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TRIGONOMETRIE
1. FUNCTIA TRIGONOMETRICǍ
Functia trigonometricǎ intr-un cerc cu razǎ 1 exprimǎ relatia de determinare a
coordonatelor punctelor de pe cerc,cat si de pe perpendiculara dusǎ la raza cercului
la o rotatie a punctului cu 360s in jurul centrului de cerc ( vezi fig. 1).
Relatii intre functiile trigonometrice
sinus,cosin, tangentǎ si cotangantǎ in
cercul de razǎ 1 :
a) sin ² + cos ² = 1 ;
sin α 1s
b) tg α=------- ; cotg α = ------ ;
cos α tg α
1 1
c) sec α=------; cosec α = -------- .
cos α sin α
Fig. 1
NOTǍ :Unghiul α se exprima in grade sau radiani .Unghiul de un radian este
unghiul care desfǎsoarǎ un arc de cerc de lungime egalǎ cu raza.
Formula de transformare radiani in grade sexagesimale este :
π 180s
------- == ------
α αs
EXEMPLU 1. Sǎ se determine valoarea unghiului in grade sexagesimale
corespunzǎtor unghiului de un radian : Aplicand formula
obtinem expresia :
3,14 180s
------------- = ----- ----- ------ ;
αs
αs = 180 s · 1/3.14 = 57s 19′ 12″ .
APLICATIE :Determinarea arcului de cerc la un cerc cu diametru d cǎreia ii
corespunde unghiul αs la centru :
Aplicand regula de trei simplǎ raportatǎ la lungimea cercului se determinǎ
formula de calcul pentru determunarea arcului de cerc :
L ( π.d ) . . . . . . . .. 360s unde L→ lungimea
x . . . . . . . αs cercului.
-------- ----- ------ ----- ----- ---------- x→lungime arc.
x = L · αs /360s = π · d · αs/360s.
DETERMINAREA VALORILOR FUNCTIILOR
TRIGONOMETRICE CU AJUTORUL TABELULUI
INTR-UN TRIUNGHI DREPTUNGHIC
Triunghiul dreptunghic are un unghi de 90s, un unghi ascutit s <90s si un unghi optuz s > 90s , care se aflǎ in relatia αs + βs = 90s; de asemenea are o laturǎ
opusǎ unghiului de 90s, care se chiamǎ ipotenuzǎ si douǎ laturi ce se opun unghiu-
lui αs si unghiului βs ce se numesc catete ( Fig. ).
- unde : a- catetǎ ;
b- catetǎ ; c- ipotenuza ;
αs-unghi ascutit ;
βs-unghi opuz ;
γs-unghi drept = 90s.
Fig. 2
RELATIILE FUNCTIILOR TRIGONOMETRICE IN TRIUNGHIUL DE MAI
SUS:
a b
I) sinαs = -------- ; V) sin βs = --------- ; IX) a = c·sin αs ; XIII) b =c·sinβs;
c c
b a
II) cosαs = -------- ; VI) cos βs = --------- ; X) b = c·cos αs ; XIV) a=c·cosβs ;
c c
a b
III) tg αs = -------- ; VII) tg βs = --------- ; XI) a = b· tg αs ; XV) b=a·tg βs ;
b a
b a
IV) ctg αs = -------- ; VIII) ctg βs = --------- ;XII) b = a·ctg αs ; XVI) a=b·ctgβs ;
a b
a b b a a a
XVII) c =----------- = --------- = --------- = --------- ; XVIII) b = -------- = ---------- ;
sin αs sin βs cos αs cos βs tg αs ctg βs
b b
XIX) a =--------- = ---------- .
tg βs ctg αs
3. TABEL CU VALOAREA FUNCTIILOR TRIGONOMETRICE
sin, cos, tg, ctg -grade sexagesimale
SINUS 0s - 45s |
||||||||
GRAD ↓ 0′ 10′ 20′ 30′ 40′ 50′ 60′ ---- |
||||||||
0 |
0,0000 |
0,0029 |
0,0058 |
0,0087 |
0,0116 |
0,0145 |
0,0175 |
89 |
1 |
0,0175 |
0,0204 |
0,0233 |
0,0262 |
0,0291 |
0,0320 |
0,0349 |
88 |
2 |
0,0349 |
0,0378 |
0,0407 |
0,0436 |
0,0465 |
0,0494 |
0,0523 |
87 |
3 |
0,0523 |
0,0552 |
0,0581 |
0,0610 |
0,0640 |
0,0669 |
0,0698 |
86 |
4 |
0,0698 |
0,0727 |
0,0756 |
0,0785 |
0,0814 |
0,0843 |
0,0872 |
85 |
5 |
0,0872 |
0,0901 |
0,0929 |
0,0958 |
0,0987 |
0,1016 |
0,1045 |
84 |
6 |
0,1045 |
0,1074 |
0,1103 |
0,1132 |
0,1161 |
0,1190 |
0,1219 |
83 |
7 |
0,1219 |
0,1248 |
0,1276 |
0,1305 |
0,1334 |
0,1363 |
0,1392 |
82 |
8 |
0,1392 |
0,1421 |
0,1449 |
0,1478 |
0,1507 |
0,1536 |
0,1564 |
81 |
9 |
0,1564 |
0,1593 |
0,1622 |
0,1650 |
0,1679 |
0,1708 |
0,1736 |
80 |
10 |
0,1736 |
0,1765 |
0,1794 |
0,1822 |
0,1851 |
0,1880 |
0,1908 |
79 |
11 |
0,1908 |
0,1937 |
0,1965 |
0,1994 |
0,2022 |
0,2051 |
0,2079 |
78 |
12 |
0,2079 |
0,2108 |
0,2136 |
0,2164 |
0,2193 |
0,2221 |
0,2250 |
77 |
13 |
0,2250 |
0,2278 |
0,2306 |
0,2334 |
0,2363 |
0,2391 |
0,2419 |
76 |
14 |
0,2419 |
0,2447 |
0,2476 |
0,2504 |
0,2532 |
0,2560 |
0,2588 |
75 |
15 |
0,2588 |
0,2616 |
0,2644 |
0,2672 |
0,2700 |
0,2728 |
0,2756 |
74 |
16 |
0,2756 |
0,2784 |
0,2812 |
0,2840 |
0,2868 |
0,2896 |
0,2924 |
73 |
17 |
0,2924 |
0,2952 |
0,2979 |
0,3007 |
0,3035 |
0,3062 |
0,3090 |
72 |
18 |
0,3090 |
0,3118 |
0,3145 |
0,3173 |
0,3201 |
0,3228 |
0,3256 |
71 |
19 |
0,3256 |
0,3283 |
0,3311 |
0,3338 |
0,3365 |
0,3393 |
0,3420 |
70 |
20 |
0,3420 |
0,3448 |
0,3475 |
0,3502 |
0,3529 |
0,3557 |
0,3584 |
69 |
21 |
0,3584 |
0,3611 |
0,3638 |
0,3665 |
0,3692 |
0,3719 |
0,3746 |
68 |
22 |
0,3746 |
0,3773 |
0,3800 |
0,3827 |
0,3854 |
0,3881 |
0,3907 |
67 |
23 |
0,3907 |
0,3934 |
0,3961 |
0,3987 |
0,4014 |
0,4041 |
0,4067 |
66 |
24 |
0,4067 |
0,4094 |
0,4120 |
0,4147 |
0,4173 |
0,4200 |
0,4226 |
65 |
25 |
0,4226 |
0,4253 |
0,4279 |
0,4305 |
0,4331 |
0,4358 |
0,4384 |
64 |
26 |
0,4384 |
0,4410 |
0,4436 |
0,4462 |
0,4488 |
0,4514 |
0,4540 |
63 |
27 |
0,4540 |
0,4566 |
0,4592 |
0,4617 |
0,4643 |
0,4669 |
0,4695 |
62 |
28 |
0,4695 |
0,4720 |
0,4746 |
0,4772 |
0,4797 |
0,4823 |
0,4848 |
61 |
29 |
0,4848 |
0,4874 |
0,4899 |
0,4924 |
0,4950 |
0,4975 |
0,5000 |
60 |
30 |
0,5000 |
0,5025 |
0,5050 |
0,5075 |
0,5100 |
0,5125 |
0,5150 |
59 |
31 |
0,5150 |
0,5175 |
0,5200 |
0,5225 |
0,5250 |
0,5275 |
0,5299 |
58 |
32 |
0,5299 |
0,5324 |
0,5348 |
0,5373 |
0,5398 |
0,5422 |
0,5446 |
57 |
33 |
0,5446 |
0,5471 |
0,5495 |
0,5519 |
0,5544 |
0,5568 |
0,5592 |
56 |
34 |
0,5592 |
0,5616 |
0,5640 |
0,5664 |
0,5688 |
0,5712 |
0,5736 |
55 |
