Inele euclidiene

Inele euclidiene

Definitia 1. Un inel integru A impreuna cu o functie se numeste inel euclidian daca are urmatoarele doua proprietati:

i)   Oricare ar fi elementele nenule a,b A astfel ca a sa divida pe b, rezulta (a) (b).

ii)      Pentru orice a,b A, b exista q,r A astfel incat a=bq+r, unde r=0 sau (r)< (b).

Ca exemplu de inele euclidiene avem inelul intregilor Z pentru care functia este valoarea absoluta a numarului intreg:

Se stie atunci ca proprietatile i) si ii) din definitia de mai sus sunt verificate. Proprietatea ii) in acest caz se numeste teorema impartirii intregi, denumire pe care o vom pastra pentru orice inel euclidian. Vom vedea in paragraful urmator ca de fapt numai aceasta proprietate este esentiala in definitia de mai sus.

Observam ca in Z este adevarata chiar o afimatie mai precisa decat conditia ii) de mai sus. Anume, pentru a,bnumere intregi exista q,r Z astfel incat a=bq+r, unde , care este numita de fapt teorema impartirii intregi.

Orice corp este inel euclidian. In adevar, daca k este un corp, consideram functia definita prin (a)=1, pentru orice ak, a. Este evident ca aceasta functie are proprietatile i) si ii).

De asemeanea, inelul al polinoamelor de o nedeterminata cu coeficienti in corpul k este Euclidian daca consideram drept functie gradul unui polinom nenul.

In adevar, daca f,g sunt polinoame nenule f|g, atunci g=ff' cu f', deci grad g=grad f+grad f' si cum f'0, rezulta ca grad ggrad f, ceea ce verifica pe i).Pentru a verifica pe ii) sa consideram f si g doua polinoame din cu g. Daca grad g=0 atunci f=g(gf) caci g este element diferit de zero in k, deci inversabil si afirmatia este dovedita.

Putem deci presupune ca grad g>0;atunci vom face o inductie dupa grad f. Daca grad f<grad g, in particular pentru grad f=0, din relatia f=g0 f rezulta ii). Presupunem acum ca ii) a fost demonstrata pentru toate polinoamele f cu grad f<n. Fie atunci f un polinom de grad n:

si sa presupunem ca g este un polinom de grad m. Putem presupune ca mn, conform celor demonstrate mai sus. Fie:

atunci polinomul

are gradul cel mai mult n-1 si din ipoteza inductiva rezulta ca exista q,r , astfel incat:

,r=0 sau grad r<grad g.

Atunci avem

si polinoamele +q si r satisfac conditia ii).

Un alt exemplu de inel euclidian este inelul intregilor lui Gauss , in care functia din definitie este norma N. In adevar, din faptul ca norma produsului a doua elemente este egala cu produsul normelor acestor elemente rezulta ca i) este satisfacuta. Verificam conditia ii). Fie =a+a'i si =b+b'i doua elemente din cu . Atunci consideram elementul din Q:

care se scrie sub forma r+si, cu r,s Q. Fie=c+c'i, unde c si c' sunt cele mai apropiate numere intregi de r, respectiv s si =r-c+(s-c')i. Avem atunci relatia =+ si deoarece si (fiindca evident ), avem =. Avem totodata N(

=N()=N()N()=((r-c)+(s-c'))N()N(), caci si De aici rezulta ca este satidfacuta si conditia ii).

In mod analog putem sa aratam ca inelul este inel euclidian. Acest inel este cel mai mic subinel al corpului numerelor complexe C care contine elementul . Se vede imediat ca elementele lui sunt toate numerele complexe de forma

a+b. Corpul de fractii al acestui inel este corpul Q, care este constituit din toate numerele complexe de forma r+s, cu r,sQ. Definim norma unui numar din acest corp punand pentru =r+s, =(r+s)(r+s=

=. Se verifica usor relatia:

pentru orice .

Evident ,restictia lui N la este o functie de la acest inel in N. Din relatia (1) de mai sus rezulta ca proprietatea i) din definitia inelului euclidian este satisfacuta. Pentru a verifica cea de-a doua proprietate, procedam ca si in cazul inelului intregilor lui Gauss. Fiesi doua elemente din;atunci elementul , deci se scrie sub forma= r+s. Fie =c+c', unde c si c' sunt cele mai apropiate numere intregi de r, respective s si =r-c+(s-c'). Avem atunci relatia =+ si , deoarece si apartin lui , rezulta ca:

=

Dar N()=N()=N()N=caci . De aici rezulta ca este satisfacuta conditia ii).

Propozitia Intr-un inel euclidian orice doua elemente au un cel mai mare divizor comun si un cel mai mic multiplu comun.

