fie A un inel si aA. Atunci urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

a)       a

b)       a este element ireversibil in A;

c)       aA=A;

d)       a divide orice element al inelului A.

Demonstratie. a)b). Din faptul ca a rezulta ca a divide pe 1, adica exista a' A astfel ca 1=aa' si deci a este ireversabil in A.

Implicatia b) c) rezulta din propozitia III.c) d) din lema precedenta, iar d) a) este evidenta.

Propozitia precedenta da o caracterizare a elementelor ireversabile dintr-un inel in legatura cu divizibilitatea. Ea arata ca elementele ireversabile ale inelului se comporta in raport cu divizibilitatea lafel ca si elementul unitate al inelului; de aici provine denumirea lor de unitati.

Propozitia 1.3. Fie A un inel integru. Atunci doua elemente a,b din A sunt asociate daca si numai daca a=ub, unde u este elemnt ireversabil in A.

Demonstratie. Daca a=ub, unde u este element ireversabil in A, atunci este clar ca a si b sunt asociate. Reciproc, sa presupunem ca a si b sunt asociate. Atunci rezulta ca exista a', b' A astfel ca b=ab' si a=ba', adica b=ba'b', deci b(1-a'b')=0. Daca b=0, atunci evident si a=0 si totul este demonstrat. In caz contrar, rezulta 1-a'b'=0 (caci A este integru), deci a' si b' sunt elemente ireversabile in A.

Definitia 1.4. Fie A un inel si a,b elemente din A. Un element cA se numeste divizor comun al lui a si daca c divide pe a si c divide pe b. Elementul dA se numeste cel mai mare divizor comun (c.m.m.d.c) al elementelor a si b si se mai noteaza cu (a,b), daca d este un divizor comun al elementelor a si b si pentru orice alt divizor comun d' al elementelor a si b avem d' divide pe d.

Un element nA se numeste multiplu comun al elementelor a,b daca a divide pe n si b divide pe n. Elementul mA se numeste cel mai mic multiplu comun (c.m.m.m.c) al elementelor a si b si se mai noteaza cu a,b] daca m este multiplu comun al elementelor a si b si pentru orice multiplu comun m' al elementelor a si b avem ca m divide pe m'.

Se spune ca doua elemente a,b ale inelului A sunt relativ prime (sau prime intre ele) daca 1 este cel mai mare divizor comun al lor.

Evident, definitiile date mai sus pentru c.m.m.d.c si c.m.m.m.c. a doua elemente din inelul A ca si definitia data elementelor relativ prime se generalizeaza cu usurinta la un numar finit sau chiar infinit de elemente ale inelului A si vor avea proprietati analoage celor din cazul a doua elemente. Mentionam ca pentru doua elemente arbitrare dintr-un inel oarecare se poate ca c.m.m.d.c si c.m.m.m.c. sa nu existe, dupa cum vedea in cele ce urmeaza. Insa daca c.m.m.d.c si c.m.m.m.c. a doua elemente exista, atunci exista c.m.m.d.c si c.m.m.m.c. pentru un numar finit de elemente.

Se observa ca daca consideram relatia de divizibilitate ca o relatie de preordine, atunci c.m.m.d.c al unei multimi de elemente este o margine inferioara a acestei multimi si c.m.m.m.c. este o margine superioara a acesteia.

Propozitia care urmeaza exprima proprietati generale ale marginilor inferioare si superioare pentru o multime cuasiordonata .

Propozitia 1.5. Fie A un inel si a,b doua elemente din A.

i)   Daca dA este cel mare divizor comun al elementelor a si b , atunci un element d'A este cel mai mare divizor comun al elementelor a si b daca si numai daca este asociat cu d.

ii)      Daca m este cel mai mic multiplu comun al elementelor a si b , atunci un elemet m'A este cel mai mic multiplu comun al elemetelor a si b daca si numai daca este asociat cu m.

