Relatii metrice in triunghiul dreptunghic

Relatii metrice in triunghiul dreptunghic

Notiuni introductive

Definitie: Un triunghi se numeste dreptunghic daca are un unghi drept (cu masura de 90⁰ ).

Laturile unghiului drept se numesc catete.

Latura opusa unghiului drept se numeste ipotenuza.

Exemplu:

Segmentul determinat de varful unghiului drept si piciorul perpendicularei din acest varf pe ipotenuza se numeste inaltimea triunghiului dreptunghic.

Piciorul perpendicularei dintr-un punct pe o dreapta se mai numeste proiectia acelui punct pe dreapta.

Multimea proiectiilor punctelor de pe o cateta pe ipotenuza formeaza proiectia acelei catete pe ipotenuza.

Exemplu:

Teorema lui Pitagora

Intr-un triunghi dreptunghic, patratul lungimii ipotenuzei este egal cu suma patratelor lungimilor catetelor.

Exemplu:

Observatie: Relatiite de mai sus folosesc pentru a afla ipotenuza atunci cand stim catetele. Daca dorim sa aflam una din catete atunci cand cunoastem ipotenuza si cealalta cateta aplicam scrierile echivalente urmatoare:

 sau

Reciproca teoremei lui Pitagora

Daca intr-un triunghi patratul lungimii unei laturi este egal cu suma patratelor lungimilor celorlalte doua laturi atunci triunghiul este dreptunghic.

Exemplu:

Teorema catetei

Intr-un triunghi dreptunghic, lungimea unei catete este medie geometrica a lungimii ipotenuzei si lungimii proiectiei acestei catete pe ipotenuza.

Exemplu:

Observatie:

• Pentru a afla lungimea ipotenuzei cand cunoastem lungimea unei catete si lungimea proiectiei acestei catete pe ipotenuza folosim scrierile echivalente urmatoare:

• Pentru a afla lungimea proiectiei unei catete pe ipotenuza cand cunoastem lungimea ipotenuzei si lungimea acelei catete folosim scrierile echivalente urmatoare:

Teorema inaltimii

Intr-un triunghi dreptunghic, lungimea inaltimii este medie geometrica a lungimilor proiectiilor  catetelor pe ipotenuza.

Exemplu:

Observatie:

• Pentru a afla lungimea proiectiei unei catete pe ipotenuza cand cunoastem lungimea inaltimii si lungimea proiectiei celeilalte catete pe ipotenuza folosim scrierile echivalente urmatoare:

Teorema

Intr-un triunghi dreptunghic,  lungimea inaltimii este egala cu raportul dintre produsul lungimilor catetelor si lungimea ipotenuzei.

Exemplu: