Inele

INELE

Se numeste inel o multime nevida A, impreuna cu doua operatii algebrice, dintre care una se noteaza de regula aditiv, iar cealalta multiplicativ, cu urmatoarele proprietati:

a) A impreuna cu operatia aditiva este grup abelian;

b) A impreuna cu operatia de inmultire este semigrup;

c) operatia de inmultire este distributiva fata de adunare, deci:

a (b+c) = ab + ac,

(b+c) a = ba + ca

pentru orice a, b, c A.

Pe o multime formata dintr-un singur element exista o singura structura de inel in care acel element este elementul nul si elementul unitate. Acest inel va fi numit inel nul. Un inel care contine cel putin doua elemente va fi numit inel nenul.

Inelul A

- se numeste comutativ daca operatia de inmultire este comutativa;

- se numeste unitar sau inel cu element unitate daca operatia de inmultire are element unitate, adica semigrupul multiplicativ este unitar.

Daca 0 este elementul unitate pentru operatia de adunare din A, atunci avem 0a = a0 =0, pentru orice a A. Intradevar avem a0 = a(0+0) = a0+a0 si deci, adunand la ambii membrii ai acestei relatii pe -a0, obtinem a0 =0. Faptul ca 0a = 0 se demonstreaza cu totul analog.

Un element a din inelul A se numeste divizor al lui zero la stanga ( la dreapta) daca exista b ≠ 0, b A, astfel ca ba = 0 (respectiv ab = 0 ). Rezulta astfel ca 0 este divizor al lui zero la stanga si la dreapta in orice inel nenul. Un inel nenul A comutativ,cu element unitate si care nu are divizori ai lui zero se numeste inel integru sau domeniu de integritate. Spunem ca inelul A nu are divizori ai lui zero daca 0 este singurul divizor al lui zero in A si spunem ca A are divizori ai lui zero in caz contrar.

Daca a A si -a este opusul sau, atunci pentru orice b,c A avem c(b-a) = cb - ca si ( b-a)c = bc - ac. In particular, (-a)b = a(-b) = - (ab). Intradevar, fie b - a = d, atunci b = d + a si cb = cd + ca, adica cb - ca = cd = c(b-a). A doua relatie se demonstreaza analog. Elementele inversabile pentru operatia de inmultire din inelul (unitar) A se mai numesc si unitati ale lui A [ a se face distinctie intre o unitate a unui inel (element inversabil) si elementul unitate al inelului]. Aceste elemente formeaza un grup multiplicativ.

Propozitia I : Daca inelul unitar A este diferit de inelul nul, atunci orice element inversabil din A nu este divizor al lui zero, in particular este ≠ 0 si 1 ≠ 0.

Demonstratie : Sa presupunem ca a este element inversabil in A si ca ar fi divizor al lui zero la dreapta. Atunci ar exista b≠ 0 astfel ca ab = 0. Inmultind aceasta relatie cu inversul lui a, care exista, obtinem b = 0, clara contradictie.

Definitie: Fiind date doua inele A,B, o functie φ: A→B se numeste morfism (sau omomorfism) de inele daca satisface urmatoarele doua proprietati:

1) φ(a + b) = φ(a) + φ(b), pentru orice a,b A;

2) φ(ab) = φ(a) φ(b), pentru orice a,b A.

Prima proprietate exprima faptul ca φ este, in particular, un morfismde grupuri de la grupul aditiv al lui A la grupul aditiv al lui B. Deci din proprietatile morfismelor de grupuri rezulta atunci ca φ(0) = 0 (am notat cu 0 elementul nul in A si B) si φ(-a) = -φ(a), pentru orice a A.

Din a doua proprietate insa nu se poate deduce ca φ(1) = 1 (cu 1 am notat elementul unitate la inmultire din A si B) in cazul in care A si B sunt inele unitare. Daca aceasta proprietate este insa satisfacuta, se spune ca morfismul φ este unitar. Se verifica imediat ca compunerea (in sensul compunerii functiilor) a doua morfisme (unitare) de inele este inca un morfism (unitar) de inele. De asemenea, functia identica : A→A este pentru orice inel A un morfism de inele (evident acest morfism este unitar daca A are element unitate).