Demonstratie. Vom demonstra doar afirmatia i), caci ii) se demonstreaza analog. Din faptul ca d este cel mai mare divizor comun al elementelor a si b , iar d' este cel mai mare divizor al elementelor a si b rezulta ca d' divide pe d (pentru ca d' este in particular divizor comun al elementelor a si b) si divide d' (pentru ca in particular d este divizor comun al elementelor a si b), adica d si d' sunt asociate. Reciproc, daca presupunem d' asociat cu d, atunci din faptul ca d|a, d|b,d|d' rezulta ca d' este divizor comun al elementelor a si b.

Fie acum c un divizor comun arbitrar al elementelor a si b; atunci c|d (caci d este cel mai mare divizor comun al elementelor a si b) si doarece d|d' rezulta c|d', adica d' este cel mai mare divizor comun al elemntelor a si b.

Din aceasta propozitie rezulta ca cel mai mare divizor comun si cel mai mic multiplu comun a doua (sau mai multe) elemente dintr-un inel A sunt determinate pana la o asociere.

Lema 1.6. Fie A un inel inegru si a,b doua elemente nenule. Daca d este cel mai mare divizor comun al elementelor a si b si a=da', b=db', atunci a', b' sunt relativ prime.

Demonstratie. Va fi suficient sa aratam ca orice divizor comun al elementelor a' si b' este ireversabil. Fie u un astfel de divizor; atunci du este divizor comun al lui a si b , deci du divide pe d, adica d=duu', u'A. Deoarece d0, rezulta 1=uu', deci u este ireversabil.

Lema 1.7. Fie A un inel integru, a,b doua elemente nenule din A si d cel mai mare divizor comun al a elementelor a si b. Daca pentru un element c A, c0, exista cel mai mare divizor comun al elementelor ca si cb, atunci acesta este asociat cu cd (deci si cd este cel mai mare divizor comun al elementelor ca si cb).

Demonstratie. Fie d' cel mai mare divizor comun al elementelor ca si cb. Atunci din faptul ca cd divide pe ca si cb divide pe d', deci d'=cdu, cu u A. Din ipoteza rezulta ca exista , a', b' A astfel ca:

ca=d' a=da'

cb=d',  b=db'

din care deduce relatiile:

cdu =cda'

cdu =cdb'

si, deoarece cd 0 ,rezulta:

u=a'

u=b'

deci u este divizor comun al elementelor a' si b', iar din lema precedenta rezulta u element ireversabil in A.

Corolarul 1.8. Fie A un inel integru in care orice doua elemente au c.m.m.d.c . Daca a, b, c A sunt astfel incat a|bc si a este prim cu b rezulta ca a divide pe c.

In adevar, din (a,b)=1 si din lema precendenta rezulta ca (ac,bc)=c. Cum a|ac si a|bc rezulta ca a divide pe c.

Propozitia 1.9. Fie A un inel integru. Daca oricare doua elemente din A au cel mai mare divizor comun , atunci oricare doua elemente din A au cel mai mic multiplu cmun si produsul (a,b) [a,b] este asociat cu ab, pentru a,b A, a0, b0.

Demonstratie. Ne putem limita la cazul in care a si b sunt elemente nenule. Fie d un cel mai mare divizor comun al elementelor a si b si a=da', b=db', a',b' A. Atunci relatiile da'b'=ab'=a' arata ca m=da'b' este multiplu comun al lui a si b. Fie m' un alt multipli comun al elementelor a,b.Deci m'=a=da',m'=d=db', cu ,A. De aici rezulta ca m este divizor comun al elementelor m'a' si m'b', deci divide pe cel mai mare divizor comun al acestor elemente, care este, conform lemei, egal cu m' (caci (a',b')=1). Asadar, am aratat ca m este cel mai mic multiplu comun al elementelor a si b si avem evident relatia md=ab.

Definitia 1.10. Fie a un element nenul si neireversabil ditr+un inel integru A. Se spune ca a este ireductibil daca orice divizor al lui a este sau asociat cu a sau este ireversabil (adica asociat cu 1) si reductibil in caz contrar.

Din aceasta definitie rezulta ca daca a este un element ireductibil din inelul A si b un element oarecare, atunci e'cel mai mare divizor comun al elementelor a si b exista si este asociat cu a sau un element inversabil.

Propozitia 1.11. Intr-un inel integru A un element asociat cu un element ireductibil este ireductibil.

