Administratie | Alimentatie | Arta cultura | Asistenta sociala | Astronomie |
Biologie | Chimie | Comunicare | Constructii | Cosmetica |
Desen | Diverse | Drept | Economie | Engleza |
Filozofie | Fizica | Franceza | Geografie | Germana |
Informatica | Istorie | Latina | Management | Marketing |
Matematica | Mecanica | Medicina | Pedagogie | Psihologie |
Romana | Stiinte politice | Transporturi | Turism |
Rezolventa
Vom continua aici studiul ecuatiei
(1)
totusi spre deosebire de paragraful precedent ne va interesa acum cazul in care ea admite o solutie unica.
Fie o valoare nesingulara a operatorului U. Operatorul definit din relatia
(2)
se numeste rezolventa operatorului U. Pentru vom pune
Daca se are in vedere spectrul si respectiv multimea valorilor regulate atunci in locul lui este mai comod sa se considere operatorul
(3)
care are sens pentru toate valorile regulate ale operatorului U. Operatorul va fi numit tot rezolventa. Pericolul de confuzie a celor doua notiuni este exlus deoarece va fi intotdeauna clar din context despre care dintre rezolvente este vorba; in afara de aceasta cele doua rezolvente pot fi distinse prin faptul ca sunt notate in mod diferit. Sa remarcam ca rezolventa se intalneste adesea in teoria ecuatiilor integrale , unde este numita rezolventa Freedholm pe cand in teoria in analiza functionala prin rezolventa se intelege de obicei .
Daca evident
Invers din egalitatea
obtinem
Prin urmare pentru
Relatiile (4) si (6) permit reformularea pentru a tuturor propozitiilor demonstrate pentru si reciproc
Sa studiem comportarea rezolventei pentru mici. Sa consideram seria
Daca seria converge in spatiul de operatori B (X,X) atunci conform observatiei la teorema lui Banach suma ei este adica
de unde ca urmare a relatiei (5)
Aceasta formula are loc pentru acele valori ale lui pentru care seria (7) converge daca
si diverge daca
Ajungem astfel la teorema urmatoare.
Teorema III.3.1. Rezolventa admite dezvoltarea (8) in serie dupa puterile lui a carei raza de convergenta este
Daca trecem cu ajutorul relatiilor (4) de la rezolventa la rezolventa obtinem :
Corolar. Rezolventa admite dezvoltarea in serie dupa puterile lui
Raza de convergenta a seriei (8) poate fi exprimata si in functie de localizarea multimii caracteristice in planul complex.
Vom demonstra mai intai doua propozitii ajutatoare.
Lema III.3.2. Pentru orice are loc egalitatea
Demonstratie. Din relatia (5) avem
Inmultind la dreapta aceasta egalitate cu si apoi la stanga cu obtinem
si prin urmare
ceea ce trebuie demonstrat.
Corolar. Operatorii comuta, adica
Se demonstreaza analog ca pentru toti
Lema III.3.3. Rezolventa este functie continua de parametrul in orice punct al multimii adica daca atunci
Demonstratie. Vom demonstra intai ca functia reala este continua pe . Daca U =0, atunci si afirmatia este demonstrata. Daca atunci ceea ce permite demonstrarea continuitatii functiei .
Din (9) obtinem
Prin urmare
de unde obtinem rezultatul dorit.
Sa stabilim acum continuitatea lui . Deoarece multimea este deschisa , iar exista un disc continut in intregime in . Functia continua este marginita pe acest disc, fie de exemplu
Conform relatiilor (9) si (10) ,
lema este astfel demonstrata.
Teorema III.3.4. Raza de convergenta r a seriei (8) este egala cu distanta de la punctul la multimea caracteristica
Demonstratie. In primul rand, deoarece discul converge si prin urmare , pentru acesti rezolvanta exista, discul respectiv este continut in multimea valorilor nesingulare. De aceea
Sa luam acum un element arbitrar si o functie arbitrara si sa consideram functia de variabila complexa
Sa demonstram ca este regulata pe multimea . Intradevar daca atunci in virtutea relatiei (9)
Cand membrul drept are limita (lema III.3.3).Astfel exista derivata continua
Sa dezvoltam functia in seria Taylor in vecinatatea punctului
Aceasta dezvoltare are sens in orice disc care nu contine puncte singulare ale lui si deci cu atat mai mult in discul Deoarece in virtutea relatiei (8)
In plus ca urmare a cunoscutei teoreme din teoria functiilor de variabila complexa , seriile coincid astfel incat seria (12) converge pentru
Sa luam arbitrar. Din convergenta seriei (12) pentru rezulta ca
si prin urmare , deoarece f este arbitrara
Dar un sir slab convergent este marginit
Deoarece aceasta inegalitate este indeplinita pentru orice iar spatiul X este complet, atunci
De aceea
si
Deoarece poate fi luata arbitrar de aproape de . Tinand seama si de inegalitatea , demonstrata mai sus obtinem de aici ceea ce trebuie demonstrat
Observatie Fie o valoare nesingulara a operatorului U. Ca si mai sus se poate observa dezvoltarea
care are loc in discul unde este distanta de la punctul pana la multime caracteristica sau, ca si in teorema III.3.1
Inlocuind rezolvanta prin rezolvanta obtinem urmatorul rezultat.
Corolar . Dezvoltarea
are loc pentru este raza celui mai mic disc cu centrul in origine care contine in intregime spectrul.
Numarul 1/r se numeste raza spectrala a operatorului U.
Observatie Daca U este un operator autodjunct in spatiul Hilbert atunci Impreuna cu rezultatul corolarului la teorema III.3.1 aceasta ne conduce la relatia interesanta
Corolar Spectrul al unui operator liniar continuu U intr-un spatiul Banach complex, nevid.
Demonstratie. Daca atunci luand in considerare legatura intre obtinem ca multimea a valorilor nesingulare este intreg planul complex. Deoarece putem considera avem pentru orice operatorul . Fie Sa luam .
Analog cu demonstratia teoremei III.3.4 obtinem functia
este regulata in tot planul complex
Deoarece continuu de unde obtinem ca in lema III.3.3 ca pentru Prin urmare in virtutea relatiei(6),
Asadar este marginita, de unde conform teoriei lui Liouville este identic egala cu o constanta care evident nu poate fi decat zero. Totusi contradictia obtinuta demonstreaza corolarul.
Sa remarcam ca daca am fi incercat sa definim spectrul unui operator U intr-un spatiu real intr-un mod analog celui folosit la punctul III.1. spectrul ar fi putut fi multimea vida. Aceasta este principala cauza pentru care consideram cazul complex.
Acest document nu se poate descarca
E posibil sa te intereseze alte documente despre:
|
Copyright © 2024 - Toate drepturile rezervate QReferat.com | Folositi documentele afisate ca sursa de inspiratie. Va recomandam sa nu copiati textul, ci sa compuneti propriul document pe baza informatiilor de pe site. { Home } { Contact } { Termeni si conditii } |
Documente similare:
|
ComentariiCaracterizari
|
Cauta document |