35 |
0,5736 |
0,5760 |
0,5783 |
0,5807 |
0,5831 |
0,5854 |
0,5878 |
54 |
36 |
0,5878 |
0,5901 |
0,5925 |
0,5948 |
0,5972 |
0,5995 |
0,6018 |
53 |
37 |
0,6018 |
0,6041 |
0,6065 |
0,6088 |
0,6111 |
0,6134 |
0,6157 |
52 |
38 |
0,6157 |
0,6180 |
0,6202 |
0,6225 |
0,6248 |
0,6271 |
0,6293 |
51 |
39 |
0,6293 |
0,6316 |
0,6338 |
0,6361 |
0,6383 |
0,6406 |
0,6428 |
50 |
40 |
0,6428 |
0,6450 |
0,6472 |
0,6494 |
0,6517 |
0,6539 |
0,6561 |
49 |
41 |
0,6561 |
0,6583 |
0,6604 |
0,6626 |
0,6648 |
0,6670 |
0,6691 |
48 |
42 |
0,6691 |
0,6713 |
0,6734 |
0,6756 |
0,6777 |
0,6799 |
0,6820 |
47 |
43 |
0,6820 |
0,6841 |
0,6862 |
0,6884 |
0,6905 |
0,6926 |
0,6947 |
46 |
44 |
0,6947 |
0,6967 |
0,6988 |
0,7009 |
0,7030 |
0,7050 |
0,7071 |
45 |
-- --- 60′ 50′ 40′ 30′ 20′ 10′ 0′ GRAD ↑ |
||||||||
COSINUS 45s - 90s |
8
SINUS 45s- 90s |
|
||||||||
GRAD↓ 0′ 10′ 20′ 30′ 40′ 50′ 60′ ----- |
|
||||||||
45 |
0,7071 |
0,7092 |
0,7112 |
0,7133 |
0,7153 |
0,7173 |
0,7193 |
44 |
|
46 |
0,7193 |
0,7214 |
0,7234 |
0,7245 |
0,7274 |
0,7294 |
0,7314 |
43 |
|
47 |
0,7314 |
0,7333 |
0,7353 |
0,7373 |
0,7392 |
0,7412 |
0,7431 |
42 |
|
48 |
0,7431 |
0,7451 |
0,7470 |
0,7490 |
0,7509 |
0,7528 |
0,7547 |
41 |
|
49 |
0,7547 |
0,7566 |
0,7585 |
0,7604 |
0,7623 |
0,7642 |
0,7660 |
40 |
|
50 |
0,7660 |
0,7679 |
0,7698 |
0,7716 |
0,7735 |
0,7753 |
0,7771 |
39 |
|
51 |
0,7771 |
0,7790 |
0,7808 |
0,7826 |
0,7844 |
0,7862 |
0,7880 |
38 |
|
52 |
0,7880 |
0,7898 |
0,7916 |
0,7934 |
0,7951 |
0,7969 |
0,7986 |
37 |
|
53 |
0,7986 |
0,8004 |
0,8021 |
0,8039 |
0,8056 |
0,8073 |
0,8090 |
36 |
|
54 |
0,8090 |
0,8107 |
0,8124 |
0,8141 |
0,8158 |
0,8175 |
0,8192 |
35 |
|
55 |
0,8192 |
0,8208 |
0,8225 |
0,8241 |
0,8258/ |
0,8274 |
0,8290 |
34 |
|
56 |
0,8290 |
0,8307 |
0,8323 |
0,8339 |
0,8355 |
0,8371 |
0,8387 |
33 |
|
57 |
0,8387 |
0,8403 |
0,8418 |
0,8434 |
0,8450 |
0,8465 |
0,8480 |
32 |
|
58 |
0,8480 |
0,8496 |
0,8511 |
0,8526 |
0,8542 |
0,8557 |
0,8572 |
31 |
|
59 |
0,8572 |
0,8587 |
0,8601 |
0,8616 |
0,8631 |
0,8646 |
0,8660 |
30 |
|
60 |
0,8660 |
0,8675 |
0,8689 |
0,8704 |
0,8718 |
0,8732 |
0,8746 |
29 |
|
61 |
0,8746 |
0,8760 |
0,8774 |
0,8788 |
0,8802 |
0,8816 |
0,8829 |
28 |
|
62 |
0,8829 |
0,8843 |
0,8857 |
0,8870 |
0,8884 |
0,8897 |
0,8910 |
27 |
|
63 |
0,8910 |
0,8923 |
0,8936 |
0,8949 |
0,8962 |
0,8975 |
0,8988 |
26 |
|
64 |
0,8988 |
0,9001 |
0,9013 |
0,9026 |
0,9038 |
09051 |
0,9063 |
25 |
|
65 |
0,9063 |
0,9075 |
0,9088 |
0,9100 |
0,9112 |
0,9124 |
0,9135 |
24 |
|
66 |
0,9135 |
0,9147 |
0,9159 |
0,9171 |
0,9182 |
0,9194 |
0,9205 |
23 |
|
67 |
0,9205 |
0,9216 |
0,9228 |
0,9239 |
0,9250 |
0,9261 |
0,9272 |
22 |
|
68 |
0,9272 |
0,9283 |
0,9293 |
0,9304 |
0,9315 |
0,9325 |
0,9336 |
21 |
|
69 |
0,9336 |
0,9346 |
0,9356 |
0,9367 |
