Predicatele ca functii logice. Limbajul logicii predicatelor

Predicatele ca functii logice. Limbajul logicii predicatelor

Propozitiile complexe sunt forme logice, ireductibile la propozitii categorice sau la propozitii compuse. De pilda, propozitia "O persoana fizica respecta legislatia in vigoare sau nu o respecta" nu poate fi tratata ca propozitie categorica, deoarece predicatul ei contine notiunea relativa "respecta". Pe de alta parte, aceasta propozitie nu satisface regulile propozitiilor compuse, deoarece nu poate fi inlocuita cu propozitia compusa "Orice persoana fizica respecta legislatia in vigoare". Propozitia compusa de mai sus este o disjunctie cu ambele componente false si, deci, este falsa.

Logica propozitiilor complexe (sau logica predicatelor) ce reprezinta dezvoltarea teoriei clasice a propozitiilor logice, de asemenea opereaza cu termenii subiect si predicat. In aceasta teorie, predicatul are semnificatie de functie logica specifica.

Logica predicatelor cuprinde logica functiilor de adevar. Ea foloseste un limbaj specific si un sistem de simboluri speciale.

Prin predicat vom intelege notiunile care denota insusiri, genuri, relatii si care sunt simbolizate cu majuscule ale alfabetului latin F, G, H, . ,P, Q, R etc.

O insusire (de pilda, disciplinat, calm) sau un gen (de pilda, element chimic, reactie, poezie) caracterizeaza obiectele. Exista obiecte determinate si obiecte nedeterminate. Obiectele determinate (lucruri, fenomene, nume proprii etc.) suut desemnate cu minuscule (a, b, c, d etc.) si se numesc constante individuale. Pentru a desemna obiectele nedeterminate, se folosesc minuscule de la finele alfabetului latin x, y, z), denumite variabile individuale.

Predicatebe care desemneaza o insusire sau un gen si suut urmate de o singura variabila sau constanta individuala se numesc monadice sau de un singur loc, de pilda, P(x), P(y), P(z), P(a), Q(b), N(c). Predicatele care denota relatii si suut urmate de doua sau mai multe variabibe individuale se numesc poliadice (diadice, triadice etc.) sau de mai multe locuri. De pilda, a fi casatorit (C(x, y) se citeste "x este casatorit cu y"; a vinde

(V(x, y, z) se citeste "x vinde lui z marfa y").

Schemele de tipul C(x, y) (predicat diadic), V(x, y, z) (predicat triadic) se numesc formule elementare (atomare) predicative deschise.

O distinctie importanta in logica predicatelor este intre propoztiile inchise (determinate) si propoztiile deschise (nedeterminate). De pilda, "Iasomia este arbust" (P(a)) este o propozitie anchisa adevarata, iar "Leul este animal erbivor" (P(b)) este o propozitie inchisa fabsa. Propozitia "x este numar prim" (P(x)) este o propozitie deschisa, adica nici adevärata, nici falsa. Cu alte cuvinte, propoztiile deschise sunt functii propoztionale, deoarece contin, cel putin, o variabila individuala. Functiile propozitionale pot deveni enunturi (propozitii inchise) adevarate sau false, prin substitutia variabilelor individuale cu constante individuale. Daca, de exemplu, in propozitia "x este numar prim" punem in locul lui ""x "sapte" sau "zece", obtinem, respectiv, o propozitie adevarata sau falsa ("Sapte este numar prim" sau "Zece este numar prim). Din formulele predicative elementare desehise, folosind cuantori, se pot obtine formule predicative elementare inchise sau propoztii atomare. Cuantorii sunt operatori logici care exprima operatia cuantificarii propozitiilor logice, formulelor elementare s.a. In logica se folosesc doi cuantori: cuantorul universal ( , se citeste "pentru orice") si cuantorul existential ( , se citeste "exista"). Cuantorul universal ( ) este urmat de anumite semne, formand combinatii sau formule de tipul x, care se citesc "pentru orice x", "oricare ar fi x", "orice x". Cuantorul existential ( ) de asemenea este urmat de diferite semne, alcatuind formule de tipul x care se citesc "exista cel putin un x, astfel incat" s.a. De pilda, formulele elementare inchise xP(x), xQ(x), x yR(x, y) pot fi interpretate astfel: "oricare ar fi individul x, el are proprietatea P", "exista cel putin un x, care are proprietatea Q", "pentru orice x, exista cel putin un y astfel incat x se afla in relatia R cu y".

Intr-o forma predicativa, variabilele la care se refera un cuantor se numesc cuantificate sau legate, in timp ce variabilele fara cuantor se numesc libere. Astfel, in formula x y R(x, y), ambele variabile sunt legate, iar in formula yP(x, y) variabila x este libera.

La schemele predicative pot fi aplicati operatorii propozitionali (negatia, conjunctia, disjunctia, implicatia, echivalenta): ¬ xPx, x y (P(x, y) Q(x, y)], xPx→∃xPx,

x yP(x, y)∨Qz etc.

Orice aparitie a variabilei individuale pe langa predicate se numeste intrare. In formula yQy yQy, y apare in antecedentul si consecventul implicatiei, deci are doua intrari.

Partea dintr-o formula, asupra careia se extinde (adica, la care se refera) cuantorul se numeste domeniul de actiune al cuantorului. Toate intrarile din domeniul de actiune (al cuantorului) sunt legate (cuantificate). De pilda, in formula x(Px Qx) x y R(x, y) domeniul de actiune al lui x este (Px Qx).

Sa revenim la propozitia (de la inccputul paragrafului) "Orice per soana fizica respecta legislatia in vigoare sau nu o respecta". Aceasta propozitie, din punct de vedere logic, este identica cu propozitia "Orice persoana fizica respecta legislatia in vigoare sau nu respecta legislatia in vigoare". Facem abstractie de unele amanunte care vor fi demonstrate mai tirziu si aplicam principiul non-contradictiei: este inadmisibil p ¬p, adica ¬(p ¬p). Deci, fiind persoana fzica, este inadrnisibil, in acelasi timp, a respecta si a nu respecta legislatia in vigoare. Formal, aceasta situatie poate fi redata astfel: ¬ x[Px R(xl) ¬R(xl)] (se citeste "pentru once x, nu este adevarat ca x este persoana fizica (Px) si, in acelasi timp, respecta legislatia in vigoare (R(xl)) si x nu o respecta (¬R(xl))". In baza logicii propozitionale, vom transforma aceasta formula in echivalenta ei:

xPx R(xl) ¬R(xl)] ≡

Ambele formule sunt adevarate si corespund propozitiei naturale date. A doua formula se citeste "pentru orice x, daca x este persoana fizica (Px), atunci respecta legislatia in vigoare (R(xl)) sau nu respecta legislatia in vigoare (¬R(xl))".

In concluzie, limbajul logicii predicatelor este alcatuit din:

. constante individuale (a, b, c etc.);

. variabile individuale (x, y, z etc.);

. simboluri pentru predicate (F, G, H,,P, Q, R,);

. formule predicative (sau scheme de functii propozitionale) monadice (Px, Qy etc.) sau poliadice (F(x, y), G(x, y, z) etc.);

. cuantori ( ∃) si operatori propozitionali (¬, ∨ etc.);

. scheme predicative cuantificate elementare (sau formule de propozitii atomare ( xP x, x yR(x, y) etc.) sau complexe, adica neelementare ( x yP(x, y) x y P(x, y) s.a.).