Modelul liniar unifactorial

Se cunosc urmatoarele date privind incasarile medii lunare si suprafata comerciala a 12 societati avind acelasi profil de activitate:

Se cere:

a.  sa se specifice modelul econometric ce descrie legatura dintre cele doua variabile;

b. sa se estimeze parametrii modelului si sa se calculeze valorile teoretice ale variabilei endogene;

c.  sa se verifice ipotezele de fundamentare a metodei celor mai mici patrate;

d. sa se verifice semnificatiile estimatorilor si verosimilitatea modelului;

e.  sa se estimeze incasarile lunare ale unei societati comerciale care are o suprafata de 125 m².

a. Pe baza datelor problemei se poate construi un model econometric unifactorial de forma:

y = f ( x ) + u

unde: - y reprezinta valorile reale ale variabilelor dependente (incasarile medii lunare);

- x reprezinta valorile reale ale variabilelor independente (suprafata comerciala);

- u este variabila reziduala , reprezentand influentele celorlalti factori ai variabile y, nespecificati in model, considerati factori intamplatori, cu influente nesemnificative asupra variabilei y.

Analiza datelor din tabel, in raport cu procesul economic descris conduce la urmatoarea specificare a variabilelor:

y - incasarile medii lunare reprezentand variabila rezultativa, ale carei valori depind de o serie de factori: suprafata comerciala, amplasarea magazinului, publicitate, numar de salariati, pret de vanzare, s.a.m.d.;

x - suprafata comerciala, factorul considerat cu influenta cea mai puternica asupra variabilei y.

Specificarea unui model econometric presupune alegerea unei functii matematice cu ajutorul careia poate fi descrisa legatura dintre cele doua variabile. Pentru modelul unifactorial, procedeul cel mai des folosit il constituie reprezentarea grafica cu ajutorul corelogramei.

Cu ajutorul graficului s-au reprezentat legaturile dintre incasarile medii lunare ale unitatii (variabila rezultativa) si suprafata comerciala. Din grafic se poate observa ca asupra caracteristicii rezultative, pe langa suprafata comerciala, au influentat si alti factori intrucat exista puncte asezate fara nici o regularitate, influenta acestor factori intamplatori neidentificati se va elimina prin ajustare, adica prin stabilirea liniei de regresie teoretica. Intre numarul de angajati si volumul vanzarilor exista o legatura stransa datorita concentrarii intense a frecventelor in jurul diagonalei.

Din grafic se poate observa ca distributia punctelor empirice poate fi aproximata cu o dreapta. Drept urmare, modelul econometric care descrie legatura dintre cele doua variabile este un model liniar unifactorial y = a + bx + u , a si b reprezentand parametrii modelului, b > 0 , panta dreptei fiind pozitiva rezulta ca legatura dintre cele doua variabile este directa liniara.

a - este coeficientul care exprima influenta factorilor neinclusi in model, considerati cu influenta constanta

b - coeficient de regresie

b. Deoarece parametrii modelului sunt necunoscuti, valorile acestora se pot estima cu ajutorul mai multor metode. Se va utiliza metoda celor mai mici patrate, aceasta fiind utilizata in mod curent. Aceasta metoda porneste de la urmatoarea relatie:

unde:

reprezinta valorile teoretice ale variabilei y obtinute numai in functie de valorile factorului esential  x si valorile estimatorilor parametrilor a si b, respectiv si

estimatia valorilor variabilei reziduale.

In mod concret MCMMP consta in a minimiza functia:

Rezolvand sistemul:

vom obtine estimatorii si

Cu ajutorul estimatiilor parametrilor se pot calcula valorile teoretice (estimate) ale variabilei endogene, , cu ajutorul relatiei:

Tabel 1.a

Tabel 1.b

Valorile variabilei reziduale se vor obtine din urmatoarea relatie:

Pe baza acestor valori se pot calcula abaterea medie patratica a variabilei reziduale si abaterile medii patratice ale celor doi estimatori, si

unde:

k - este numarul estimatorilor;

In urma acestor calcule, modelul econometric se poate scrie:

(0,218) (0,002)

c. Estimatorii obtinuti cu ajutorul metodei celor mai mici patrate sunt estimatori de maxima verosimilitate daca pot fi acceptate urmatoarele ipoteze:

c1. Variabilele observate nu sunt afectate de erori de masura.