0,9377 |
0,9387 |
0,9397 |
20 |
|
70 |
0,9397 |
0,9407 |
0,9417 |
0,9426 |
0,9436 |
0,9446 |
0,9455 |
19 |
|
71 |
0,9455 |
0,9465 |
0,9474 |
0,9483 |
0,9492 |
0,9502 |
0,9511 |
18 |
|
72 |
0,9511 |
0,9520 |
0,9528 |
0,9537 |
0,9546 |
0,9555 |
0,9563 |
17 |
|
73 |
0,9563 |
0,9572 |
0,9580 |
0,9588 |
0,9596 |
0,9605 |
0,9613 |
16 |
|
74 |
0,9613 |
0,9621 |
0,9628 |
0,9636 |
0,9644 |
0,9652 |
0,9659 |
15 |
|
75 |
0,9659 |
0,9667 |
0,9674 |
0,9681 |
0,9689 |
0,9696 |
0,9703 |
14 |
|
76 |
0,9703 |
0,9710 |
0,9717 |
0,9724 |
0,9730 |
0,9737 |
0,9744 |
13 |
|
77 |
0,9744 |
0,9750 |
0,9757 |
0,9763 |
0,9769 |
0,9775 |
0,9781 |
12 |
|
78 |
0,9781 |
0,9787 |
0,9793 |
0,9799 |
0,9805 |
0,9811 |
0,9816 |
11 |
|
79 |
0,9816 |
0,9822 |
0,9827 |
0,9833 |
0,9838 |
0,9843 |
0,9848 |
10 |
|
80 |
0,9848 |
0,9853 |
0,9858 |
0,9863 |
0,9868 |
0,9872 |
0,9877 |
9 |
|
81 |
0,9877 |
0,9881 |
0,9886 |
0,9890 |
0,9894 |
0,9899 |
0,9903 |
8 |
|
82 |
0,9903 |
0,9907 |
0,9911 |
0,9914 |
0,9918 |
0,9922 |
0,9925 |
7 |
|
83 |
0,9925 |
0,9929 |
0,9932 |
0,9936 |
0,9939 |
0,9942 |
0,9945 |
6 |
|
84 |
0,9945 |
0,9948 |
0,9951 |
0,9954 |
0,9957 |
0,9959 |
0,9962 |
5 |
|
85 |
0,9962 |
0,9964 |
0,9967 |
0,9969 |
0,9971 |
0,9974 |
0,9976 |
4 |
|
86 |
0,9976 |
0,9978 |
0,9980 |
0,9981 |
0,9983 |
0,9985 |
0,9986 |
3 |
|
87 |
0,9986 |
0,9988 |
0,9989 |
0,9990 |
0,9992 |
0,9993 |
0,9994 |
2 |
|
88 |
0,9994 |
0,9995 |
0,9996 |
0,9997 |
0,99975 |
0,9998 |
0,99985 |
1 |
|
89 |
0,99985 |
0,99989 |
0,99993 |
0,99996 |
0,99998 |
0,99999 |
1,0000 |
0 |
|
-------- 60′ 50′ 40′ 30′ 20′ 10′ 0′ GRAD ↑ |
|||||||||
COSINUS 0s - 45s |
TANGENTǍ 0s - 45s |
||||||||
GRAD ↓ 0′ 10′ 20′ 30′ 40′ 50′ 60′ -------- |
||||||||
0s |
0,0000 |
0,0029 |
0,0058 |
0,0087 |
0,0116 |
0,0145 |
0,0175 |
89 |
1 |
0,0175 |
0,0204 |
0,0233 |
0,0262 |
0,0291 |
0,0320 |
0,0349 |
88 |
2 |
0,0349 |
0,0378 |
0,0407 |
0,0437 |
0,0466 |
0,0495 |
0,0524 |
87 |
3 |
0,0524 |
0,0553 |
0,0582 |
0,0612 |
0,0641 |
0,0670 |
0,0699 |
86 |
4 |
0,0699 |
0,0729 |
0,0758 |
0,0787 |
0,0816 |
0,0846 |
0,0875 |
85 |
5 |
0,0875 |
0,0904 |
0,0934 |
0,0963 |
0,0992 |
0,1022 |
0,1051 |
84 |
6 |
0,1051 |
0,1080 |
0,1110 |
0,1139 |
0,1169 |
0,1198 |
0,1228 |
83 |
7 |
0,1228 |
0,1257 |
0,1287 |
0,1317 |
0,1346 |
0,1376 |
0,1405 |
82 |
8 |
0,1405 |
0,1435 |
0,1465 |
0,1495 |
0,1524 |
0,1554 |
0,1584 |
81 |
9 |
0,1584 |
0,1614 |
0,1644 |
0,1673 |
0,1703 |
0,1733 |
0,1763 |
80 |
10 |
0,1763 |
0,1793 |
0,1823 |
0,1853 |
0,1883 |
0,1914 |
0,1944 |
79 |
11 |
0,1944 |
0,1974 |
0,2004 |
0,2035 |
0,2065 |
0,2095 |
0,2126 |
78 |
12 |
0,2126 |
0,2156 |
0,2186 |
0,2217 |
0,2247 |
0,2278 |
0,2309 |
77 |
13 |
0,2309 |
0,2339 |
0,2370 |
0,2401 |
0,2432 |
0,2462 |
0,2493 |
76 |
14 |
0,2493 |
