Administratie | Alimentatie | Arta cultura | Asistenta sociala | Astronomie |
Biologie | Chimie | Comunicare | Constructii | Cosmetica |
Desen | Diverse | Drept | Economie | Engleza |
Filozofie | Fizica | Franceza | Geografie | Germana |
Informatica | Istorie | Latina | Management | Marketing |
Matematica | Mecanica | Medicina | Pedagogie | Psihologie |
Romana | Stiinte politice | Transporturi | Turism |
INTEGRALA NEDEFINITA
1. Primitive. Proprietati.
Pe parcursul cursului, I este un interval;
Definitia
1 Fie f: I → R. Se spune ca f admite primitive pe I daca F : I →R astfel incat
a) F este derivabila pe I;
b) F'(x) =f(x), x I.
F se numeste primitiva lui f. ( I poate fi si o reuniune finita disjuncta de intervale
Teorema 1.1 Fie f : I → R. Daca sunt doua primitive ale functiei f, atunci
exista o constanta c
R astfel incat
x
I.
Demonstratie : Daca sunt primitive atunci
sunt derivabile
x ε I
, x ε I.
, c= constanta
OBS 1. Fiind
data o primitiva a unei functii atunci orice primitiva F a lui
f are forma F =
+ c , c= constanta
f admite o infinitate
de primitive.
OBS 2. Teorema nu mai ramane
adevarata daca I este o reuniune disjuncta de intervale
Expl: f: R-, f(x) = x²
F = , G=
F, G sunt primitive ale lui f dar F-G
nu e constanta . Contradictie cu T 1.1
OBS 3. Orice functie care admite primitive are Proprietatea lui Darboux.
Se stie ca derivata oricarei functii are P. lui Darboux , rezulta ca f are P lui Darboux. F' =f.
OBS 4. Daca I este interval si
f(I) nu este interval atunci f nu admite primitive.
Daca presupunem ca f admite primitive atunci din OBS 3 rezulta ca f are P lui Darboux, rezulta f(I) este interval ceea ce este o contradictie.
OBS 5. Orice functie continua definita pe un interval admite primitive.
Definitia
2 Fie f: I →R o functie care
admite primitive. Multimea tuturor primitivelor lui f se numeste integrala nedefinita a functiei f si se noteaza prin
simbolul dx. Operatia de calculare a primitivelor unei
functii(care admite primitive ) se numeste integrare
Simbolul a fost propus pentru prima data de Leibniz, in
1675.
Fie F(I)= Pe aceasta
multime se introduc operatiile :
(f+g)(x) =f(x)+ g(x) ,
(αf)(x)=α.f(x),α constanta
C==
dx =
.
Teorema 1.2 Daca
f,g:I→ R sunt functii care admit primitive si α R, α ≠0,
atunci functiile f+g, αf admit de asemenea primitive si au loc
relatiile:∫(f+g) =∫f +∫g, ∫αf=α∫f,
α≠0, ∫f =∫f +C
2. PRIMITIVELE FUNCTIILOR CONTINUE SIMPLE
1. Ex
Ex
Ex
Ex
6.
7.
9.
10.
. Ex
. Ex
. Ex
. Ex
. Ex
. 17.
. Ex
. Ex
. Ex
. Ex
. Ex
. Ex
I. Sa se calculeze primitivele urmatoarelor functii.
. ∫(3x 2. ∫ x(x-1)(x-2)dx
. ∫ 4. ∫
. 6.
. ∫ x 8.
. ∫( e
10. ∫ (x
. 12.
. ∫ 14. ∫
. ∫ 16*. ∫
. 18*.
. 20*.
21*.
3. PRIMITIVELE FUNCTIILOR CONTINUE COMPUSE
1. Ex
2. Ex
. Ex
. Ex
5. Ex
6. Ex
7. Ex
8. Ex
9. Ex
10. Ex
11. Ex
12. Ex
13. Ex
14. Ex
15. Ex
16. Ex
17. Ex
18. Ex
Ex
. Ex
. Ex
.
.
.
II.Sa se calculeze primitivele urmatoarelor functii compuse.
2.
3.
4.
5. 6.
7.
8.
9. 10.
11.
12.
. 14.
III. Sa se arate ca urmatoarele functii nu admit primitive.
1. f: R → R, f(x) = 2. f: R → R , f(x) = [x] ( partea intreaga din x)
3. f: R → R, f(x) = 4. f: R → R , f(x) = [X] +X
5. . f: R → R f(x) = 6. f: R → R , f(x) =
IV. Sa se determine a,b numere reale astfel incat F sa fie primitiva unei functii f.
1*. F(x) = 2*.
F(x) =
3*. F(x) = 4*. F(x) =
5*. F(x) = 6*. F(x) =
V. Sa se verifice daca urmatoarele functii admit primitive si in caz afirmativ sa se determine o primitiva.
1. f: R→ R, f(x) = 2.
f: R→ R, f (x) =
3*.f:[0,∞)→R,
f(x) = 4*. f:[-2,∞)→R, f(x) =
DERIVATE
Nr |
FUNCTIA |
DERIVATA |
MULTIMEA PE CARE FUNCTIA ESTE DERIVABILA |
FUNCTIA COMPUSA |
Derivata |
|
C |
|
R |
|
|
|
x |
|
R |
u |
u' |
|
xn |
nxn-1 |
R |
un |
n.un-1.u' |
|
xa |
axa-1 |
|
ua |
aua-1.u' |
|
|
- |
R* |
|
- |
|
|
- |
R* |
|
-n/un+1·u' |
|
|
|
R*+ |
|
|
|
|
|
R*+,n par R*,n impar |
|
|
|
sin x |
cosx |
R |
sin u |
u'cos u |
|
cos x |
-sinx |
R |
cos u |
-u'sin u |
|
tg x |
|
R |
tg u |
|
|
ctg x |
- |
R |
ctg u |
- |
|
arcsin x |
|
|
arcsin u |
|
|
arccos x |
- |
|
arccos u |
- |
|
arctg x |
|
R |
arctg u |
|
|
arcctg x |
- |
R |
arcctg u |
- |
|
ax |
a |
R |
au |
au.lna.u' |
|
ex |
e |
R |
eu |
eu.u' |
|
lnx |
|
R*+ |
lnu |
|
|
log |
|
R*+ |
logau |
|
|
uv |
(uv)' = v. uv-1.u' + uv.v'.lnu |
LIMITE DE FUNCTII
P(X)=a0xn
+ a1xn-1 + . . . . . ..+an ,a00 Q(X)=b0xm
+ b1xm-1 + . . . . . ..+bn ,b0
0
= |
|
|
|
|
|
n<m |
|
|||
|
|
|
|
|
n=m |
|
||||
|
x |
|
|
|
n>m, |
|
||||
|
n>m, |
|
||||||||
|
x |
|
|
|
n>m, |
n-m par |
||||
|
n>m, |
n-m impar |
|
x> |
|
X< |
|
|
|
daca |
q |
|
|
|
daca |
q=1 |
|
|
|
daca |
q>1 |
|
|
nu exista, |
daca |
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Acest document nu se poate descarca
E posibil sa te intereseze alte documente despre:
|
Copyright © 2025 - Toate drepturile rezervate QReferat.com | Folositi documentele afisate ca sursa de inspiratie. Va recomandam sa nu copiati textul, ci sa compuneti propriul document pe baza informatiilor de pe site. { Home } { Contact } { Termeni si conditii } |
Documente similare:
|
ComentariiCaracterizari
|
Cauta document |