Gestiunea stocurilor

GESTIUNEA STOCURILOR

Discontinuitatile in livrare determina managerii intreprinderilor sa stocheze marfuri, pentru a absorbi cererile aleatoare. Deoarece stocarea unui produs are un cost (datorat imobilizarii de fonduri, pazei, degradarii, etc.), tendinta este de a stoca o cantitate cat mai mica. Pe de alta parte o politica de a avea stocuri cat mai mici, implica reaprovizionari mai dese, care pot sa induca: costuri de reaprovizionare si pierderi de profit in cazul rupturilor de stoc (clientii neputand sa astepte, se adreseaza concurentei). In fata unei cereri fluctuante, trebuie sa fie definita o regula de reaprovizionare, (momentul efectuarii comenzii si cantitatea comandata), care sa conduca la o suma minima a cestor costuri.   

MODELUL WILSON

Modelul Wilson este un model determinist care realizeaza calculul principalilor parametrii de gestiune in conditiile optimizarii costurilor totale de stocare pentru un articol.

Ipotezele modelului si notatii:

B_A - cererea anuala care se presupune ca este repartizata uniform in timp, adica viteza de iesire din stoc este constanta.

    - cererea pe unitatea de timp (astfel n = 1, 12, 52, dupa cum unitatea de timp este anul, luna, saptamana,).

Q - comanda (cantitatea de aprovizionare).

S_S - stocul de securitate; comanda soseste inainte ca stocul sa se epuizeze - stocul de securitate permite satisfacerea unor cereri neprevazute. In aceasta etapa a prezentarii modelului, stocul de securitate apare ca o cantitate fixa, data. Acesta nu are nici un rol in calculul nostru de optimizare.

- durata unui ciclu de aprovizionare.

C_A - costul de aprovizionare (lansare a comenzii).

Comentariu. Acest cost este diferit daca articolul este cumparat sau realizat in intreprindere.

- Daca articolul este cumparat acest cost cuprinde: costurile de achizitie (alegerea furnizorului, negocierea, controlul facturilor,) si de receptie (intrarea si inregistrarea articolului in stoc). Aceste costuri includ cheltuieli de personal, consumabile, cheltuieli postale si si de comunicatie, precum si amortizarile corespunzatoare. Se poate determina impartind bugetul serviciului aprovizionare la numarul total de comenzi prelucrate.

- Daca articolul este produs de intreprindere acest cost cuprinde: costurile de lansare in fabricatie (reglajul masinilor, pregatirea materialelor si componentelor, rebuturi de lansare) si costurile de receptie a articolelor fabricate.

C_S - costul de stocare.

Comentariu. Acest cost cuprinde costul de oportunitate al capitalului imobilizat in stoc, costurile de depozitare (amortizare, paza, incalzire/racire, gestiune,), costurile de deteriorare, depasire valabilitate, furt si asigurari. Acest cost se considera in general o fractie din costul articolului, de exemplu aproximativ 0.2.

p_u - pretul unitar al articolului.

- numarul anual de aprovizionari.

Se obtine astfel evolutia stocului redata in Figura 1:

Figura 1

Rezolvare:

Se determina:

- valoarea medie anuala a stocului

- costul anual de stocare C₁ =

costul anual de aprovizionare  C₂ =

Rezulta costul total anual de stocare:

(1)

- calculam   min CT(Q)

din   => 

(2)

unde:   Q_E reprezinta cantitatea economica ("lotul economic") , marimea optima a

comenzii de aprovizionare, care minimizeaza costul total anual de stocare.

Se deduce:

- ciclul optim de aprovizionare (perioada economica): (in ani)

- numarul optim anual de comenzi (frecventa economica):

Comentariu. Cele doua costuri de aprovizionare si stocare, C_A si C_B , influenteaza diferit marimea cantitatii economice Q_E , data de relatia (2). Astfel, o crestere a costului de aprovizionare va conduce la cresterea cantitatii economice si implicit la micsorarea numarului de comenzi, in timp ce cresterea costului de stocare diminueaza volumul comenzii si implicit nivelul mediu al stocului. Evolutiile celor doua costuri anuale (C₁ si C₂ ) si a costului total (CT), in functie de marimea comenzii (Q) sunt redate in Figura 2.

Figura 2

METODE DE REGLARE A STOCURILOR

Pornind de la modelul clasic determinist (modelul Wilson) al "cantitatii economice", se pot defini doua principii fundamentale de reglare:

1. Metoda punctului de comanda - se comanda cantitati fixe optime, la momente de timp care pot sa varieze in functie de cererea aleatoare.

2. Metoda de aprovizionare periodica - se comanda dupa o periodicitate data (in principiu aproape de periodicitatea optima), cantitati care pot varia in functie de cererea aleatoare.