0,2524 |
0,2555 |
0,2586 |
0,2617 |
0,2648 |
0,2679 |
75 |
15 |
0,2679 |
0,2711 |
0,2742 |
0,2773 |
0,2805 |
0,2836 |
0,2867 |
74 |
16 |
0,2867 |
0,2899 |
0,2931 |
0,2962 |
0,2994 |
0,3026 |
0,3057 |
73 |
17 |
0,3057 |
0,3089 |
0,3121 |
0,3153 |
0,3185 |
0,3217 |
0,3249 |
72 |
18 |
0,3249 |
0,3281 |
0,3314 |
0,3346 |
0,3378 |
0,3411 |
03443 |
71 |
19 |
0,3443 |
0,3476 |
0,3508 |
0,3541 |
0,3574 |
0,3607 |
0,3640 |
70 |
20 |
0,3640 |
0,3673 |
0,3706 |
0,3739 |
0,3772 |
0,3805 |
0,3839 |
69 |
21 |
0,3839 |
0,3872 |
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0,3939 |
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0,4040 |
68 |
22 |
0,4040 |
0,4074 |
0,4108 |
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0,4245 |
67 |
23 |
0,4245 |
0,4279 |
0,4314 |
0,4348 |
0,4383 |
0,4417 |
0,4452 |
66 |
24 |
0,4452 |
0,4487 |
0,4522 |
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0,4592 |
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65 |
25 |
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64 |
26 |
0,4877 |
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0,4950 |
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63 |
27 |
0,5095 |
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0,5169 |
0,5206 |
0,5243 |
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62 |
28 |
0,5317 |
0,5354 |
0,5392 |
0,5430 |
0,5467 |
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61 |
29 |
0,5543 |
0,5581 |
0,5619 |
0,5658 |
0,5696 |
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60 |
30 |
0,5774 |
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0,5851 |
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0,5930 |
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0,6009 |
59 |
31 |
0,6009 |
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0,6088 |
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0,6249 |
58 |
32 |
0,6249 |
0,6289 |
0,6330 |
0,6371 |
0,6412 |
0,6453 |
0,6494 |
57 |
33 |
0,6494 |
0,6536 |
0,6577 |
0,6619 |
0,6661 |
0,6703 |
0,6745 |
56 |
34 |
0,6745 |
0,3787 |
0,6830 |
0,6873 |
0,6916 |
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0,7002 |
55 |
35 |
0,7002 |
0,7046 |
0,7089 |
0,7133 |
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54 |
36 |
0,7265 |
0,7310 |
0,7355 |
0,7400 |
0,7445 |
0,7490 |
0,7536 |
53 |
37 |
0,7536 |
0,7581 |
0,7627 |
0,7673 |
0,7720 |
0,7766 |
0,7813 |
52 |
38 |
0,7813 |
0,7860 |
0,7907 |
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51 |
39 |
0,8098 |
0,8146 |
0,8195 |
0,8243 |
0,8292 |
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0,8391 |
50 |
40 |
0,8391 |
0,8441 |
0,8491 |
0,8541 |
0,8591 |
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0,8693 |
49 |
41 |