Demonstratie.Pentru a demonstra aceasta propozitie vom utiluza rationamentul care se face de obicei pentru a arata ca pentru Z este adevarata afirmatia, adica vom aplica succesiv teorema impartirii intregi, ceea ce se numeste algoritmul lui Euclid. Fie a, b doua elemente din inelul euclidian A. Daca unul dintre aceste elemente este nul, atunci se observa ca celalalt este un cel mai mare divizor comun al lor. Deci putem presupune a,b. Aplicam teorema impartirii intregi elementelor a si b si obtinem a=bq+r, unde r=0 sau (r)< (b), apoi daca r, aceeasi teorema o aplicam elementelor b si r, b= rq+, unde =0 sau

()< ( r); daca obtinem analog r= q+r, cu r=0 sau (r)<() si se continua mereu daca restul obtinut este diferit de zero. Deoarece sirul ( r)>()> este un sir descrescator de numere naturale, dupa un numar finit de pasi obtinem neaparat un rest nul si atunci obtinem niste relatii de forma:

unde r, i=1, . ,n. Sa aratam ca reste cel mai mare divizor comun al elementelor a si b.

Din relatiie (2) se vede ca rdivide pe r, apoi ca r divide pe r, retc. Deci r divide pe a si b. Fie acum c un divizor comun al lui a si b. Atunci din relatiile (2) rezulta ca c divide pe , apoi c divide pe etc. Adica c divide pe r. A doua afirmatie a propozitiei rezulta din cea precedenta si din propozitia 1.9. Din propozitia precedenta si din propozitia 1.15 rezulta:

Corolarul3. Intr-un inel Euclidian orice element ireductibil este prim.

De aici deducem ca inelul nu este inel Euclidian caci in 1 am aratat ca 3 este ireductibil, insa nu este prim in acest inel.

Daca A este un inel integru care nu este corp, vom arata in 3 ca A[X] nu este euclidian.Totusi o afirmatie analoaga proprietatii ii) din definitia 1. este adevarata si in acest caz.

Propozitia 4 Fie A un inel si A[X] inelul polinoamelor de o nedeterminata cu coeficientii in A. Fie

doua polinoame din A[X]de grad m, respectiv n, deci bsi k =max(m-n+1,0). Atunci exista polinoame q si r din A[X] astfel ca

cu grad r<n. In plus, daca b este nondivizor al lui zero, atunci q si r sunt unic determinate.

Demonstratie. Pentru m<n luam q=0, k=0 si r=0. Pentru m=n=k=0, rezulta k=1 si putem lua q=a, r=0; pentru mn-1, k=m-n+1 si vom demonstra prima afirmatie a propozitiei prin inductie dupa m. Pentru m=n-1, k=0 si putem lua q=0 si r=f. Fie mn. Atunci polinomul f=are gradul cel mai mult m-1, deci exista, din ipoteza inductiva, polinoamele qsi r, astfel ca

unde grad r<n.

Atunci pentru f este suficient sa consideram si r= r.

Sa presupunem acum ca . Atunci rezulta (q'-q)g=r'-r. Daca q'=q, atunci evident si r'=r. Daca q', atunci din faptul ca beste nondivizor al lui zero rezulta ca gradul polinomului din membrul stang esten, iar cel din membrul drept <n, absurd.

Mentionam ca uneori notiunea de inel euclidian este data intr-un sens putin diferit. Anume, un inel integru A impreuna cu o functie se numeste euclidian daca are urmatoarele proprietati:

(a)=0 daca si numai daca a=0;

Pentru a,b A, (ab)= (a) (b);

Pentru a,bA nenule exista q si r A, astfel ca

a=bq+r, cu (r)< (b)

Observam ca din 2) rezulta ca satisface prima proprietate din definitia 1 si deci un inel euclidian in sensul definitiei de mai sus este euclidian si in sensul definitiei 1. De asemenea, toate exemplele de inele euclidiene care le-am dat satisfac conditiile 1),2) si 3) de mai sus. In adevar, pentru Z si valeoarea absoluta, norma, respectiv valoarea absoluta a normei, satisfac conditiile 1),2) si 3) dupa cum am verificat. In cazul unui inel de polinoame cu coeficienti intr-un corp, se considera functia (f)=, unde a >1 este un numar intreg si se verifica usor ca are proprietatile 1),2),3).

La sfarsitul paragrafului urmator vom arata ca in definitia 1 putem lasa la o parte conditia i).

Mai mentionam, de asemenea, ca in proprietatile demonstrate aici de spre inelele euclidiene si in teorema 3.2 nu s-au folosit alte proprietati ale lui N decat faptul ca ordinea obisnuita N este o multime bineordonata, incat in definitia 1 putem sa inlocuim pe N cu o multime bineordonata arbitrara.