A.    Metoda punctului de comanda

Presupunem ca exista o intarziere in livrare, D, nealeatoare, (numita si timp de avans), care cuprinde: durata de livrare impusa de furnizor, durata transportului, duratele administrative (de redactare a comenzii, de receptie si luare in gestiune a cantitatii intrate in stoc). Pentru ca intrarea in stoc sa se faca la momentul de timp fixat, este necesar ca lansarea comenzii sa se faca cu D unitati de timp in avans (Figura 3).

Figura 3

Daca nu se doreste sa fie afectat stocul de siguranta (S_S), nivelul stocului in momentul lansarii comenzii va fi:

(3)

unde: M reprezinta viteza de descrestere a stocului. Acest nivel (S_C) se numeste punct de comanda si permite definirea celor doua principii ale metodei:

Se lanseaza o noua comanda cand nivelul stocului devine inferior sau egal punctului de comanda S_C.

Se comanda o cantitate fixa (Q_E), care este cantitatea economica.

In cazul determinist, aceasta metoda conduce la evolutia clasica a stocului, reprezentata de graficul "dinti de fierastrau". Dar, atunci cand cererea devine aleatoare cele doua principii de gestiune constituie un mod de reglare eficienta a stocului, prin stabilirea momentelor de lansare a comenzilor.

Exemplu. Se considera: Q_E = 6 unitati, S_S =1, P_E = 3 luni si D = 2 luni.

Punctul de comanda va fi conform relatiei (1):

Presupunem ca la 15 zile dupa aprovizionare se inregistreaza o cerere pentru o comanda exceptionala de 2 unitati (Figura 4).

Figura 4

La acest moment stocul cade sub punctul de comanda si se lanseaza o noua comanda de 6 unitati, care va intra in stoc peste doua luni, adica cu 15 zile inainte de data normala de sosire. Stocul va urca la nivelul 6 unitati si apoi va descreste cu viteza constanta M = 2. In aceasta situatie punctul de comanda va fi atins dupa 15 zile, iar livrarea se va face 2 luni mai tarziu. Stocul va urca la nivelul de 7 unitati si se reia astfel ritmul normal de lansare a comenzilor si de intrare a cantitatilor livrate in stoc.

Comentariu. Metoda punctului de comanda permite rezolvarea fluctuatiilor cererii printr-o stabilire corespunzatoare a momentelor de lansare a comenzilor. Astfel, in exemplul prezentat doua cicluri de aprovizionare au o lungime de 2 luni si 15 zile in loc de 3 luni, dupa care se revine la ritmul normal, cu un decalaj total de o luna. In acest sistem cantitatea comandata ramane constanta, dar perioada de aprovizionare poate varia in jurul perioadei economice (P_E) in functie de cerere. Aceasta metoda este cea mai eficace si cea mai utilizata.

B. Metoda aprovizionarii periodice

Metoda consta in lansarea la date fixe a comenzii ce contine cantitati variabile. Lansarea unei noi comenzi se va face dupa o perioada P, de la ultima lansare, in principiu egala cu P_E ( perioada economica, ciclul economic). Sosirea comenzii in stoc se va face dupa o perioada D de la lansare. Ramane de stabilit pentru fiecare ciclu de aprovizionare, marimea comenzii ce trebuie lansate.

Daca cererea nu este aleatoare, o comanda trebuie sa acopere cererea pe durata unui ciclu de aprovizionare, deci:

(4)

Stocul existent, (S_E), in momentul comenzii, trebuie sa permita satisfacerea cererii pe durata timpului de avans, (D), adica:

(5)

Daca apare o cerere aleatoare, este posibil ca stocul existent sa nu atinga nivelul precedent. Sunt posibile doua situatii:

a) S_E este mai mic decat nivelul precedent - atunci comanda va fi marita pentru a acoperi acest deficit. Valoarea comenzii va fi in acest caz:

(6)

Rezulta .

b) S_E este mai mare decat nivelul precedent - relatia (6) ramane valabila.

Rezulta .

Concluzie. Valoarea comenzii Q va fi determinata pentru fiecare ciclu de aprovizionare, astfel incat:

(6

Expresia se numeste nivel de acoperire si are o valoare constanta. Rezulta ca valoarea comenzii Q se determina in functie de stocul existent S_E .

Exemplu. Se considera o aprovizionare periodica cu: M = 2, S_S =1, P = 3 luni si D = 2 luni. Nivelul de acoperire este:

Presupunem ca la 15 zile dupa aprovizionare se inregistreaza o cerere pentru o comanda exceptionala de 2 unitati.

La momentul C2, marimea comenzii va fi Q = 11 - 3 = 8 unitati, pentru ca S_E =3. Doua luni mai tarziu, la momentul L2, nivelul stocului devine dupa aprovizionare 7 unitati, presupunand ca cererea nesatisfacuta de 1 nu s-a pierdut, ea fiind reportata. In C3 regasim valoarea normala a comenzii Q = 6 unitati (Figura 5).