0,8693 |
0,8744 |
0,8796 |
0,8847 |
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0,9004 |
48 |
42 |
0,9004 |
0,9057 |
0,9110 |
0,9163 |
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0,9325 |
47 |
43 |
0,9325 |
0,9380 |
0,9435 |
0,9490 |
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0,9657 |
46 |
44 |
0,9657 |
0,9713 |
0,9770 |
0,9827 |
0,9884 |
0,9942 |
1,0000 |
45s |
-------- 60′ 50′ 40′ 30′ 20′ 10′ 0′ GRAD ↑ |
||||||||
COTANGENTǍ 45s - 90s |
TANGENTǍ 45s - 90s |
||||||||
GRAD ↓ 0′ 10′ 20′ 30′ 40′ 50′ 60′ ------ |
||||||||
45s |
1,0000 |
1,0058 |
1,0117 |
1,0176 |
1,0235 |
1,0295 |
1,0355 |
44 |
46 |
1,0355 |
1,0416 |
1,0477 |
1,0538 |
1,0599 |
1,0661 |
1,0724 |
43 |
47 |
1,0724 |
1,0786 |
1,0850 |
1,0913 |
1,0977 |
1,1041 |
1,1106 |
42 |
48 |
1,1106 |
1,1171 |
1,1237 |
1,1303 |
1,1369 |
1,1436 |
1,1504 |
41 |
49 |
1,1504 |
1,1571 |
1,1640 |
1,1708 |
1,1778 |
1,1847 |
1,1918 |
40 |
50 |
1,1918 |
1,1988 |
1,2059 |
1,2131 |
1,2203 |
1,2276 |
1,2349 |
39 |
51 |
1,2349 |
1,2423 |
1,2497 |
1,2572 |
1,2647 |
1,2723 |
1,2799 |
38 |
52 |
1,2799 |
1,2876 |
1,2954 |
1,3032 |
1,3111 |
1,3190 |
1,3270 |
37 |
53 |
1,3270 |
1,3351 |
1,3432 |
1,3514 |
1,3597 |
1,3680 |
1,3764 |
36 |
54 |
1,3764 |
1,3848 |
1,3934 |
1,4019 |
1,4106 |
1,4193 |
1,4281 |
35 |
55 |
1,4281 |
1,4370 |
1,4460 |
1,4550 |
1,4641 |
1,4733 |
1,4826 |
34 |
56 |
1,4826 |
1,4919 |
1,5013 |
1,5108 |
1,5204 |
1,5301 |
1,5399 |
33 |
57 |
1,5399 |
1,5497 |
1,5597 |
1,5697 |
1,5798 |
1,5900 |
1,6003 |
32 |
58 |
1,6003 |
1,6107 |
1,6213 |
1,6318 |
1,6426 |
1,6534 |
1,6643 |
31 |
59 |
1,6643 |
1,6753 |
1,6864 |
1,6977 |
1,7090 |
1,7205 |
1,7321 |
30 |
60 |
1,7321 |
1,7438 |
1,7556 |
1,7675 |
1,7796 |
1,7917 |
1,8041 |
29 |
61 |
1,8041 |
1,8165 |
1,8291 |
1,8418 |
1,8546 |
1,8676 |
1,8807 |
28 |
62 |
1,8807 |
1,8940 |
1,9074 |
1,9210 |
1,9347 |
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1,9626 |
27 |
63 |
1,9626 |
1,9768 |
1,9912 |
2,0057 |
2,0204 |
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26 |
64 |
2,0503 |
2,0655 |
2,0809 |
2,0965 |
2,1123 |
2,1283 |
2,1445 |
25 |
65 |
2,1445 |
2,1609 |
2,1775 |
2,1943 |
2,2113 |
2,2286 |
2,2460 |
24 |
66 |
2,2460 |
2,2637 |
2,2817 |
2,2998 |
2,3183 |
2,3369 |
2,3559 |
23 |
67 |
2,3559 |
2,3750 |
2,3945 |
2,4142 |
2,4342 |
2,4545 |
2,4751 |
22 |
68 |
2,4751 |
2,4960 |
2,5172 |
2,5387 |
2,5605 |
2,5826 |
2,6051 |
21 |
69 |
2,6051 |
2,6279 |
2,6511 |
2,6746 |
2,6985 |
2,7228 |
2,7475 |
20 |
70 |
2,7475 |
2,7725 |
2,7980 |
2,8239 |
2,8502 |
2,8770 |
2,9042 |
19 |
71 |
2,9042 |
2,9319 |
2,9600 |
2,9887 |
3,0178 |
3,0475 |
3,0777 |
18 |
72 |
3,0777 |
3,1084 |
3,1397 |
3,1716 |
3,2041 |
3,2371 |
3,2709 |
17 |
73 |
3,2709 |
3,3052 |
3,3402 |
3,3759 |
3,4124 |
