Reprezentarea sistemelor dinamice liniare prin functii de transfer

Obiectiv: Evidentierea modelelor de tip functie de transfer. Calcularea raspunsurilor sistemelor dinamice liniare - analitic si in Matlab.

Breviar teoretic

Raspunsul in domeniul timp

Un sistem dinamic liniar, continuu si invariant in timp, actionat prin marimea de intrare u(t) si avand marimea de iesire y(t), poate fi descris printr-un model matematic de tip ecuatie diferentiala liniara de ordinul n, cu coeficienti constanti si reali

. (1)

O descriere echivalenta a sistemului, pentru CONDITII INITIALE NULE:

si , este prin functia de transfer:

, (2)

unde Y(s) si U(s) sunt transformatele Laplace ale semnalelor y(t) si u(t), iar P(s) si Q(s) sunt polinoame cu coeficienti reali, de variabila complexa.

Pentru sisteme strict realiste (care exista in realitate) . Daca aceasta conditie nu este indeplinita, nu se poate gasi un sistem real corespunzator acestui model.

Radacinile polinomului P(s) se numesc polii sistemului. Radacinile lui Q(s) se numesc zerourile sistemului.

Raspunsul in domeniul timpului al sistemului descris de (1), (2) reprezinta iesirea y(t), t ≥ 0, calculata pentru u(t) cunoscut in domeniul t ≥ 0.

In studiul sistemelor intervin raspunsuri tipice, definite pentru forme particulare ale semnalului de intrare:

a)Raspunsul indicial - raspunsul sistemului (1), (2) in domeniul timpului, pentru conditii initiale nule si semnal de intrare de tip treapta unitara.

b)Raspunsul la impuls - raspunsul sistemului (1), (2) in domeniul timpului, pentru conditii initiale nule si semnal de intrare de tip impuls Dirac.

c)Raspunsul la semnal sinusoidal - raspunsul sistemului(1), (2) in domeniul timpului pentru conditii initiale nule si un semnal de intrare sinusoidal de tipul .

Evident raspunsul in domeniul timpului poate fi determinat analitic, deci ca o functie explicita de timp pentru t ≥ 0.

1.1 Metoda analitica de calcul al raspunsului

Pe baza modelului tip (1)

Se rezolva ecuatia diferentiala de tip 1

Pe baza functiei de transfer

Se foloseste transformata Laplace:

Pasul 1 Se determina transformata Laplace a raspunsului sistemului:

Pentru calculul lui U(s) prezentam mai jos un tabel de transformate Laplace:

   

Tabel 1 Tabel 2

Pasul 2 Se descompune Y(s) in fractii simple si se calculeaza constantele ce intervin la numaratorul fractiilor simple.

Se noteaza , unde M(s) si N(s) sunt polinoame de variabila complexa, cu coeficienti reali.

Fractiile simple se aleg dupa radacinile lui N(s), astfel:

a) pentru o radacina (notata p) de multiplicitate 1 , fractia simpla corespunzatoare este:

;

b) pentru o radacina (notata p) de multiplicitate , fractiile simple corespunzatoare sunt:

;

unde:

.

Daca N(s) are doua radacini complexe, conjugate, de multiplicitate 1, acestea se pot grupa si fractia simpla corespunzatoare lor este:

,

unde B si C se obtin prin metoda identificarii coeficientilor.

Pasul 3. Se calculeaza y(t), folosind inversa transformatei Laplace pentru Y(s) obtinut ca suma de fractii simple. Este util in acest scop tabelul 2.

Deoarece polinomul N(s) are coeficienti reali, daca N(s) admite o radacina complexa, atunci sigur admite si radacina complexa conjugata. Se pot grupa in perechi termenii corespunzatori acestor radacini si se pot opera prelucrari pe baza formulelor:

,

asa cum se va arata in exemplele urmatoare.

Observatie: Se obtine astfel raspunsul y(t) pentru t >= 0; pentru t < 0 , pe baza principiului cauzalitatii ( pentru t < 0).

2. Exercitii rezolvate analitic

Sa se calculeze raspunsurile indicial, la impuls si respectiv la intrarea , pentru sistemele indicate mai jos.

Rezolvare:

Raspunsurile calculate analitic in cele ce urmeaza sunt indicate in fig. 1.

^{1) Sistemul 1:}

.

a) Raspunsul la intrarea (numit raspuns indicial)

Pasul 1 .

Pasul 2 ,

unde: .

Se obtine: .

Pasul 3 .