Figura 5

Comentariu. La aceasta metoda, graficul aprovizionarii - momentul lansarii comenzii si momentul intrarii in stoc sunt fixate, iar marimea comenzii se stabileste in functie de fluctuatiile cererii.

DETERMINAREA STOCULUI DE SECURITATE

Stocul de securitate permite evitarea situatiilor de lipsa de stoc datorate unor cereri aleatoare sau unor intarzieri in livrare. In continuare vom analiza determinarea stocului de securitate numai in cazul cererilor aleatoare. Stocul de securitate se considera proportional cu abaterea medie patrata a dispersiei cererii pe durata perioadei de risc de ruptura. Coeficientul de proportionalitate va reflecta calitatea serviciului cerut, care se poate defini in functie de unul din parametrii urmatori: rata de ruptura de stoc, costul rupturii de stoc, rata lipsei de stoc sau costul lipsei de stoc.

Presupunem ca cererea pe unitatea de timp este aleatoare si urmeaza o distributie normala de medie M si abatere medie patratica Pentru valori mici ale mediei ( M mai mic decat 7 sau 8) se poate considera distributia Poisson.

Daca se considera distributia normala, stocul de securitate va fi dat de:

(7)

in cazul metodei punctului de comanda si

(8)

in cazul metodei aprovizionarii periodice.

Observatie. In relatiile (7) si (8), coeficientul k exprima calitatea serviciului cerut si se numeste factor de protectie sau rata serviciului. Factorul k poate fi determinat pornind de la rata de ruptura (sau riscul de ruptura) t_R , care este raportul dintre numarul de rupturi de stoc acceptate pe o anumita perioada si numarul total de cicluri de aprovizionare (sau de comenzi) desfasurate in aceeasi perioada. Astfel, daca se accepta n rupturi de stoc intr-un an, vom avea: , unde N reprezinta numarul anual de comenzi.

A. Determinarea stocului de securitate in functie de rata de ruptura

A1. In cazul metodei punctului de comanda, se inregistreaza o ruptura de stoc cand cererea pe durata D a timpului de avans este mai mare decat stocul existent in momentul lansarii comenzii, . Probabilitatea acestui eveniment va fi egala cu rata de ruptura t_R ,

Prob (cererea pe D > MD + S_S ) = t_R (9)

In ipoteza ca marimea cererii pe durata D urmeaza o distributie normala si ca stocul de securitate este dat de relatia (7), factorul k va fi dat de:

   (10)

Rezulta ca:

(11)

unde:   este densitatea de probabilitatea a distributiei normale N(0,1), iar

este functia lui Laplace.

Exemplu. Presupunem ca pe o perioada de un an s-au inregistrat urmatoarele cereri lunare (in unitati): 14, 11, 9, 10, 6, 12, 10, 11, 8, 9, 10, 10.

Rezulta:

valoarea medie a cererii, M =10

dispersia estimata,

In ipoteza ca timpul de avans, D = 4 luni si se accepta un risc de ruptura de 2.5%, se obtine stocul de siguranta: = 1.96 × 2 × 2 = 7.84 (aprox. 8 unitati)

Punctul de comanda = 10 × 4 + 8 =48 unitati.

A2. In cazul metodei aprovizionarii periodice singura modificare consta in valoarea stocului de siguranta, . Observam ca in cazul acestei metode stocul de siguranta este mai mare pentru a putea obtine aceeasi calitate a serviciului.

STUDIUL DE CAZ

Intreprinderea W cumpara si stocheaza articolul A, pentru ca apoi sa-l revanda cu un adaus comercial. Sa se stabileasca o politica optima de aprovizionare care sa minimizeze costul total de gestiune a stocului, in urmatoarele ipoteze initiale:

I1. Vanzarile sunt regulate;

I2. Cantitatea totala vanduta intr-un an este de 1800 unitati;

I3. Pretul unitar de cumparare al articolului este de 1 u.m.;

I4. Costul de lansare a unei comenzi este de 10 u.m.;

I5. Costul de stocare este 10% din pretul articolului;

I6. Stocul de siguranta are valoare nula.

A. Sa se determine marimea lotului economic si numarul optim de aprovizionari.

unitati

aprovizionari pe an

B. Furnizorul propune un rabat comercial (discont) de 5% daca se comanda cel putin 900 de unitati. Se accepta propunerea?

Daca se accepta remiza, intreprinderea va comanda cel putin 900 unitati. Aceasta revine la lansarea a doua comenzi pe an (1800 , sau o singura comanda de 1800 unitati.

Rezulta ca se accepta propunerea de remiza cu doua comenzi pe an de volum 900 unitati.

