QReferate - referate pentru educatia ta.
Cercetarile noastre - sursa ta de inspiratie! Te ajutam gratuit, documente cu imagini si grafice. Fiecare document sau comentariu il poti downloada rapid si il poti folosi pentru temele tale de acasa.



AdministratieAlimentatieArta culturaAsistenta socialaAstronomie
BiologieChimieComunicareConstructiiCosmetica
DesenDiverseDreptEconomieEngleza
FilozofieFizicaFrancezaGeografieGermana
InformaticaIstorieLatinaManagementMarketing
MatematicaMecanicaMedicinaPedagogiePsihologie
RomanaStiinte politiceTransporturiTurism
Esti aici: Qreferat » Documente matematica

Ecuatia unei drepte in plan



Ecuatia unei drepte in plan


Dreapta determinata de un punct si o directie

Printr-un punct M putem costrui o singura dreapta de directie data .Directia poate fi precizata cu ajutorul unui vector

Ne punem problema determinari ecuatiei dreptei d , data de un punct M (x0, y0 ) si vectorul (a b) ;  se numeste vectorul director al dreptei d



Fie A(xA-, YA) si B(xB, yB) doua puncte intr-un sistem de axe ortogonale



y


yB B



YA A


xA xB

O



Vectorul  are cooordonatele xB- xA (abscisa ) si yB- yA (ordonata )



Raportul =m este panta dreptei AB

Considerand vectorii (x,y) si (x',y').Afirmatia ,, este coliniar cu,, se traduce vectorian ,, k un numar real nenul astfel incat =k,, este ceea ce imseamna,din punct de vedere al coordonatelor,x=kx' si y=ky',adica proportionalitatea coordonatelor.

Retinem deci :(x,y) si (x',y') sunt coliniari ==k,x',y'0

Sau (x,y) si(x',y') sau coliniari xy'-x'y=0


Teorema ecuatia dreptei d determinata de punctul M(xm,ym) si de vectorul director (a b) este :y-yM=(x-xM)

Dreapta determinata de doua puncte

Fie A(xA,yA) si B(xB,yB)doua puncte ;ele determina in mod unic dreapta AB.A gasi ecuatia dreptei determinata de punctele A,B revine la a gasi ecuatia dreptei data de punctul A(xA,yA)si de vectorul director(xB-xA,yB-yA)

OBS. FieA(xA-yA),B(xB,yB) doua puncte;dreaptaABare ecuatia   


y-yA=(x-x1)

Sa observam ca panta dreptei AB este m=

Sa determinam ecuatia dreptei AB,A(-3,1),B(0,4)

Panta dreptei este m===1 si ecuatia este y-yA=m(x-xA) ;y-1=1*(x-(-3)) ;y-1=x+3,deci y=x+4



Y

B

yB


A

yA


0 xA xB X


Dreptele distincte de ecuatie y=mx+n si y=m'x+n' sunt paralele daca si numai daca m=m'.



Ecuatia dreptei determinata de doua puncte


Doua puncte distincte M1(x1,y1),M2(x2,y2)determina o dreapta unica d.

Daca x1=x2,atunci dreapta d este verticala si are ecuatia x=x1.Daca y1=y2,atunci dreapta d este orizontala si are ecuatia y=y1.Daca x1x2, atunci dreapta d este oblica.



Y

y=y1

x=x1


x

0 x



Ecuatia carteziana a dreptei oblice d este determinata de punctul M1(x1,y1)de panta m=.Astfel,d :y-y1=(x-x1)

Daca (x2-x1)(y2-y1)0(adica dreapta nu este orizontala si nici verticala),atunci ecutia d se scrie eshivalent sub forma :

=


Conditia de coliniaritate a trei puncteMi(xi,yi),i=1,2,3 se scrie :


x1 y1 1

x2 y2 1 =0

x3 y3 1


EX.Se dau punctele A -,2 B(, ),c(1,5).Sa se gaseasca ecuatia dreptei AB si sa se verifice ca punctele A,B,C sunt coliniare.


Dreapta AB are ecuatiaadica =,adica=.Deoarece punctul C se afla pe dreapta AB ,adica punctele A,B,C sunt coliniare.




Ecuatia dreptei oblice determinata de un punct si de o panta


O dreapta oblica d este determinata printr-un punct MO(x0,y0)Id si prin panta m (care da directia dreptei)Ce conditie trebuie sa verifice x si y pentru ca punctul M(x,y) sa fie situat pe dreapta d ?

OBS.Fie dreapta d definita prin punctul M0(x0,y0)I d si prinh panta m.

Punctul M(x,y)apartine dreptei d si daca si numai daca y-y 0=m(x-x0).

Demonstratie :Evident,M0(x0-y0)Id satisface relatia din teorema.De asemenea punctul M(x,y)M0(x0,y0) apartine dreptei d daca si numai daca panta data este egala cu panta calculata(fig.I.13),adica m=,xx0.