3,.4495 |
3,4874 |
16 |
74 |
3,4874 |
3,5261 |
3,5656 |
3,6059 |
3,6470 |
3,6891 |
3,7321 |
15 |
75 |
3,7321 |
3,7760 |
3,8208 |
3,8667 |
3,9136 |
3,9617 |
4,0108 |
14 |
76 |
4,0108 |
4,0611 |
4,1126 |
4,1653 |
4,2193 |
4,2747 |
4,3315 |
13 |
77 |
4,3315 |
4,3897 |
4,4494 |
4,5107 |
4,5736 |
4,6383 |
4,7046 |
12 |
78 |
4,7046 |
4,7729 |
4,8430 |
4,9152 |
4,9894 |
5,0658 |
5,1446 |
11 |
79 |
5,1446 |
5,2257 |
5,3093 |
5,3955 |
5,4845 |
5,5764 |
5,6713 |
10 |
80 |
5,6713 |
5,7694 |
5,8708 |
5,9758 |
6,0844 |
6,1970 |
6,3138 |
9 |
81 |
6,3138 |
6,4348 |
6,5605 |
6,6912 |
6,8269 |
6,9682 |
7,1154 |
8 |
82 |
7,1154 |
7,2687 |
7,4287 |
7,5958 |
7,7704 |
7,9530 |
8,1444 |
7 |
83 |
8,1444 |
8,3450 |
8,5556 |
8,7769 |
9,0098 |
9,2553 |
9,5144 |
6 |
84 |
9,5144 |
9,7882 |
10,0780 |
10,3854 |
10,7119 |
11,0594 |
11,4301 |
5 |
85 |
11,4301 |
11,8262 |
12,2505 |
12,7062 |
13,1969 |
13,7267 |
14,3007 |
4 |
86 |
14,3007 |
14,9244 |
15,6048 |
16,3499 |
17,1693 |
18,0750 |
19,0811 |
3 |
87 |
19,0811 |
20,2056 |
21,4704 |
22,9038 |
24,5418 |
26,4316 |
28,6363 |
2 |
88 |
28,6363 |
31,2416 |
34,3678 |
38,1885 |
42,9641 |
49,1039 |
57,2900 |
1 |
89 |
57,2900 |
68,7501 |
85,9398 |
|
|
|
∞ |
0s |
--------- 60′ 50′ 40′ 30′ 20′ 10′ 0′ GRAD ↑ |
||||||||
COTANGENTǍ 0s - 45s |
4. APLICATII
EXEMPLU 1. Sǎ se determine valoatrea functiilor trigonometrice sin , cos , tg ,ctg la urmǎtoarele unghiuri : α = 5s 30′ ;16s ;25s 20′ ;30s si 45s 50′. Folosind cele patru
tabele astfel : In dreptul fiecǎrui rand corespunzǎtor gradelor si in dreptul fiecǎrei
coloane corespunzǎtor minutelor aflǎm valoarea functiilor sin , cos , tg , ctg :
sin 5s 30′ = 0,0958 ; cos 5s 30′ = 0,9954 ; tg 5s 30′ = 0,0963 ; ctg 5s 30′ = 10,3854 ;
sin16s 0′ = 0,2588 ; cos16s 0′ = 0,9613 ; tg16s 0′ = 0,2867 ; ctg16s 0′ = 3,4874 ;
sin25s20′ = 0,4279 ; cos25s20′ = 0,9038 ; tg25s20′ = 0,4734 ; ctg25s20′ = 2,1123 ;
sin30s 0′ = 0,5000 ; cos30s 0′ = 0,8660 ; tg30s 0′ = 0,5774 ; ctg30s 0′ = 1,7321 ;
sin45s50′ = 0,7173 ; cos45s50′ = 0,6967 ; tg45s50′ = 1,0295 ; ctg45s50′ = 0,9713 .
EXEMPLU In triunghiu dreptunghic din fig. 2 se dǎ cateta b si unghiul alǎturat
αs (b = 40 mm ,αs= 20s) si se cere determinarea catetei a si ipotenuza c .
1. Pentru determinarea catetei a se aplicǎ formula XI :
a =b · tg αs → a = 40 · tg 20s = 40 · 0,3640 = 14,56. a= 14,56 mm.
Pentru determinarea ipotenuzei c se aplicǎ formula XVII :
a 14,56 14,56
c =---------- = -----------=------------ = 42,57 mm. c = 42,57 mm.
sin s sin 20s 0,3420
EXEMPLU 3.In triunghiul dreptunghic din fig. 2 se dǎ cateta a si ipotenuza c
( a = 15 mm ; c = 30 mm ) si se cere determinarea unghiurilor αs si βs.
1.Pentru determinarea unghiului αs se aplicǎ formula I si FUNCTIA
TRIGONOMETRICǍ INVERSǍ .