C. Intreprinderea W decide sa accepte propunerea de discont si va comanda de 2 ori pe an cate 900 unitati. Din experienta, cererea pe o perioada de 6 luni variaza dupa o lege normala N(900,90²). Sa se calculeze probabilitatea de ruptura de stoc daca intreprinderea constituie un stoc de siguranta de volum . Care va fi probabilitatea in cazul unui stoc de siguranta de volum ? Determinati volumul stocului de siguranta necesar pentru o rata a serviciului de 95%.

Cu un stoc de siguranta S_S unitati, ruptura de stoc se produce daca cererea pe 6 luni, unitati. Se obtine:

unde u are o repartitie N(0,1).

Deci, riscul de ruptura de stoc este de 30%, iar rata serviciului este de 70%.

Daca stocul de siguranta este egal cu rezulta:

Deci, riscul de ruptura de stoc este de 15%, iar rata serviciului este de 85%.

Daca se doreste o rata a serviciului de 95% avem:

APLICAREA SIMULARII LA GESTIUNEA STOCURILOR

Tehnica de simulare Monte Carlo ne permite sa obtinem valori artificiale ale cererii si eventual ale duratelor de livrare, conform distributiilor de probabilitate observate. Utilizand aceste valori artificiale in cadrul unei metode de gestiune, se pot calcula diversi parametrii: rata de ruptura, costul rupturii, etc. Va fi deci posibil sa comparam diverse metode de gestiune.

Tehnica de simulare Monte Carlo ne permite sa abordam diverse scenarii de gestiune a stocurilor, care pot diferi de metodele clasice ale punctului de comanda sau al aprovizionarii periodice.

A. Obtinerea unui esantion artificial al cererii

Metoda Monte Carlo permite obtinerea unui esantion cu o distributie de probabilitate data, plecand de la un esantion de numere aleatoare uniform repartizate pe intervalul (0,1).

Fie X o variabila aleatoare discreta, cu distributia:

Algoritmul de generare al variabilei X este:

Pasul 1. Se calculeaza .    

Initializam: i = 0

Pasul 2. Se genereaza U uniform repartizat pe (0,1).

Pasul 3. Se calculeaza: i = i

Pasul 4. Daca U > F_i atunci transfer la Pasul 3.

Pasul 5. Iesire X = x_i . Stop.

Exemplu. Consideram cazul unui distribuitor care gestioneaza stocul unui produs. El inregistreaza cererea aleatoare a produsului si constata ca probabilitatea p(n) a unei cereri zilnice de n articole este conforma cu tabelul urmator:

Dorim sa obtinem o serie aleatoare a cererii zilnice conform cu aceasta distributie de probabilitate. De exemplu, daca valorile variabilei aleatoare uniforme U sunt: 0.29, 0.59, 0.93, aplicand algoritmul se obtin valorile cererii zilnice: 2, 3, 6 articole. Am redus astfel problema generarii unor cereri zilnice cu o anumita distributie de probabilitate, la generarea unor numere aleatoare repartizate uniform in intervalul [0,1].

B. Simularea stocului pentru o metoda de gestiune data

Definim o metoda de gestiune foarte simpla: se comanda in ultima zi lucratoare a saptamanii (care are 5 zile lucratoare), un numar de articole egal cu consumul mediu al unei saptamani.

Media cererii este egala cu:

Deci, cererea saptamanala este de 15 articole. Se presupune in plus, ca stocul initial este egal cu 15 articole.

Se obtine evolutia urmatoare a stocului calculata la sfarsitul fiecarei zile, stiind ca in cazul lipsei de stoc cererea nesatisfacuta nu se reporteaza pentru ziua urmatoare.

unde: Z = ziua

C = cererea

S = stocul la sfarsitul zilei

P = penurie

Efectuand simularea pentru 100 zile lucratoare s-a calculat cererea totala exprimata, penuria totala si numarul de zile de stocare/articol.

Observatie. Trebuie adaugate zilele de stocare de la sfarsitul saptamanii; de exemplu pentru prima saptamana se obtine:

15_D+15_L+9_M+7_M+4_J+15_V+15_S = 80 zile/articol de stocare.

Rezulta:

- cererea totala: 317

- numarul de zile/articol de stocare: 1540

- penuria totala: 21

- rata de penurie: 21 / 317 = 6.6%

Daca se presupune ca avem un cost de stocare de 1 u.m. / articol / zi, costul de reaprovizionare este neglijabil, iar costul unitar al lipsei de stoc este de 50 u.m. , va rezulta un cost total pentru 100 zile de:

Concluzie. Acest cost va putea fi comparat cu cel rezultat din aplicarea altor reguli de reaprovizionare. Totusi, pentru ca rezulatatele obtinute sa fie stabile trebuie efectuate simulari pentru o perioada de cel putin 300 de zile.