Afirmatia,,dreapta d este multimea punctelor M(x,y) cu proprietatea (x,y)IR2 si y-y0=m(x-x0)''este prescurtata prin d :y-y0=m(x-x0)

Aceasta ecuatie edte de forma y=mx+n,undem este panta,iar n=y0-mx0.

Numarul real n se numeste ordonata la origine,deoarece dreapta d intersecteaza Oy in punctul(O,n)

In particular,ecuatia dreptei oblice care trece pri origine,x0=0,y0=0,si are panta m este y=mx.Pentru m=1 obtinem y=x care este ecuatia primei bisectoare a unghiurilor axelor de coordonate,iar pentru m=-1 gasim y=-x,care este ecuatia celei de a doua bisectoare a unghiurilor axelor de coordonate(fig.I.14)


y

y

y=x y=x


M(x,y)



x

M0(x0,y0) 0

x

0 m=,xx0

fig.I.13  fig.I.14


EX.Se da triunghiul de vf A(-1,3),B(2,-1),C(3,6).

Sa se gaseasca :1)ecuatia dreptei AC

2)ecuatia paralelei prin B la AC

3)ecuatia mediatoarei segmentului[BC]



1)Panta dreptei AC este m==.Aceasta panta si punctul A(-1,3) fixeaza ecuatia y-3=(x+1) sau,in forma carteziana explicita,y=x+

2)Orice paralela la AC are panta m=.De aceea paralela prin B la AC are ecuatia y+1=(x-2) sau explicit y=x-

3)Mijlocul M al segmentului BC are coordonatele .Panta dreptei BC este mBC==7.Mediatoarea segmentului BC este dreapta perpendiculara pe BC ce trece prin mijlocul M.Astfel,mediatoarea are panta m=-=- si are ecuatia y-



Coordonate carteziene in plan


Fie un plan P si d o dreapta oarecare din planul P.Fie O,AId doua punte distincte si R multimea numerelor reale.Prin axioma riglei admitem ca exista o functie bijectiva f:d R,f(M)=x.Prin axioma riglei admitem ca exista o funtie bijectiva f:d R,f(M)=x,care indeplineste urmatoarele conditii:

1)f(O)=O,f(A)>0;

2)PQ= f(Q)-f(P) P,QId,

unde PQ este distanta dintre punctele P si Q.O asemenea functie se numeste sistem de coordonate pe dreapta d,iar dreapta d pe care s-a fixat un sistem de coordonate se numeste axa de coordonate.Punctul O se numeste originea sistemului de coordonate,iar sensul de la O la A pe axa se numeste sens pozitiv.Numarul real x se numeste adcisa sau coordonata punctului M in sistemul de cordonate considerat.

Prin traditie,in loc de f(M)=x se scrie M(x) si se citeste ,,punctul M de abcisa

(coordonata)x'' sau ,,M de x'',iar sensul pozitiv pae axa se marcheaza printr-o sageata.Axa de coordonate se deseneaza ca in fig I.1 si se noteaza cu Ox.Punctul I de abcisa se numeste punct unitate.



Fig.I.1


M'(-x) I'(-1) O(o) I(1) M(x) x


Fie (Ox,Oy) o pereche ordonata de axe ortogonale in planul P,cu originea O comuna si cu sensurile pozitive ale axelor indicate prin sageti ca in fig I.2.Acest ansamblu poarta numele de reper cartezian in planul P si se noteaza cu xOy.Punctul O se numeste originea reperului.


y




0 x

fig.I.2


Punctele unitate I pe Ox si J pe Oy(OI=OJ) impun scara desenelor.Evident,aceste puncte nu trebuie sa fie neaparat normalizate in desen.9fig.I.3)

Fie M un punct din planul P in care s-a fixat un reper cartezian xOy.Paralela prin M la axa Oy intalneste axa Ox in punctul P,iar paralela prn M la axa Ox intalneste axa Oy in punctul Q .Fie x coordonata lui P pe axa O x si y coordonata lui Q pe axa Oy.in acest fel punctului M(fig.I.3)I se ataseaza o pereche ordonata unica de numere reale(x,y).Functia f:P R2,f(M)=(x,y) este bijectiva si se numeste sistem de coordonate cartezian definit de reperul xOy pe planul P.Prin traditie,in loc de f(M)=(X,Y) se scrie M (x,y) si se citeste,,punctul M de abcisa x si ordonata y'' sau,,punctul M de coordonate carteziene x si y'' sau ,,M de x si y''.




y y

P(o,y)   M(x,y) y=y0



y x=x0


x x

x P(x,o) 0



Nu se poate descarca referatul
Acest document nu se poate descarca

E posibil sa te intereseze alte documente despre:


Copyright © 2024 - Toate drepturile rezervate QReferat.com Folositi documentele afisate ca sursa de inspiratie. Va recomandam sa nu copiati textul, ci sa compuneti propriul document pe baza informatiilor de pe site.
{ Home } { Contact } { Termeni si conditii }