Studiul deplasarilor prin metoda Mohr- Maxwell. Metoda de integrare a lui Veresceaghin.

Fie o bara asupra careia actioneaza fortele: , fiind prima stare de incarcare ( cea reala ) si in al doilea caz asupra ei actioneaza o forta egala cu unitatea ( forta versor din punctul E ) , forta unitate

( ) se pune cu punctul de aplicatie in sectiunea in care vrem sa calculam deplasarea liniara . Daca luam un element infinitezimal din bara ( dx ) , in prima stare forta axiala N(x) , iar in a doua stare o forta axiala n , care in cazul de fata este egala cu unu , adica , forta versor ( se neglijeaza greutatea proprie a barei ) dar in cazul general are o valoare oarecare . Explicitam lucrul mecanic dL₁₂ pentru elementul infinitezimal din bara ( dx ), unde dL₁₂ se datoreste fortei N (x) de la prima stare de incarcare si deplasarii produse de forta

(n ) de la a doua stare, care se poate scrie: ;

; se integreaza expresia si se obtine,

Figura 40

.

In care N(x), este forta axiala intr-0 sectiune curenta, datorita incarcarii reale a barei , iar ( n ), este forta axiala in sectiune curenta, datorita incarcarii versor ( unitare ) aplicata in punctul si pe directia deplasarii cautate. L₂₁ = 1 δ = δ ; L₁₂ = L₂₁ ; , din 1. ; [1] .[ ] = ; [N]. [m] = ; [N]. [m] = [N]. [m] .

La o bara solicitata la incovoiere din figura 42 a), la fel aplicam teorema reciprocitatii a lui Betti, prima stare de incarcare este cea reala , careia ii corespunde diagrama de momente M_iz ( x) , pentru a determina sageata in sectiunea ( 1) aflata la distanta l₅ fata de reazemul din A, a doua stare de incarcare este cea produsa de forta

Figura 41

versor (unitara) aplicata in sectiunea considerata si pe directia sagetii cautate si pentru aceasta stare de incarcare am facut diagrama de momente incovoietoare m_iz ( x) . Daca se iau elemente infinitezimale dx ,din cele doua bare incarcate astfel, cuplurile m_iz (x) din a doua stare de incarcare produc

un unghi de rotire : ; in acest caz ,; se integreaza ,

Figura 42a

;

L₁₂ = L₂₁ ; L₂₁ = 1. δ = δ ; , care este o forma particulara a teoremei Mohr-Maxwell pentru calculul deplasarilor.

; ;

;

Daca se generalizeaza , aplicand forta versor (unitara) sau momentul versor ( unitar ) in sectiune si pe directia deplasarii cautate produce eforturi : n, t, m_iz , m_t expresia deplasarii devine:

, unde n(x) , N(x) , m_t (x), m_iz (x)

sunt respectiv forta axiala , forta taietoare , momentul de torsiune si momentul incovoietor produse de sarcina versor ( unitara ) intr-o sectiune curenta. Daca exista un sistem de bare curbe , atunci expresia pentru δ va fi :

.

Cand deplasarea rezulta din calcul pozitiva , inseamna ca, ea are sensul fortei versor ( unitare ) sau a momentului versor ( unitar ) . Pentru incovoiere ;

avem produsul a doua functii M_iz (x) si m_iz (x) , cu mentiunea ca m_iz (x) pentru barele drepte , va fi tot timpul o functie liniara si de aici se va aplica metoda lui Veresceaghin de calcul a integralelor.

Aceasta metoda de calcul fiind o metoda grafo-analitica de calcul din figura 42 b , daca pentru o bara cu EI_z = constant, ramane de calculat , din desen m_iz (x) = x tg α ; in triunghiul AMN, ; ;

m_iz (x) = x .tg α ; elementul de arie dA , al diagramei M_iz (x) este , dA = M_iz (x). dx ; se integreaza si se obtine:

x_C tgα = PQ = y_C.

Iar x_C fiind centrului de greutate al primei diagrame M_iz (x). Unde (A ) este egala cu aria totala a diagramei M_iz (x) , din diagrama se observa ca , ; se inmulteste aria intreaga a diagramei M_iz (x), cu ordonata y_C pe care o are diagrama liniara

m_iz (x) in dreptul centrului de greutate al primei diagrame.

Dar in cazul nostru, cum avem diagramele pe mai multe regiuni si diagrama lui m_iz (x) este formata dintr-o linie franta atunci se calculeaza astfel: ; unde (i ) reprezinta numarul de segmente de dreapta care formeaza diagrama m_iz (x).

Figura 42 b

Problema nr.10

Pentru bara din figura 43 , sa se determine unghiurile de pe reazemele A si B , adica φ_A respectiv φ_B , prin metoda Mohr-Maxwell, stiind ca : q = 1,7 N/m ; l = 0,85 m ; E = 2,1 .10⁵ N/mm² sectiunea patrata cu gol cu: a =20 mm si b = 40 mm.

; ; ecautia de verificare.

; 2ql.l+ql² - V_B .9l = 0 ; ; ; -2ql.8l+ql² + V_A .9l = 0 ; ; ecautia de

Figura 43

verificare ; ; ecautia de verificare este indeplinita

Figura 44

Regiunea intai

; ;

Figura 45

;

; ; concava .

Metoda a doua de calcul a lui M_iz (x₁)

;

dT =- q .dx₁; ;

determinam constanta C₁ , din conditiile initiale ale lui Cauchy: , deci .

; iar ; ; integram ,

; determinam constanta D₁ , din conditiile initiale ale lui Cauchy, ; D₁ = 0 ;

Reguanea a III-a

;

Metoda a doua de calcul

q (x₃ ) = 0 ; ; dT =0 .dx₃; ;

determinam constanta C₃ , din conditiile initiale ale lui Cauchy

Figura 46

, deci ;

; iar ; ; integram ,

; determinam constanta D₃ , din conditiile initiale ale lui Cauchy, ; D₃ = 0 ;

Regiunea a II-a

Figura 47

; ;

Metoda a doua de calcul

q (x₂ ) = 0 ; ; dT =0 .dx₂; ;

determinam constanta C₂ , din conditiile initiale ale lui Cauchy: , deci ;

; iar ; ; integram ,

; determinam constanta D₂ , din conditiile initiale ale lui Cauchy, ; D₂ = ql² ; .

Pentru a calcula rotirea in A , se aplica in articultia din A un moment unitar ( moment versor ) , se calculeaza fortele de reactiune din conditiile de echilibru ale barei din figura 48a.

; ; ecautia de verificare.

; ; ; ; ; ; ecautia de verificare ; ; ecautia de verificare este indeplinita . ;; ;

Figura 48a

= ;

Se expliciteaza variatia pe regiuni :

; ; .

; .

Trebuie ca expresiile lui M_iz (x) si m_iz(x) sa fie parcurse in acelasi sens si x sa aiba aceeasi origine pentru amandoua expresiile, altfel nu are sens.

Acum pentru calculul rotirii sectiunii transversale din articulatia B , se pune un moment incovoietor concentrat unitar in B din figura 48b ,

[ moment versor ( unitate ) ] .

; ; ecautia de verificare.

; ; ; ;

Figura 48b

; ; ecautia de verificare ; ; ecautia de verificare este indeplinita .

; ; ; ; ;

Se expliciteaza variatia pe regiuni :

; ; ; ; ; ;

Figura 49

;

;

.