Daca A→B este un morfism unitar de inele, A fiind un inel comutativ, atunci se spune ca B este o A-algebra, daca pentru orice a A, b B avem φ(a)b = bφ(a) (ultima conditie este intotdeauna verificata daca B este comutativ). De obicei, atunci cand nu se poate face nicio confuzie, pentru a A si b B produsul φ(a)b = bφ(a) se noteaza cu ab = ba. Se verifica imediat ca daca B este o A-algebra comutativa, iar C este o B-algebra, atunci C este o A-algebra prin intermediul compunerii morfismelor respective. Morfismul φ se numeste morfismul structural (sau de structura) al A-algebrei B. Notiunea de A-algebra este mai des utilizata in cazul in care A este corp comutativ. O A-algebra se numeste comutativa daca B este inel comutativ. Deci, un acelasi inel B poate sa aiba mai multe structuri de A-algebra.

Fie φ: A→B si φ: A→C doua A-algebre. Atunci o functie θ: B→C se numeste

morfism de A-algebre daca θ este un morfism de inele si θφ = ψ, adica diagrama

C este comutativa. Numim endomorfism al inelului A un morfism de inele de la A la A.

Un morfism de inele φ: A→B se numeste injectiv daca functia φ este injectiva. Morfismul φ se numeste surjectiv daca φ este o functie surjectiva.

Spunem ca un morfism de inele φ: A→B este izomorfism daca exista un morfism de inele φ:B→A astfel incat φφ = , φφ=. Ca si la grupuri si multimi este adevarata urmatoarea propozitie: Propozitia 1.4: Un morfism de inele este izomorfism daca si numai daca este bijectiv (adica este injectiv si surjectiv).

Demonstratie: Daca φ: A→B este izomorfism de inele,atunci rezulta ca φ este si un izomorfism de multimi (si de grupuri), deci dupa cum stim este bijectie. Reciproc, daca φ este morfism bijectiv, atunci el este in particular un izomorfism de grupuri, deci exista φ:B→A, morfism de grupuri, astfel ca φφ= si φφ=. Ramane doar sa aratam ca φeste chiar morfism de inele, adica satisface conditia 2) de mai sus. Fie deci a `, b` B; trebuie sa aratam ca φ( a ` b`) = φ( a `) φ (b`). Avem φ(φ( a ` b`)) = a ` b` si φ( φ( a `) φ( b`)) = φ(φ( a)) φ(φ( b)) = a ` b` si afirmatia rezulta din faptul ca φ este functie injectiva.

Multimea numerelor intregi Z, multimea numerelor rationale Q si multimea numerelor reale R cu operatiile de adunare si inmultire formeaza inel. Acestea sunt inele comutative cu element unitate, iar injectiile canonice Z →Q→R sunt evident morfisme unitare de inele. Elementele inversabile in Z sunt 1 si -1, iar in Q si R toate elementele nenule.

In inelul Z daca consideram subgrupul nZ ale grupului aditiv al lui Z, unde n Z,atunci este clar ca, considerand pe acest subgrup si operatia de inmultire, avem pe nZ o structura de inel comutativ care nu are element unitate daca n ≠ ±1 si n ≠ 0, adica nZ ≠ Z si nZ ≠ (0). Inelele nZ pentru oricen Z, n >1, sunt evident fara divizori ai lui 0; injectiile canonice nZ→Z sunt morfisme de inele.

Fie A si B doua inele. Atunci considerandu-le cu structura lor de grupuri abeliene, putem construi produsul lor direct A B, care este, de asemenea,un grup abelian. Putem insa introduce pe A B o structura de inel dedusa din structurile de inele ale lui A si B in modul urmator: definim pe A B urmatoarea operatie de inmultire ( a , b) ( a `, b`) = (a a `,b b`) pentru a, a ` A si b, b` B. Se verifica imediat ca, cu aceste doua operatii algebrice, A B formeaza inel (verificarea distributivitatii inmultirii fata de adunare este imediata,ea se face pe componente). Evident, daca A si B sunt inele comutative si produsul lor direct este un inel comutativ, iar daca A si B sunt unitare si notam elementul unitate ci 1 in ambele inele, atunci elementul (1,-1) este unitate in produsul direct A × B. Daca inelele A si B sunt nenuleatunci produsul lor direct A × B este un inel cu divizori ai lui zero. Intradevar, daca a A, a ≠ 0, b B, b ≠ 0, atunci (a,0) (0,b) = (0,0). In particular, inelul Z × Z are divizori ai lui zero.