NOTǍ: FUNCTIA TRIGONOMETRICǍ INVERSǍ SE EXPRIMǍ ASTFEL :
UNGHI = ARC Fct.TRG. VF. unde ARC.→expresia functiei trigonome-
trice inversǎ;Fct.TRG. →functia trigonometricǎ( sin ,cos , tg , ctg ) si VF →valoarea
functiei trigonometrice , regǎsitǎ in tabelele cu valoarea functiilor trigonometrice .
a 15
sin αs = --------- = --------- = 0,5000. αs = arc sin 0,5000 = 30s .
c 30
OBSERVATIE: Pentru determinarea unghiului cu ajutorul Functiei trigonometrice
inversǎ si a tabelului cu valoarea functiei trigonometrice respectivǎ
se procedeazǎ astfel: valoarea functiei rezultatǎ , respective valoarea
raportului celor douǎ laturi se cautǎ in tabelul cu valorile functiei
si pe pozitia care se aflǎ pe coloanǎ sunt minutele , iar pe orizon-
talǎ gradele : in cazul nostru pe coloanǎ se aflǎ 0′ si pe orizontalǎ
30s .
Pentru determinarea unghiului s se aplicǎ o propietate a triunghiu-
lui dreptunghic si anume suma celor douǎ unghiuri opuse catete-
lor este egalǎ cu 90s.
αs + βs = 90s , αs = 30s → 90s - 30s = 60s. βs = 60s.
EXEMPLU 4. Sǎ se determine unghiurile in grade sexagesimale,folosind
functia trigonometricǎ inversǎ si tabelele cu valorile functiilor
trigonometrice la urmǎtoarele valori: sin αs =0,0436 ;0,2221 ;
0,5000 ;0,6428 ;0,8660 ;0,9636 ;0,99999 - cos αs = 1,0000 ;0,9426 ;
0,8660 ;0,7193 ;0,7071 ;0,5000 ;0,0058 - tg αs = 0,0175 ;0,3640 ;
0,5774 ;1,0000 ;1,3764 ;6,3138 ;343,7737 -ctg αs = 57,2900 ;2,7475 ;
1,7321 ;1,0000 ;0,5774 ;0,1914 ;0,0000 :
αs = arcsin 0,0436 = 2s 30′ ; αs = arcsin 0,2221 = 12s 50′ ; αs = arcsin 0,5000 =30s 0′ ;
αs = arcsin 0,6428 = 40s 0′ ; αs = arcsin 0,8660 = 60s 0′ ; αs = arcsin 0,9636 =74s30′ ;
αs = arcsin0,99999= 89s 50′ .
s = arccos 1,0000 = 0s 0′ ; s = arccos 0,9426 = 19s 30′ ; s = arccos0,8860 =30s 0′;
αs = arccos 0,7193 = 44s 0′ ; αs = arccos 0,7071 = 45s 0′ ; αs = arccos0,5000 =60s 0′;
αs = arccos 0,0058 = 89s 20′ .
αs = arctg 0,0175 = 1s 0′ ; αs = arctg 0,3640 = 19s 60′ ; αs = arctg 0,5774 =30s 0′;
αs = arctg 1,0000 =45s 0′ ; αs = arctg 1,3764 = 54s 0′ ; αs = arctg 6,3138 =81s 0′;
αs = arctg343,7737= 89s 50′ .
αs = arcctg57,2900 = 1s 0′ ; αs = arcctg 2,7475 = 20s 0′ ; αs = arcctg1,7321 =29s60′;
αs = arcctg 1,0000 =45s 0′ ; αs = arcctg 0,5774 = 60s 0′ ; αs = arcctg0,1914 =79s10′;
αs = arcctg 0,0000 = 89s 60′ =90s 0′ .
5. TRIUNGHI OARECARE
Triunghiul oarecare este triunghiul care are cele trei unghiuri diferite
ca valoare de 90s, iar suma lor este egalǎ cu 180s.
αs ; βs ; γs # 90s ;
αs + βs + γs = 180s.
RELATII DE CALCUL :
a b c
------ = --------- = --------- ;
sin s sin s sin s
b · sin αs c · sin αs
a = --------- = ---------- ;
sin βs sin γs
a · sin βs c · sin βs
b = --------- = ---------- ;
sin αs sin γs
a · sin γs b · sin γs
c = --------- = ---------- . Fig . 3
sin αs sin βs
a² = b² + c² - 2·b·c·cos αs ; b² = a² + c² - 2· a· c · cosβs ;
c² = a² + b² - 2 · a · b · cos γs .
_____ _______ ______ ______
a = √ b² +c² - 2 · b · c · cos αs .
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