Folosind tabelul 2, se obtine: .

Rezulta ca: .

b) Raspunsul la intrarea (raspuns la impuls)

.

c) Raspunsul la intrarea

,

unde:

Se obtine:

.

^{2) Sistemul}

.

Raspunsul la intrarea (raspuns la impuls)

Rezulta:

^{3) Sistemul 3:}

.

Raspunsul la intrarea (numit raspuns indicial)

Prin metoda identificarii coeficientilor se obtine:

.

In concluzie, se poate scrie:

^{4) Sistemul 4:}

Raspunsul la intrarea (raspuns la impuls)

,

unde:

.

Se obtine:

.

Fig. 1 Raspunsurile analizate la exercitiul 1

Observatii:

- daca sistemul are doar poli cu parte reala strict negativa, raspunsul sistemului va avea, dupa un anumit interval de timp (numit regim tranzitoriu), o forma asemanatoare cu intrarea (se spune ca sistemul admite un regim permanent); pentru astfel de sisteme raspunsul indicial tinde la o constanta, raspunsul la impuls tinde la zero.

- daca sistemul are poli complecsi, raspunsurile indicial si la impuls sunt oscilante; daca sistemul are doar poli complecsi cu parte reala strict negativa si, eventual, alti poli reali, cu parte reala negativa, raspunsurile indicial si la impuls sunt oscilante, amortizate.

- daca sistemul are doar poli reali, raspunsul indicial si la impuls sunt aperiodice

3. Simularea sistemelor dinamice liniare continue cu ajutorul MATLAB

Domeniul de definitie al lui y(t) este intervalul (0, ). In Matlab, din intervalul continuu de valori ale timpului, pot fi retinute un numar finit de valori: t=[t₁ t₂ t₃ t_n]. Atunci marimile de intrare si de iesire vor fi reprezentate prin vectori de forma:

u=[u(t₁) u(t₂) u(t₃)..u(t_n)]= [u₁ u₂ u₃ ..u_n]

y=[y(t₁) y(t₂) y(t₃)..y(t_n)]= [y₁ y₂ y₃ ..y_n]

Functiile Matlab, care calculeaza si returneaza iesirea sistemului pentru anumite intrari, solicita construirea urmatorilor vectori:

doi vectori necesari pentru descrierea in mod unic a sistemului modelat de (2):

- un vector corespunzator polinomului Q(s) de la numaratorul functiei de transfer:

num = [b_m b_m-1 . b₀]

- un vector corespunzator polinomului P(s) de la numitorul functiei de transfer:

den = [a_n a_n-1a₀]

vectorul de timp t care sa precizeze momentele de timp la care este calculata iesirea sistemului:

t=[t₁ t₂ t₃ t_n]

vectorul de intrare u la momentele de timp indicate prin vectorul t:

u=[u(t₁) u(t₂) u(t₃)..u(t_n)]= [u₁ u₂ u₃ ..u_n]

Daca intrarea este de tip treapta sau impuls Dirac se recomanda folosirea functiilor Matlab step, impulse care isi construiesc automat vectorii de intrare necesari.

In general, punctele din vectorul timp se plaseaza echidistant in intervalul [t_l , t_n].

t=t₁:p:t_n = [t₁ t₂ t₃ t_n] = [t₁ + 0*p t₁ +p..t₁+(n-1)*p], unde

p = pas de simulare

t₁+(n-1)*p = t_n

Acesti vectori vor fi argumente pentru functiile Matlab cu ajutorul carora se va determina raspunsul in domeniul timpului pentru sistemele de tipul (2). Functiile Matlab vor returna vectorul de iesire y=[y(t₁) y(t₂) ..y(t_n)].

3.1 Indicatii asupra modului de alegere a vectorului de timp

t=t₁:p:t_n = [t₁ t₂ t₃ t_n] = [t₁ + 0*p t₁ +p..t₁+(n-1)*p], unde

p=pas de simulare

t₁+(n-1)*p=t_n.

Vectorul de iesire va fi  [y(t1) y(t2).y(tn)].

Simularea sistemelor dinamice cu ajutorul MATLAB-ului solicita alegerea unui interval de timp marginit de simulare [t₁, t_n], cu t₁ si t_n finiti, interval pe care se urmareste comportarea sistemului. In acest interval se alege un numar finit de puncte de simulare (puncte in care va avea loc esantionarea semnalelor), in general echidistante. In acest caz, distanta dintre doua puncte de simulare succesive se va numi pas de simulare.