Aplicatiile canonice

i: A→ A × B, i: B→ A× B

p: A× B→ A, p: A× B→B

definite prin i (a) = (a,0), i(b) = (0,b), p(a,b) = a, p(a,b) = b pentru a A, b B sunt morfisme de inele, p si p sunt morfisme surjective unitare daca inelele A si B sunt inele unitare, pe cand i, i nu sunt morfisme unitare pentru A si B inele unitare nenule, ele sunt insa injective.

Fie M o multime si R un inel. Pe multimea R a functiilor de M la R se poate introduce o structura de inel, indusa de structura de inel a lui R, definind operatiile algebrice astfel:

daca f, g R   

(f+g)(a) = f(a) + g(a), pentru orice a R.

(fg) (a) = f(a)g(a)

Este evident ca daca R este inel comutativ, si inelul R este comutativ.

Aplicatia canonica  

φ: R →R,

definita prin φ(a)(m) = a, pentru orice m M, a R, este un morfism injectiv de inele, care este unitar daca R are element unitate si este izomorfism daca M este constituita dintr-un singur element.

Daca , i I, este o familie de inele, atunci putem defini pe produsul direct al grupurilor Ro structura de inel definind produsul pe componente; adica, pentru f, g R =

definim fg = h, unde h(i) = f(i) g(i), pentru orice i I. Folosind notatiile din aliniatul precedent, rezulta R =, unde R R.

Fie R un inel, M = , N = multimea primelor m, respectiv n numere naturale nenule. Consideram multimea functiilor de la M×N cu valori in R, notata R. Pe aceasta multime se poate introduce o operatie algebrica indusa de operatia algebrica de adunare a lui R, impreuna cu care aceasta multime formeaza grup. Fie A R, atunci punand A(i,j) = a R, i M, j N putem sa notam pe A ca un tablou de forma

care se numeste de obicei matrice cu elemente din inelul R, mai precis, matrice cu m linii si n coloane cu elemente din inelul R. Importanta faptului ca se considera matrice cu elemente dintr-un inel consta in aceea ca intre anumite matrice se poate da o compunere numita produsul matricelor. Anume, daca A si B unde P = atunci cuplului A, B i se ata­seaza o matrice C astfel: fie

A , B = ( atunci C =

are elementele definite astfel: aijbjk. Asadar, pentru a obtine elementul

din matricea C de pe linia i si coloana k se face suma produselor elemen­telor corespunzatoare de pe linia i a matricei A cu cele de pe coloana j a matricei B. De aceea se spune uneori ca se "inmultesc liniile cu coloanele" .

Se scrie C = AB.

Compunerea matricelor nu este o operatie alge­brica definita pe multimea tuturor matricelor; ea este asemanatoare compu­nerii functiilor, compunerii morfismelor de grupuri sau inele etc. Vom vedea ulterior legatura strinsa care exista intre inmultirea matricelor si morfismele de module.

Vom nota cu Mmxn(R) multimea tuturor matricelor cu m linii si n co­loane cu elemente din inelul R si vom considera pe aceasta multime operatia dedusa din operatia de adunare pe R cu care formeaza grup comutativ (no­tat aditiv).

Inmultirea matricelor are urmatoarele proprietati: a) Daca A B = ( , C

atunci

(AB)C = A(BC),

deci o proprietate de asociativitate. Se observa mai intii ca in (1) produsele sunt definite. Sa demonstram acum egalitatea (1). Fie

AB = ( atunci = si (AB)C = )

unde

Fie:

BC = ( atunci = si daca A BC) = ( atunci

ceea ce demonstreaza egalitatea (1). b)   Daca A = () B = (), C = (

atunci A(B + C) = AB + AC.  

