Multimea numerelor complexe

MULTIMEA NUMERELOR COMPLEXE "ℂ"

ℂ =ℝ x ℝ ={(x, y) | x, yℝ}= {z | z=x+iy, x,yℝ} - multimea numerelor complexe;


z=(x, y) - numar complex;

(x, 0)=x;

(0, 0)=0;

(1, 0)=1;

(0, 1)=i unitate imaginara;

(x, y)=(x, 0)+(0, y)= (x, 0)+(y, 0)(0, 1);

z1+z2=(x1, y1)+(x2, y2)=(x1+x2, y1+y2) adunarea;

z1z2=(x1, y1)(x2, y2)=(x1x2-y1y2, x1y2+x2y1) inmultirea.

Proprietati:


(z1+z2)+z3=z2+(z1+z3), z1,z2,z3ℂ asociativitatea adunarii;

(z1z2)z3=z2(z1z3),  z1,z2,z3ℂ asociativitatea inmultirii;

z1+z2=z2+z1,  z1,z2ℂ comutativitatea adunarii;

z1z2=z2z1,  z1,z2ℂ comutativitatea inmultirii;

z+0=0+z=z,  zℂ, 0 element neutru pentru adunare;

z1=1z=z,  zℂ, 1 element neutru pentru inmultire;

z+(-z)=(-z)+z=0,  zℂ, (-z) element opus pentru z;

zz-1=z-1z=1,  zℂ*, z-1 element invers pentru z;

z1(z2+z3)=z1z2+z1z3,  z1,z2,z3ℂ distributivitatea inmultirii fata de adunare;

(z1+z2)z3=z1z3+z2z3,  z1,z2,z3ℂ distributivitatea inmultirii fata de adunare.

Forma algebrica a numarului complex: z=x+iy


Re(z)= x partea reala;

Im(z)=y coeficientul partii imaginare;

iy parte imaginara;

i unitate imaginara;

i2=-1;

z1+z2=(x1+i y1)+(x2+iy2)=(x1+x2)+i(y1+y2) adunarea;

z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x1y2+x2y1) inmultirea.

Egalitatea a doua numere complexe:

z1=(x1+i y1)= (x1,y1), z2=(x2+iy2)= (x2,y2), z1=z2  x1=x2 si y1=y2;

Conjugatul numarului complex z:

;

;

;

;

.
Modulul unui numar complex:

|z|=|x+iy|= ℝ.

|z1z2|=|z1|.|z2|;

.
Puterile lui i:




Reprezentarea geometrica a numerelor complexe:

z=x+iy=(x,y), x,yℝ i se asociaza punctul M(x,y);

M se numeste imaginea geometrica a numarului complex x+iy;

x+iy se numeste afixul punctului M;

ΔAOM OM= .

Forma trigonometrica a numerelor complexe: z=r(cos t* + i sin t*)

OM= - r raza polara a imaginii lui z;

x=r cos t*, y=r sin t*, tg t*= ; arg z=t* argument redus al lui z;

Arg z={t | t=arg z +2k, kℤ}={t | t=t*+2k, kℤ} argumentul lui z;

z1=r1(cos t1 + i sin t1), z2=r2(cos t2 + i sin t2) ⇒ z1. z2=r1. r2 [cos(t1+ t2) + i sin (t1+ t2)] - inmultirea;

z=r(cos t + i sin t) ⇒ zn=rn (cos nt + i sin nt) - ridicarea la putere;

(cos t + i sin t)n = (cos nt + i sin nt) - formula lui Moivre;

z1=r1(cos t1 + i sin t1), z2=r2(cos t2 + i sin t2) ⇒ [cos(t1- t2) + i sin (t1- t2)] - impartirea;