Administratie | Alimentatie | Arta cultura | Asistenta sociala | Astronomie |
Biologie | Chimie | Comunicare | Constructii | Cosmetica |
Desen | Diverse | Drept | Economie | Engleza |
Filozofie | Fizica | Franceza | Geografie | Germana |
Informatica | Istorie | Latina | Management | Marketing |
Matematica | Mecanica | Medicina | Pedagogie | Psihologie |
Romana | Stiinte politice | Transporturi | Turism |
Matrice, determinanti, rangul unei matrice |
Ce este o matrice? Cum se calculeaza determinantul unei matrice de ordin 3 sau 4. Ce este rangul unei matrice? Cum se calculeaza rangul unei matrice ? |
Fie M = , N = multimea primelor m, respective n, numere naturale nenule. Vom numi matrice de tipul (m,n) o functie A : M N C. Daca notam A(i,j) = c, vom nota pe A sub forma (1) Adica printr-un tablou cu m linii si n coloane ce cuprinde valorile functiei A. Datorita notatiei (1), in loc de matrice de tipul (m,n) se mai spune matrice cu m linii si n coloane. Numerele se numesc elementele matricei A. De multe ori pentru matricea A se mai foloseste notatia prescurtata: sau Se observa ca o matrice de tipul (m,n) are mn elemente. Cazuri particulare: I). Daca n =1, o matrice de tipul (m,1) se numeste matrice coloana si este de forma II). Daca m =1, o matrice de tipul (1,n) se numeste matrice - linie si este de forma III). Daca m = n, o matrice de tipul (n,n) se numeste matrice patratica de ordinul n. Daca este o matrice patratica de ordinul n, sistemul ordonat de elemente se numeste diagonala principala a matricei A, iar sistemul ordonat de elemente se numeste diagonala secundara a matricei. Matricea care se obtine din matricea A schimband in aceasta liniile cu coloanele se numeste transpusa matricei A si se noteaza At . Exemple. 1) 2) Adunerea matricelor se face pe componente iar inmultirea cu scalari se face inmultind fiecare element al matricei cu acel scalar. Definitie. Numarul unde S este multimea tuturor permutarilor de gradul n si este signatura permutarii se numeste determinantul matricei A sau, mai simplu, determinantul de ordin n si se noteaza astfel:
Produsul se numeste termen al determinantului de ordin n. Cazuri particulare. . Fie A o matrice de ordin trei cu coeficienti reali, A=, determinantul matricei A, notat detA sau este un numar care se calculeaza astfel: detA=a11a22a33+ a13a21a32+ a12a23a31- a13a22a31- a21a12a33- a11a32a23. Daca matricea este de ordinul 4, atunci se dezvolta dupa o linie sau o coloana (de obicei prima linie) in 4 determinanti de ordin 3. Fie A=, det A=
Proprietati. Determinantul unei matrice coincide cu determinantul matricei transpuse. Daca toate elementele unei linii (coloane) sunt nule, atunci determinantul matricei este nul. Daca intr-o matrice schimbam doua linii (coloane) intre ele, obtinem o matrice care are determinantul egal cu opusul determinantului matricei initiale. Daca o matrice are doua linii (coloane) identice, atunci determinantul sau este nul. Daca toate elementele unei linii (coloane) ale unei matrice A sunt inmultite cu un element a obtinem o matrice al carui determinant este egal cu a inmultit cu determinantul matricei initiale. Daca elementele a doua linii (coloane) ale unei matrice sunt proportionale, atunci determinantul matricei este nul. RANGUL UNEI MATRICE Sa consideram o matrice A cu m linii si n coloane cu elemente numere complexe, M(C), iar k un numar natural, astfel incat ( prin min(m,n) intelegem cel mai mic dintre numerele m si n). Daca in A alegem k linii: si k coloane: , elementele care se gasesc la intersectia acestor linii si coloane formeaza o matrice patratica de ordin k: M C), al carei determinant se numeste minor de ordin k al matricei A. Sa consideram o matrice cu m linii si n coloane. Cum matricea A are elemente nenule, exista minori nenuli de un anumit ordin Dar multimea minorilor matricei A fiind finita este evident ca exista un numar natural astfel incat sa avem cel putin un minor de ordin r nenul, iar toti minorii de ordin mai mare decat r ( daca exista) sa fie nuli. Definitie. Fie AM(c) o matrice nenula. Spunem ca matricea A are rangul r, si scriem rangA=r, daca A are un minor nenul de ordin r, iar toti minorii lui A de ordin mai mare decat r ( daca exista) sunt nuli. Daca A este matricea nula, convenim sa spunem ca matricea are rangul 0, adica rang( Pentru calculul rangului unei matrice este utila teorema urmatoare. Teorema. Fie , o matrice. Numarul natural r este rangul matricei A daca si numai daca exista un minor de ordin r al lui A, nenul, iar toti minorii de ordinul r+1 (daca exista) sunt nuli. Aplicatie. Sa se calculeze rangul matricei
Rezolvare. Exista minori de ordinul al doilea nenuli, ca de exemplu:
Calculam minorii de ordinul al treilea ai matricei A si gasim ca toti sunt nuli: . Deci rangul matricei rang A=2. |
Acest document nu se poate descarca
E posibil sa te intereseze alte documente despre: |
Copyright © 2024 - Toate drepturile rezervate QReferat.com | Folositi documentele afisate ca sursa de inspiratie. Va recomandam sa nu copiati textul, ci sa compuneti propriul document pe baza informatiilor de pe site. { Home } { Contact } { Termeni si conditii } |
Documente similare:
|
ComentariiCaracterizari
|
Cauta document |