Trebuie stabilite lungimea intervalului de simulare si pasul de simulare, in asa fel incat simularea sa furnizeze toate informatiile importante despre iesirea sistemului si sa nu fie consumatoare de timp.

- cu cat numarul punctelor de simulare este mai mare, cu atat simularea va evidentia mai bine comportarea sistemului real, fiind ilustrate toate variatiile lui y(t); simularea va implica, in aceste situatii, un consum mare de memorie si o viteza mica de lucru, ca urmare a unui numar mult mai mare de calcule ce trebuie efectuate.

- daca numarul de puncte de simulare este prea mic, se pot obtine informatii eronate (incomplete) despre evolutia sistemului.

Se pune problema de a gasi un compromis acceptabil intre aceste doua tendinte divergente. Pentru a nu denatura printr-un calcul numeric prost conditionat raspunsul simulat fata de forma analitica se ofera cateva sugestii de alegere a marimii intervalului de esantionare.

- pasul de esantionare p se alege in functie de polul de modul maxim, dupa formula:

  (3)

Pentru a explica aceasta formula trebuie amintit faptul ca raspunsul sistemul in domeniul timpului este, de fapt, o superpozitie de exponentiale de tipul:

. (4)

Raspunsul este corect obtinut, daca variatia tuturor aceste exponentiale este surprinsa in suficiente puncte.

Daca polul are parte reala strict negativa, exponentiala (4) tinde la zero. Alegand pasul de simulare dupa formula (3), chiar si exponentiala cea mai rapida (corespunzatoare polului de modul maxim) este surprinsa in suficiente (minim 10) puncte de simulare pana se anuleaza.

- lungimea intervalului de simulare [ t_1, t_n]

Se alege de lungime suficient de mare, astfel incat sistemul sa atinga regimul permanent de functionare (cand acesta exista). De regula, se prefera ca regimul permanent sa fie reprezentat pentru aproximativ o treime din intervalul de simulare (lungimea intervalului de simulare = 1.5* timpul de raspuns al sistemului).

Daca lungimea intervalului de simulare este prea mare, regimul tranzitoriu ajunge sa fie descris pentru o portiune a intervalului de simulare care sa reprezinte procentual prea putin din lungimea totala a intervalului de simulare. In acest caz, pe reprezentarea grafica a marimii de iesire performantele de regim tranzitoriu vor fi greu de urmarit.

Cu titlu orientativ se poate folosi de formula:

, (5)

in care se considera polul de parte reala minima in modul.

Aceasta lungime a intervalului de simulare asigura, intuitiv, suficient timp pentru ca toate exponentialele coresponzatoare polilor cu parte reala strict negativa, continute de raspunsul sistemului, sa ajunga la valori apropiate de zero.

In final, vectorul de timp de simulare se retuseaza prin incercari repetate, plecand de la cele enuntate anterior.

Se mareste numarul punctelor de simulare, pana cand in reprezentarea grafica a lui y(t) se obtine o curba neteda (fara puncte de frangere) in domeniul t > 0. Se ajusteaza lungimea intervalului de simulare pana cand regimul tranzitoriu si permanent sunt reprezentate in proportii convenabile.

Lansati programul demonstrativ esant.m pentru a urmari pe un exemplu ce efecte poate avea alegerea gresita a vectorului de timp t.

3.2 Functii pentru calcularea in Matlab a raspunsului sistemului in domeniul timp

a)step

efect: calculeaza raspunsul indicial al sistemului

argumente: num, den, t

returneaza: vectorul de iesire y=[y(0) y(p) .y(qp)]'

Sintaxa: y=step(num,den, t);

b)impulse

efect: calculeaza raspunsul sistemului la o intrare de tip impuls Dirac

argumente: num, den, t

returneaza: vectorul de iesire y=[y(0) y(p) .y(qp)]'

Sintaxa: y=impulse(num,den, t);

c)lsim

efect: calculeaza raspunsul sistemului la o un semnal de intrare oarecare u

argumente: num, den, t, u

returneaza: vectorul de iesire y=[y(0) y(p) .y(qp)]'

Sintaxa: y=lsim(num,den,u, t);

se va folosi u=[u(0) u(p)u(qp)]'

Observatie: Cu ajutorul instructiunii plot (t, y) se poate reprezenta grafic iesirea sistemului.

4. Exercitii rezolvate in Matlab

Exercitiul 1

Fie sistemul dinamic liniar, descris prin  . Reprezentati grafic raspunsul sistemului la semnalul de intrare de tip treapta unitate, impuls Dirac si la un semnal de intrare sinusoidal de forma u(t)=sin(0.8 t).

Rezolvare:

num =[1];den=[5 1]; %Descriere sistem

T= 0:0.1:25; % Alegerea vectorului de timp T: polul este 0.2 si din formulele 5 si 3 % se poate alege pas=0.1 si tn=25.

g = impulse(num,den,T); %Determinarea raspunsului la impuls

h = step(num,den,T); %Determinarea raspunsului indicial

clf,subplot(211),plot(T,h,'r'),grid, subplot(212),plot(T,g,'r'),grid;

% Graficele pentru raspunsul la impuls si raspunsul indicial

figure; u = sin(0.8*T); y = lsim(num,den,u,T);clf, plot(T,y,'r');

% Determinarea raspunsului la semnalul u precizat:

Se remarca faptul ca, in regimul permanent, acest sistem copie forma semnalului de intrare (raspunsul la impuls tinde la zero, raspunsul indicial tinde catre o constanta, raspunsul la o intrare sinusoidala tinde catre o sinusoida). Acest lucru se intampla deoarece polii sistemului (p = -0.2) sunt cu parte reala strict negativa (p = -0.2 < 0). Raspunsurile indicial si la impuls sunt aperiodice, deoarece polul sistemului este real.

Exercitiul 2

Determinati familia raspunsurilor indiciale pentru sistemul.

cu : ω_n = 2.5 si parametrul a= 0; 0.2; 0.4, 0.6, 0.8,1 ,

Reprezentati grafic aceasta familie de raspunsuri:

Rezolvare

clear;t = 0:0.05:10;a = 0:0.2:1;

for i=1:6, den(i,:)=[1 2*a(i)*2.5 2.5^2]; end;

% fiecare linie din matricea den va contine coeficientii din polinomul polilor

% pentru o valoare a.

for i=1:6, H(:,i)=step([2.5^2],den(i,:),t);end;

% fiecare coloana din matricea H va contine raspunsul indicial al sistemului

% pentru o valoare a.

clf, plot(t,H,'r'), grid;

%graficele sunt trasate in acelasi sistem de axe, pentru toate valorile lui a.

Pentru a = 0 raspunsul indicial este o sinusoida neamortizata (nu copie intrarea in regim permanent), deoarece sistemul admite poli cu parte reala nula si exponentialele acestora nu tind la zero. Pentru 0 < a < 1, raspunsul indicial este oscilant amortizat (poli complecsi, conjugati). Pentru a >= 1, raspunsul indicial este aperiodic - fara componente oscilante (poli reali).

5. Probleme propuse

Problema 1

Calculati analitic si verificati prin simulare, in Matlab, raspunsul indicial, raspunsul la impuls si raspunsul la intrarea u(t)=sin2t, t ≥ 0, pentru sistemele descrise prin functiile de transfer:

.

Atentie la modalitatea de determinare a intervalului de simulare si a pasului de distribuire a punctelor de simulare. Notati vectorii de timp folositi.

Problema 2

Fie sistemul electric din figura 2.

Se considera ca marime de intrare (cauza) tensiunea electrica notata U si ca marime de iesire tensiunea electrica notata Y. Precizati cum se va comporta sistemul sub actiunea unei intrari constante u(t)=s(t), pentru cazul: C=1mF; R1=R2=1MW, stiind ca modelul sistemului de tip functie de transfer este:

Cum se va modifica raspunsul sistemului atunci cand se dubleaza valoarea lui R₁? Se modifica valorile lui y(t) in regim permanent? Dar pe durata regimului tranzitoriu? Folositi simularea numerica.

Problema 3

Se considera sistemul dinamic liniar descris prin functia de transfer .

a) Determinati raspunsul indicial (analitic si in Matlab); reprezentare grafica.

b) Determinati si reprezentati grafic raspunsul sistemului la o intrare de forma:

.

Observati efectul discontinuitatii lui u(t) asupra lui y(t).

c) Determinati si reprezentati grafic raspunsul sistemului la o intrare de forma:

.

Observati efectul discontinuitatii lui u(t) asupra lui y(t).

Indicatie:

- raspunsul indicial al sistemului rezulta:

_,

_.

- daca semnalul de intrare este , atunci .

Raspunsul sistemului la acest semnal de intrare este (vezi fig. 3):

.

Fig. 3 Raspunsul ce trebuie obtinut la problema propusa 3.