Administratie | Alimentatie | Arta cultura | Asistenta sociala | Astronomie |
Biologie | Chimie | Comunicare | Constructii | Cosmetica |
Desen | Diverse | Drept | Economie | Engleza |
Filozofie | Fizica | Franceza | Geografie | Germana |
Informatica | Istorie | Latina | Management | Marketing |
Matematica | Mecanica | Medicina | Pedagogie | Psihologie |
Romana | Stiinte politice | Transporturi | Turism |
- semigrupuri. Definitie . Proprietati
In acest paragraf introducem notiunea de semigrup de operatori liniari, prezentam proprietatile fundamentale ale acestuia, precum si exemple de semigrupuri de operatori liniari in spatii Banach.
Fie X un spatiu Banach real sau complex. In tot ceea ce urmeaza, notam cu B(X) algebra Banach a operatorilor liniari si marginiti pe X .
Definitia I.1.1. O familie S = B(x) se zice semigrup de operatori daca indeplineste urmatoarele conditii:
(i) S(0) = I , identitatea pe spatiul X;
(ii) S(t+s) = S(t)S(s), pentru orice t , s 0.
Daca in plus, are loc
(iii) S(t)x = x, pentru orice x X
atunci S = se zice de clasa sau - semigrup.
Fie S = un - semigrup pe X . Consideram multimea
D(A) : = .
Remarca I.1.1. D(A) este un subspatiu liniar in X.
Definitia I.1.2. Operatorul
A : D(A) X, Ax : =
se numeste generatorul infinitezimal al - semigrupului S = .
Vom prezenta acum doua exemple importante de - semigrupuri.
Exemplul I.1.1. Fie AB(X) si pentru fiecare t0, fie
S(t) : XX, S(t)x : =x.
Observam ca S(0) = I , iar pentru t,s 0 avem succesiv:
S(t)S(s) = =
==
= = = S(t+s).
In plus, avem ca
= = pentru t0.
Din cele de mai sus, deducem ca S = este un - semigrup.
Uzual acesta se noteaza cu si X = : = , respectiv S= , atunci
S(t)= S(t) , t
Demonstrație : Fie x D(A) și t>0. Definim
u(s)= S , [0,t].
Din Teorema I.1.2. rezulta ca
(s)= , s.
Inseamna ca u este constanta . In particular , u(0)=u(t), deci
S,
Din proprietatea de densitate a domeniului generatorului , obținem in final ca
S
Definiția I.1.3. O familie U=se zice daca indeplinește urmatoarele condiții :
(i) U(0) = I , identitatea pe spațiul X;
(ii) U(t+s)= U(t)U(s), pentru orice t,s ;
(iii) U(t)x=x , pentru orice x ;
In mod analog cu cazul semigrupurilor , pentru un C- grup introducem mulțimea
D(A):.
Remarca I.1.2. D(A) este un subspațiu liniar in X.
Definiția I.1.4. Operatorul
A : D(A) Ax:=
se numește generatorul infinitezimal al grupului U = .
Definiția I.1.5. Spunem ca un C- semigrup S= poate fi extins la un C- grup daca exista un C- grup U= astfel incat U(t)=S(t) , t
Problema : In ce condiții un C- semigrup poate fi extins la un C- grup?
In continuare, vom raspunde problemei de mai sus. Pentru inceput, demonstram :
Teorema I.1.3. Fie S= un C- semigrup pe X, iar A generatorul sau infinitezimal. Daca pentru fiecare t>0, S(t) este inversabil , atunci
S t>0
formeaza un C- semigrup Sal carui generator infinitezimal este A.
Demonstratie. Din principiul lui Banach de inversare, avem ca S, pentru orice t > 0. Observam imediat ca S= I si S=S,pentru orice t , s .
Fie x X. Din S(1) inversabil rezulta ca exista y X si x S(1)y.
Atunci pentru orice t (0,1) avem
, pentru t,
de unde concluzionam ca S este un C- semigrup. Sa notam cu B generatorul sau infinitezimal si fie M si > 0 astfel incat
, .
Fie x D(A). Avem ca
Rezulta ca x D(B) si Bx = x , deci D(A) D(B). In mod analog se arata ca
D(B) D(A), care incheie demonstratia.
Teorema I.1.4. Fie S =un C- semigrup. Urmatoarele afirmatii sunt echivalente:
(i) S poate fi extins la un C- grup;
(ii) exista tastfel incat S(t) este inversabil;
(iii) pentru orice t>0, S(t) este inversabil.
Demonstratie. (i)(ii) Daca S poate fi extins la grupul U, atunci pentru fiecare
t > 0 avem ca S(t) este inversabil si S(t)= U(-t).
(ii) (iii) Fie t > 0. Atunci exista n astfel incat nt > t.
Din
S(nt)=S(nt-t)S(t)
si S(t) injectiv, rezulta ca S(t) este injectiv. Din
S(nt)= S(t)S(nt-t
si S(t) surjectiv , deducem ca S(t) este surjectiv, deci este inversabil.
(iii)(i) Definim
U(t)=
si din Teorema I.1.3. deducem imediat ca este un C- grup.
Acest document nu se poate descarca
E posibil sa te intereseze alte documente despre:
|
Copyright © 2024 - Toate drepturile rezervate QReferat.com | Folositi documentele afisate ca sursa de inspiratie. Va recomandam sa nu copiati textul, ci sa compuneti propriul document pe baza informatiilor de pe site. { Home } { Contact } { Termeni si conditii } |
Documente similare:
|
ComentariiCaracterizari
|
Cauta document |