Aceasta conditie se verifica cu regula celor trei sigma, regula care consta in verificarea urmatoarelor relatii:

Pe baza datelor obtinem

Deoarece valorile acestor variabile apartin intervalelor si , ipoteza de mai sus poate fi acceptata fara rezerve.

c2. Variabila aleatoare (reziduala) u este de medie nula , iar dispersia ei este constanta si independenta de X - ipoteza de homoscedasticitate, pe baza careia se poate admite ca legatura dintre X s si Y este relativ stabila.

Se va utiliza procedeul grafic pentru a stabili acceptarea sau nu a ipotezei. Se va construi corelograma privind valorile variabilei factoriale x si ale variabilei reziduale u.

Deoarece graficul punctelor empirice prezinta o distributie oscilanta, se poate accepta ipoteza ca cele doua variabile sunt independente si nu corelate.

c3. Valorile variabilei reziduale () sunt independente, respectiv nu exista fenomenul de autocorelare.

c3.1. Procedeul grafic: corelograma intre valorile variabilei dependente (y) si valorile variabilei reziduale  (

Ca si in graficul precedent, distributia punctelor empirice fiind oscilanta, se poate accepta ipoteza de independenta a erorilor.

c3.2. Pentru acceptarea sau respingerea acestei ipoteze se utilizeaza testul Durbin-Watson.

se calculeaza termenul empiric

Pentru pragul de semnificatie , numarul variabilelor exogene k = 1 si numarul observatiilor n = 12, din tabela distributiei Durbin-Watson se iau valorile si

Deoarece d₁ < d < d₂    indecizie.

c4. Verificarea ipotezei de normalitate a valorilor variabilei reziduale

Daca erorile urmeaza legea normala de medie zero si de abatere medie patratica , atunci are loc relatia:

Lucrand cu un prag de semnificatie si cu un numar de grade de libertate v= n - 2=12 - 2=10 vom avea . Cu ajutorul acestor date verificarea ipotezei de normalitate se poate face pe baza urmatorului grafic: pe axa Ox se trec valorile ajustate ale variabilei y (adica ), iar pe axa Oy se vor trece valorile variabilei reziduale (adica

Se observa ca valorile empirice ale variabilei reziduale se inscriu in banda construita, cu un prag de semnificatie . Ca atare, ipoteza de normalitate a variabilei reziduale poate fi acceptata cu acest prag de semnificatie.

d.

d1. verificarea semnificatiei estimatorilor.

Estimatorii sunt semnificativ diferiti de zero, cu un prag de semnificatie , daca se verifica urmatoarele relatii:

si

Pe baza calculelor de mai sus se observa faptul ca ambii estimatori sunt semnificativ diferiti de zero, cu un prag de semnificatie

d2.  Verificarea verosimilitatii modelului

Pentru a accepta ipoteza de liniaritate se calculeaza coeficientul de corelatie liniara:

Coeficientul de corelatie liniara fiind definit in intervalul [-1;1], rezulta ca valoarea obtinuta de 0,997 indica o corelatie liniara puternica intre cele doua variabile.

Verificarea verosimilitatii modelului se face cu ajutorul analizei dispersionale (analiza variatiei).

Testul Fisher - Snedecor indica faptul ca rezultatele obtinute sunt semnificative, cu un prag de semnificatie de 1%.

Pe baza datelor din tabel se poate calcula raportul de corelatie dintre cele doua variabile:

In cazul unei legaturi liniare, raportul de corelatie este egal cu coeficientul de corelatie liniara:  

Verificarea semnificatiei raportului de corelatie si, implicit, a coeficientului de corelatie liniara se face cu ajutorul testului Fisher - Snedecor:

Deoarece raportul de corelatie este semnificativ diferit de zero, cu un prag de semnificatie , rezulta modelul econometric:

care descrie corect dependenta dintre cele doua variabile, acesta explicand 99,4% din variatia totala a variabilei dependente, adica variatia incasarilor medii lunare se datoreaza in proportie de 99,4% suprafetei comerciale.

e. In medie incasarile lunare vor fi egale cu:

mil.lei

Incasarile medii lunare y urmeaza o distributie normala, de medie Y si de abatere medie patratica . Pentru

Estimarea incasarilor medii lunare, care se pot obtine daca suprafata comerciala este de 125, pe baza unui interval de incredere se calculeaza cu relatia:

Pentru un prag de semnificatie sau cu o probabilitate egala cu 0,99, incasarile medii lunare care vor putea fi realizate de unitate sunt cuprinse in intervalul:

adica: