Administratie | Alimentatie | Arta cultura | Asistenta sociala | Astronomie |
Biologie | Chimie | Comunicare | Constructii | Cosmetica |
Desen | Diverse | Drept | Economie | Engleza |
Filozofie | Fizica | Franceza | Geografie | Germana |
Informatica | Istorie | Latina | Management | Marketing |
Matematica | Mecanica | Medicina | Pedagogie | Psihologie |
Romana | Stiinte politice | Transporturi | Turism |
Ecuatia unei drepte in plan
Dreapta determinata de un punct si o directie
Printr-un punct M putem costrui o singura dreapta de directie data .Directia poate fi precizata cu ajutorul unui vector
Ne punem problema determinari ecuatiei dreptei d , data de un punct M (x0, y0 ) si vectorul (a b) ; se numeste vectorul director al dreptei d
Fie A(xA-, YA) si B(xB, yB) doua puncte intr-un sistem de axe ortogonale
y
yB B
YA A
xA xB
O
Vectorul are cooordonatele xB- xA (abscisa ) si yB- yA (ordonata )
Raportul =m este panta dreptei AB
Considerand vectorii (x,y) si (x',y').Afirmatia ,, este coliniar cu,, se traduce vectorian ,, k un numar real nenul astfel incat =k,, este ceea ce imseamna,din punct de vedere al coordonatelor,x=kx' si y=ky',adica proportionalitatea coordonatelor.
Retinem deci :(x,y) si (x',y') sunt coliniari ==k,x',y'0
Sau (x,y) si(x',y') sau coliniari xy'-x'y=0
Teorema ecuatia dreptei d determinata de punctul M(xm,ym) si de vectorul director (a b) este :y-yM=(x-xM)
Dreapta determinata de doua puncte
Fie A(xA,yA) si B(xB,yB)doua puncte ;ele determina in mod unic dreapta AB.A gasi ecuatia dreptei determinata de punctele A,B revine la a gasi ecuatia dreptei data de punctul A(xA,yA)si de vectorul director(xB-xA,yB-yA)
OBS. FieA(xA-yA),B(xB,yB) doua puncte;dreaptaABare ecuatia
y-yA=(x-x1)
Sa observam ca panta dreptei AB este m=
Sa determinam ecuatia dreptei AB,A(-3,1),B(0,4)
Panta dreptei este m===1 si ecuatia este y-yA=m(x-xA) ;y-1=1*(x-(-3)) ;y-1=x+3,deci y=x+4
Y
B
yB
A
yA
0 xA xB X
Dreptele distincte de ecuatie y=mx+n si y=m'x+n' sunt paralele daca si numai daca m=m'.
Doua puncte distincte M1(x1,y1),M2(x2,y2)determina o dreapta unica d.
Daca x1=x2,atunci dreapta d este verticala si are ecuatia x=x1.Daca y1=y2,atunci dreapta d este orizontala si are ecuatia y=y1.Daca x1x2, atunci dreapta d este oblica.
Y
y=y1
x=x1
x
0 x
Ecuatia carteziana a dreptei oblice d este determinata de punctul M1(x1,y1)de panta m=.Astfel,d :y-y1=(x-x1)
Daca (x2-x1)(y2-y1)0(adica dreapta nu este orizontala si nici verticala),atunci ecutia d se scrie eshivalent sub forma :
=
Conditia de coliniaritate a trei puncteMi(xi,yi),i=1,2,3 se scrie :
x1 y1 1
x2 y2 1 =0
x3 y3 1
EX.Se dau punctele A -,2 B(, ),c(1,5).Sa se gaseasca ecuatia dreptei AB si sa se verifice ca punctele A,B,C sunt coliniare.
Dreapta AB are ecuatiaadica =,adica=.Deoarece punctul C se afla pe dreapta AB ,adica punctele A,B,C sunt coliniare.
O dreapta oblica d este determinata printr-un punct MO(x0,y0)Id si prin panta m (care da directia dreptei)Ce conditie trebuie sa verifice x si y pentru ca punctul M(x,y) sa fie situat pe dreapta d ?
OBS.Fie dreapta d definita prin punctul M0(x0,y0)I d si prinh panta m.
Punctul M(x,y)apartine dreptei d si daca si numai daca y-y 0=m(x-x0).
Demonstratie :Evident,M0(x0-y0)Id satisface relatia din teorema.De asemenea punctul M(x,y)M0(x0,y0) apartine dreptei d daca si numai daca panta data este egala cu panta calculata(fig.I.13),adica m=,xx0.
Afirmatia,,dreapta d este multimea punctelor M(x,y) cu proprietatea (x,y)IR2 si y-y0=m(x-x0)''este prescurtata prin d :y-y0=m(x-x0)
Aceasta ecuatie edte de forma y=mx+n,undem este panta,iar n=y0-mx0.
Numarul real n se numeste ordonata la origine,deoarece dreapta d intersecteaza Oy in punctul(O,n)
In particular,ecuatia dreptei oblice care trece pri origine,x0=0,y0=0,si are panta m este y=mx.Pentru m=1 obtinem y=x care este ecuatia primei bisectoare a unghiurilor axelor de coordonate,iar pentru m=-1 gasim y=-x,care este ecuatia celei de a doua bisectoare a unghiurilor axelor de coordonate(fig.I.14)
y
y
y=x y=x
M(x,y)
x
M0(x0,y0) 0
x
0 m=,xx0
fig.I.13 fig.I.14
EX.Se da triunghiul de vf A(-1,3),B(2,-1),C(3,6).
Sa se gaseasca :1)ecuatia dreptei AC
2)ecuatia paralelei prin B la AC
3)ecuatia mediatoarei segmentului[BC]
1)Panta dreptei AC este m==.Aceasta panta si punctul A(-1,3) fixeaza ecuatia y-3=(x+1) sau,in forma carteziana explicita,y=x+
2)Orice paralela la AC are panta m=.De aceea paralela prin B la AC are ecuatia y+1=(x-2) sau explicit y=x-
3)Mijlocul M al segmentului BC are coordonatele .Panta dreptei BC este mBC==7.Mediatoarea segmentului BC este dreapta perpendiculara pe BC ce trece prin mijlocul M.Astfel,mediatoarea are panta m=-=- si are ecuatia y-
Fie un plan P si d o dreapta oarecare din planul P.Fie O,AId doua punte distincte si R multimea numerelor reale.Prin axioma riglei admitem ca exista o functie bijectiva f:d R,f(M)=x.Prin axioma riglei admitem ca exista o funtie bijectiva f:d R,f(M)=x,care indeplineste urmatoarele conditii:
1)f(O)=O,f(A)>0;
2)PQ= f(Q)-f(P) P,QId,
unde PQ este distanta dintre punctele P si Q.O asemenea functie se numeste sistem de coordonate pe dreapta d,iar dreapta d pe care s-a fixat un sistem de coordonate se numeste axa de coordonate.Punctul O se numeste originea sistemului de coordonate,iar sensul de la O la A pe axa se numeste sens pozitiv.Numarul real x se numeste adcisa sau coordonata punctului M in sistemul de cordonate considerat.
Prin traditie,in loc de f(M)=x se scrie M(x) si se citeste ,,punctul M de abcisa
(coordonata)x'' sau ,,M de x'',iar sensul pozitiv pae axa se marcheaza printr-o sageata.Axa de coordonate se deseneaza ca in fig I.1 si se noteaza cu Ox.Punctul I de abcisa se numeste punct unitate.
Fig.I.1
M'(-x) I'(-1) O(o) I(1) M(x) x
Fie (Ox,Oy) o pereche ordonata de axe ortogonale in planul P,cu originea O comuna si cu sensurile pozitive ale axelor indicate prin sageti ca in fig I.2.Acest ansamblu poarta numele de reper cartezian in planul P si se noteaza cu xOy.Punctul O se numeste originea reperului.
y
0 x
fig.I.2
Punctele unitate I pe Ox si J pe Oy(OI=OJ) impun scara desenelor.Evident,aceste puncte nu trebuie sa fie neaparat normalizate in desen.9fig.I.3)
Fie M un punct din planul P in care s-a fixat un reper cartezian xOy.Paralela prin M la axa Oy intalneste axa Ox in punctul P,iar paralela prn M la axa Ox intalneste axa Oy in punctul Q .Fie x coordonata lui P pe axa O x si y coordonata lui Q pe axa Oy.in acest fel punctului M(fig.I.3)I se ataseaza o pereche ordonata unica de numere reale(x,y).Functia f:P R2,f(M)=(x,y) este bijectiva si se numeste sistem de coordonate cartezian definit de reperul xOy pe planul P.Prin traditie,in loc de f(M)=(X,Y) se scrie M (x,y) si se citeste,,punctul M de abcisa x si ordonata y'' sau,,punctul M de coordonate carteziene x si y'' sau ,,M de x si y''.
y y
P(o,y) M(x,y) y=y0
y x=x0
x x
x P(x,o) 0
Acest document nu se poate descarca
E posibil sa te intereseze alte documente despre:
|
Copyright © 2024 - Toate drepturile rezervate QReferat.com | Folositi documentele afisate ca sursa de inspiratie. Va recomandam sa nu copiati textul, ci sa compuneti propriul document pe baza informatiilor de pe site. { Home } { Contact } { Termeni si conditii } |
Documente similare:
|
ComentariiCaracterizari
|
Cauta document |