Demonstratie. Fie a un element ireductibil din A si bA un element asociat cu a. Atunci este clar ca b0 si b nu este ireversabil. Fie c un divizor al lui b. Atunci c divide pe a, deci este sau asociat cu a, deci si cu b, sau c este ireversabil, ceea ce demonstreaza afirmatia propozitiei.

Propozitia 1.12. Fie A un inel integru si aA un element nenul si neinversabil in A. Atunci urmatoarele afirmatii sunt echivalente:

a)       A este ireductibil in a;

b)       daca a=bc, atunci a este asocia cu cel putin unul dintre elementele b sau c;

c)       daca a=bc, atunci a este asociat cu cel putin unul dintre elementele b sau c, iar celalalt este inversabil.

Demonstratie. a)b). Din a=bc rezulta ca b este sau inversabil sau asociat cu a; lafel c este sau inversabil sau asociat cu a. Insa nu se poate ca ambele sa fie inversabile caci ar rezulta a inversabil.

b) c). Fie a=bc. Din b) rezulta ca unul dintre elementele b sau c, sa zicem b, este asociat cu a.    Deci conform propozitiei 1.3, b=au cu u inversabil in A. Atunci din a=auc si din faptul ca a0 rezulta 1=uc, deci c este element inversabil. Implicatia c) a) este evidenta.

Datorita proprietatilor b) si c) din propozitia precedenta, uneori elementele ireductibile sunt numite nedecompozabile.

Definitia 1.13. Un element neinversabil si nenul p din inelul integru A se numeste prim daca din faptul ca p|ab cu a,bA rezulta sau p|a sau p|b.

Este clar ca orice element asociat cu un element prim este si el prim.

Propozitia 1.14. Daca A este un inel integru , orice element prim din A este ireductibil.

Demonstratie. Fie p un element prim in A. Atunci, daca p=ab, rezulta p|ab, deci p|a sau p|b. In primu caz rezulta, evident, p asociat cu a, iar in cel de-al doilea p asociat cu b. Reciproca acestei teoreme nu este intotdeauna adevarata, insa propozitia urmatoare da o conditie in care acest fapt are loc.

Propozitia 1.15. Fie A un inel integru in care orice doua elemente au un cel mai mare divizor comun . Atunci in A orice element ireductibil este prim.

Demonstratie. Fie q un elemnt ireductibil si sa presupunem ca q|ab. Daca q|a totul s-a terminat altfel, (q,a)=1 si din 1.8 rezulta q|b.

In inelul al intregilor rationali numarul 2 este prim, deci si ireductibil. In adevar, daca 2|ab, atunci trebuie ca cel putin unul dintre numerele a sau b sa se divida cu 2, altfel produsul lor nu se divide cu 2, caci daca a=2a'+1, b=2b' , atunci ab=4a'b'+2(b'+a')+1, care se observa ca nu se divide cu 2. Analog se arata ca 3,5,7 etc. sunt numere prime, deci si ireductibile. In acelasi timp se obtine ca -2,-3,-5 sunt si ele ireductibile, fiind asociate cu cele precedente.

Fie k un corp. Atunci in inelul k[X] orice polinom de gradul 1 este ireductibil. In adevar, daca f este un astfel de polinom, atunci din f=gh rezulta g0, h0 si grad

f)=grad(g)+grad(h)=1. De aici rezulta ca sau grad (g)=1 si grad (h)=0, sau invers, si afirmatia rezulta din faptul ca in k[X] un polinom de gradul 0 este inversabil.

Elementul X din k[X] este prim in k[X], caci daca X|fg, atunci este clar ca cel putin unul dintre polinoamele f sau g se divide cu X.

Fie A un domeniu de integritate a si aun element ireductibil. Atunci a este ireductibil si in inelul A[X] caci el este acolo, de asemenea, neinversabil si 0 (elementele inversabile din A[X] fiind cele inversabile in A[X]), iar daca a se descompune in produsul a doua polinoame, acestea vor fi de grad 0, deci elemente din A.

Sa consideram acum inelul intregilor lui Gauss [i].

