Multlmi

MULTlMI

Prin multime intelegem o colectie de obiecte care se numesc elementele multimii. Vom nota cu litere mari multimile, cu litere mici elementele lor. Daca A este o multime si x un element al sau, vom scrie x I A si vom citi ,,x apartine lui A'. Daca x nu se gaseste in A, atunci vom scrie x A si vom citi ,,x nu apartine lui A'.

Exista doua moduri de definire (de determinare) a unei multimi:

i) Numind individual elementele sale. In acest caz, multimea se specifica scriind intre acolade elementele sale . De exemplu, A = , adica multimea formata din primele patru numere naturale; B = adica multimea formata din primele cinci litere ale alfabetului latin.

ii) Specificand o proprietate pe care o au elementele sale si nu le au alte elemente. Mai precis, data o proprietate se poate vorbi de multimea acelor obiecte pentru care proprietatea respectiva are loc. Multimile definite in acest mod se vor nota prin A = , adica multimea acelor obiecte x pentru care are loc P(x).

De exemplu, sa consideram proprietatea a fi numar natural par'; in acest caz multimea A va fi multimea numerelor naturale pare.

O multime care are un numar finit de elemente se zice finita. In caz contrar se numeste infinita.

Pentru cateva multimi care vor fi des utilizate avem notatii speciale: cu N vom nota multimea numerelor naturale, adica N = . Cu N* vom nota multimea    numerelor naturale nenule, adica N = . Cu Z vom nota multimea numerelor intregi, cu Q multimea numerelor rationale, cu R multimea numerelor reale, iar cu C multimea numerelor complexe.

In teoria multimilor se admite existenta unei multimi care nu are nici un element, aceasta se numeste multimea vida si se noteaza cu simbolul

Daca A si B sunt doua multimi, vom spune ca A este o submultime a lui B (sau A este continuta, respectiv inclusa in B) si vom scrie A B daca orice element al multimii A este si element al multimii B. Simbolic scriem astfel: x, x I A T x I B.

Multimea vida este o submultime a oricarei multimi. Intre multimile considerate mai inainte avem incluziunile: N* N Z Q R C.

Doua multimi A si B se zice ca sunt egale daca au aceleasi elemente, adica A = B A B si B A (" " inseamna 'daca si numai daca').

Relatia de incluziune (resp. relatia de egalitate) intre multimi are proprietatile urmatoare:

a) este reflexiva, adica A A (resp. A = A);

b) este antisimetrica, adica din A B si B A rezulta A = B (resp. este simetrica adica A = B T B = A);

c) este tranzitiva, adica A B si B C  T A C (resp. A = B si B = C T A = C).

Relatia de incluziune ne permite sa definim multimea partilor unei multimi T, notata cu P(T), adica P(T) are ca elemente toate submultimile multimii T.

Cu multimi se fac urmatoarele operatii:

. intersectia a doua multimi A si B inseamna multimea

A B = ;

. reuniunea multimilor A si B inseamna multimea

A B = .

In cazul cand A B = , atunci spunem ca multimile A si B sunt disjuncte

Operatiile de intersectie si reuniune satisfac egalitatile

A (B C) = (A B) (A C),

A (B C) = (A B) (A C).

Prin diferenta multimilor B si A intelegem multimea

B A = .

Daca A este o submultime a lui B, atunci diferenta B A se numeste complementa-ra multimii A in B si se noteaza cu C_BA. De exemplu C_B = B, iar C_BB =

Daca A si A' sunt doua submultimi ale multimii B au loc egalitatile:

C_B (A A') = (C_BA) (C_B A')

C_B (A A') = (C_BA) (C_BA')

numite formulele lui de Morgan.

Fie A si B doua multimi arbitrare. Daca a I A si b I B, atunci putem forma perechea ordonata (cuplul) (a, b), adica perechea formata din elementele a si b unde este stabilita o anumita ordine in sensul ca a este primul element iar b este al doilea element in aceasta pereche. Rezulta ca doua perechi (a₁, b₁) si (a₂ , b₂) sunt egale daca si numai daca a₁ = a₂ si b₁ = b₂. Prin produsul cartezian al multimilor A si B intelegem multimea

A x B=.

Cand A = B, atunci notam A² = A x A.

Se observa ca daca una dintre multimile A sau B este multimea vida,   atunci A x B = . In plus, daca A are m elemente iar B are n elemente, atunci multimea A x B are m n elemente.