In adevar, daca

A(B + C) = ( atunci =

Daca AB + AC = (), atunci =

si egalitatea ceruta rezulta din distributivitatea inmultirii fata de adunare in inelul R.

Analog, daca

A= B = ), C =

atunci

(A + B)C = AC + BC.

Este evident, de asemenea, ca daca A este matricea din Mmxn(R) cu toate elementele nule (deci elementul nul al grupului aditiv), atunci pentru orice matrice B Mnxp(R) avem AB = A0 . Daca B este elementul nul al .grupului Mnxp(R) iar A o matrice oarecare din Mmxn(R) atunci AB = A0, unde A0 este elementul nul al grupului Mmx p(R).

Daca se considera grupul matricelor Mmxm(R) pe care il vom nota cu Mm(R), atunci operatia de compunere definita mai sus induce pe Mm(R) o operatie algebrica notata multiplicativ si Mm(R) impreuna cu operatia de adunare si inmultire astfel definita formeaza un inel, numit inelul matri­celor patrate de ordinul m. Acest lucru rezulta imediat din proprietatile pro­dusului de matrice, demonstrate mai sus. Daca inelul A are element unitate, atunci matricea

E = (δ Mm(R),cu

este element unitate in acest inel, dupa cum se verifica cu usurinta (functia δ definita mai sus se numeste simbolul lui Kronecker, uneori se scrie Matricea E are forma

E = Inelul (R) este evident izomorf cu R prin morfismul care asociaza elementului a R matricea cu o singura linie si coloana (a). Daca R este inel cu element unitate diferit de 0, atunci inelul Mm(R) nu este comutativ pentru m > 0. Vom demonstra acest lucru pentru­ m = 2, pentru m > 2 demonstratia se face analog. Fie A = si B atunci AB = si BA =

deci    AB BA.

In aceleasi conditii Mm (R) are divizori ai lui zero. Vom arata acest lucru pentru matricele de ordinul 2. Se observa ca:

Functia φ: R →Mm(R), definita prin φ(a) a) este un morfism unitar de inele. In adevar, este clar ca φ pastreaza sumele si duce elementul unitate in elementul unitate. Sa aratam ca pastreaza si produsele. Fie a,b R, atunci   φ (ab) ab) iar φ(a) φ(b) =(cij unde cij = a) b)= ab) . De asemenea se verifica imediat ca, daca R este inel comutativ, φ(a)A = A φ(a), unde a R , A Mm(R) si deci in acest caz Mm(R) are o structura de R- algebra.

Pentru a R si A = (aij ) o matrice din Mm(R), avem ca φ(a)A = (aaij ) si se noteaza aceasta matrice cu aA. Analog, Rφ(a) se noteaza cu Aa. Aceasta conventie de notatie se obisnuieste intotdeauna pentru un morfism de inele si generalizeaza conventia facuta pentru R-algebre, R fiind in acel caz inel comutativ. Orice inel R cu element unitate are o unica structura de Z-algebra, adica

exista un singur morfism unitar de inele φ: Z→R. In adevar, daca φ

atunci in mod necesar φ(n) = 1+ + 1 = n · 1 (de n ori) pentru n > 0 si φ(n) = - (1+ .. +1) = n · 1 (de -n ori) pentru n< 0 si astfel φ este complet definita si se observa ca este morfism de inele (adica pastreaza si produsele).   

Fie R un inel care nu are element unitate. Atunci lui ii putem asocia un inel unitar in modul urmator: consideram produsul direct al grupurilor aditive Z X R pe care introducem urmatoarea operatie de inmultire:

(n, a)(n', a') = (nn', na' + an' + aa').

Se verifica imediat ca aceasta inmultire este asociativa si distributiva fata de adunare. Deci Z x R formeaza un inel. Acest inel are ca element unitate elementul (1,0) si daca R este comutativ inelul Z xR este comutativ. Functia φ: R→ Z X R, definita prin φ(a) = (0, a), este evident un morfism de inele, deci A se poate identifica cu un subinel al lui ZxR.

Folosind proprietatile de mai sus, se poate constata ca multe proprietati ale inelului R se pot obtine din proprietati corespunzatoare ale inelului cu element unitate ZxR asociat lui R.