Pentru a studia in continuare mai usor divizibilitatea in [i], consideram functia N:C R, definita prin N(a+bi)=(a+bi)(a-bi)=(N este numita functia norma, iar N(a) norma numarului complex a).

Daca, atunci avem relatia:

In adevar, fie =a+a'i, =b+b'i; atunci:

=N(ab-a'b'+(ab'+a'b)i)=(ab-a'b')+(ab'+a'b)

Iar

=

Si se verifica imediat egalitatea ceruta. Evident, restictia lui N la [i] are imaginea cuprinsa in (chiar in N) si o vom nota tot cu N.

Sa vedem mai intai care sunt elementele inversabile in [i]. Fie une element inversabil. Atunci exista astfel ca =1, de unde rezulta 1=N(1)=N()N() si deoarece N() si N() sunt numere naturale 1 rezulta ca N()=1. Reciproc, daca este un element astfel incat N()=1, atunci este inversabil in [i] caci avem 1= N()= unde este conjugatul lui , deci este inversul lui . Fie =a+bi, a,b Z. Din cele de mai sus rezulta ca este element inversabil in [i] daca si numai daca N(), de unde rezulta ca elemente inversabile din [i] sunt 1, -1, i,-i.

Din propozitia 1.3 rezulta ca daca si sunt elemente asociate in [i], atunci N()=. Sa mai observam ca daca |, atunci N()|. Reciproc, este adevarata urmatoarea lema.

Lema 1.16. Daca si sunt astfel incat | si N()=, atunci este asociat cu .

Demonstratie. Daca=0,afirmatia este evidenta. Pentru 0 , din faptul ca| rezulta ' astfel incat='. Avem atunci , deci =1, adica ' este inversabil in [i] si lema este demonstrata.

In [i] numarul 2 este reductibil caci el se scrie sub forma 2=(1+i)(1-i), iar 1+i si 1-i nu sunt inversabile caci N(1+i)= N(1-i)=2.

Sa aratam acum ca 1+i si 1-i sunt elemente ireductibile in [i] . Fie 1+i= . Atunci 2= N(1+i)= si avem deci o descompunere in Z a lui 2,de unde rezulta sau N()=2 si N=1, sau invers. Deci, conform lemei de mai sus sau este asociat cu 1+i in,sau este asociat cu 1+i. Asadar 1+i este element ireductibil in . Pentru 1-i rationamentul este analog.

Numarul 3 in este ireductibil. In adevar, daca ar fi ireductibil ar exista o descompunere a sa de forma 3= , in care si sunt neinversabile. Atunci obtinem ca 9=N(3)= , de unde rezulta =3 si =3, deoarece am presupus ca si sunt neinversabile. Fie =a+bi. Atunci:

=

Deci a si se observa ca nu exista numere intregi a,b care sa verifice aceasta egalitate, deci un astfel de nu exista si prin urmare 3 este ireductibil in .

Consideram inelul ;acesta este format din toate elementele care se scriu sub forma a+bi, unde a, bZ. Definim si aici functia N: N (numita functie norma) prin =, unde = a+bi.Se verifica imediat acesta functie este multiplicativa, adica pentru , avem

de unde rezulta ca daca |, atunci .

Ca si pentru inelul intregilor lui Gauss, avem ca un element este inversabil daca si numai daca =1, rationamentul fiind intrutotul analog. Fie = a+bi; este inversabil daca si numai daca =1, de unde rezulta ca in acest inel elementele inversabile sunt 1 si -1. Se observa, de asemenea, ca si pentru acest inel ramane valabila lema.

Sa consideram acum elemental 3 din acest inel . 3 este ireductibil, caci daca 3= si sineinversabile rezulta ca 9=, adica . Daca = a+bi, atunci avem 3=, ceea ce nu este posibil. Insa 3 nu este un numar prim in acest inel caci , iar 3 nu divide nici unul dintre factori. Daca ar divide de exemplu pe , ar rezulta ca N(3)=9 ar divide pe N=21. Acest exemplu arata ca reciproca propozitiei 1.14 nu este intotdeauna adevarata, adica nu in orice inel integru un element ireductibil este prim. Deducem, de asemenea, ca in nu oricare doua elemente au un c.m.m.d.c.