Rezolvarea ecuatiilor simbolice

Rezolvarea ecuatiilor simbolice

Ecuatii algebrice

Rezolvarea ecuatiilor algebrice simple comporta, in MATLAB, un volum de lucru redus, dar necesita un efort de calcul relativ mare pentru sistemul de calcul, comparativ cu alte operatii si calcule matematice. Functia MATLAB folosita pentru rezolvarea directa a ecuatiilor algebrice, este solve(), in care parametrii de intrare sunt ecuatiile simbolice. Daca ecuatia are forma f(x)=0, atunci functia MATLAB se apeleaza in forma simpla: solve(f(x)), in timp ce, pentru ecuatii de forma f(x)=g(x), functia MATLAB se apeleaza cu parametrii de intrare marcati ca siruri de caractere: solve('f(x)=g(x)'). In cazul sistemelor de ecuatii, se respecta ultima regula de scriere a parametrilor de intrare, ecuatiile fiind considerate siruri de caractere separate prin caracterul virgula: solve('f₁(x)=g₁(x)', 'f₂(x)=g₂(x)', 'f₃(x)=g₃(x)', . ,'f_n(x)=g_n(x)'). In continuare se prezinta exemple ilustrative:

» syms a x

» solve(x^4-7*x^3+19*x^2-23*x+10)

ans =

[ 1]

[ 2]

[ 2+i]

[ 2-i]

» solve('x^2=6*x-5')

ans =

[ 1]

[ 5]

Rezolvarea sistemului de ecuatii este realizabila cu urmatoarea secventa:

»syms x y

» [x,y]=solve('x=2^(y-2)-2','2*log(x+7)=y*log(3)')

x =

1/4*exp(2.7726)-2

y =

2.7726/log(2)

In scrierea solutiei acestui sistem de ecuatii, MATLAB foloseste transformarea ln 16 =2,7726. Astfel, solutia sistemului se mai poate scrie  sub forma consacrata .

Rezolvarea ecuatiilor parametrice sau a sistemelor cu numar mare de ecuatii, MATLAB afiseaza un "camp" "S" al solutiilor. "Extragerea" solutiilor din acest "camp" se realizeaza folosind o instructiune simpla:S.(nume_solutie). Pentru ilustrarea acestor situatii, se studiaza rezolvarea sistemelor:; . Secventa urmatoare rezolva primul sistem:

»syms x y a

» S=solve('x^2+a*x+(a+1)*y=-a','y^2+a*y+(a+1)*x=-a')

S =

x: [4x1 sym]

y: [4x1 sym]

"Campul" solutiilor sistemului, S, este o matrice simbolica formata din cele doua linii si o coloana a solutiilor pentru x, respectiv pentru y. Afisarea "desfasurata" a solutiilor, se poate realiza cu instructiunea, data in linia de comanda:

» Solutiile=[S.x,S.y]

Solutiile =

[ 1/2-1/2*(-3-8*a)^(1/2), 1/2+1/2*(-3-8*a)^(1/2)]

[ 1/2+1/2*(-3-8*a)^(1/2), 1/2-1/2*(-3-8*a)^(1/2)]

[-a-1/2+1/2*(4*a^2+1)^(1/2),-a-1/2+1/2*(4*a^2+1)^(1/2)]

[ -a-1/2-1/2*(4*a^2+1)^(1/2), -a-1/2-1/2*(4*a^2+1)^(1/2)]

Pentru rezolvarea celui de-al doilea sistem se foloseste secventa:

» syms x y z u

»S=solve('(x+y)^2=3*z-1','(y+z)^2=3*u-1','(z+u)^2=3*x- 1','(u+x)^2=3*y-1')

S =

u: [2x1 sym]

x: [2x1 sym]

y: [2x1 sym]

z: [2x1 sym]

iar afisarea detaliata a solutiilor este data cu comanda:

» solutii=[S.x,S.y,S.z,S.u]

solutii =

[3/8+1/8*i*7^(1/2), 3/8+1/8*i*7^(1/2), 3/8+1/8*i*7^(1/2), 3/8+1/8*i*7^(1/2)]

[3/8- 1/8*i*7^(1/2), 3/8- 1/8*i*7^(1/2), 3/8- 1/8*i*7^(1/2), 3/8- 1/8*i*7^(1/2)]

Rezolvarea ecuatiilor diferentiale

Rezolvarea ecuatiilor diferentiale ordinare este posibila in MATLAB, folosind functia dedicata dsolve(), in care, parametrii de intrare sunt ecuatia diferentiala, scrisa simbolic (folosind conventia de scriere a sirurilor de caractere), respectiv conditiile la limita, daca acestea exista. Parametrii de intrare se separa prin caracterul virgula. Diferentiala de ordinul n se specifica in ecuatie prin simbolul Dny, in care, D reprezinta simbolizarea diferentialei, n reprezinta ordinul acesteia, iar y este integrala functiei, sau variabila dependenta (de exemplu, D2y reprezinta diferentiala de ordinul doi a functiei y). Variabila independenta implicita, recunoscuta de MATLAB, este t. Aceasta variabila poate fi schimbata, prin adaugarea, ca parametru de intrare, in sirul parametrilor functiei MATLAB dsolve('ecuatie','cond_la_lim_1','con_la_lim_2','variabila_indep_noua'). De exemplu, rezolvarea ecuatiilor diferentiale:, respectiv

, este similara, cu observatia ca, in cel de-al doilea caz, este necesara marcarea ca variabila independenta, a variabilei x. Acest lucru se va observa, in linia de comanda, in sirul parametrilor de intrare. Secventa MATLAB, pentru rezolvarea acestor ecuatii diferentiale, este:

» syms x y t

» y1=dsolve('Dy=-y*(0.9/(1+2*t))','y(0)=1')

y1 =

1/(1+2*t)^(9/20)

respectiv, pentru a doua ecuatie:

» y2=dsolve('Dy=-y*(0.9/(1+2*x))','y(0)=1','x')

y2 =

1/(1+2*x)^(9/20)

Rezolvarea ecuatiei a doua, fara a specifica faptul ca x este variabila independenta, are ca rezultat:

» y3=dsolve('Dy=-y*(0.9/(1+2*x))','y(0)=1')

y3 =

exp(-9/10/(1+2*x)*t)

Folosind conventia de scriere comuna, solutiile sunt:; respectiv .

Exemple de utilizare a operatorilor

si functiilor MATLAB de baza

1).-Calculul puterii unui numar:

Sa se calculeze:

In MATLAB, se foloseste algoritmul:

E1=3^5-4^(1/4)+8^(-3)

ceea ce are ca rezultat:

E1 =

241.5877

2).-Calculul expresiilor cu numere irationale

Sa se calculeze expresiile:

In MATLAB, se foloseste algoritmul:

» E2=15^(1/3) [Enter]

E2 =

2.4662

» E3=sqrt(43.56) [Enter]

E3 =

6.6000

» E4=((18-45*(2/88.9))^(1/3)+sqrt(23))^2-99^(1/8) [Enter]

E4 =

52.4891

3).- Calculul expresiilor exponentiale si logaritmice

Sa se calculeze :

In MATLAB, aceste expresii se calculeaza astfel:

» E5=exp(5-sqrt(3))

E5 =

26.2574

» E6=log(9-3/2)

E6 =

2.0149

» E7=log10(2002^(1/3)-13*sqrt(1/5))

E7 =

0.8318

» E8=(log(90-3^(1/4)))/(log(4))

E8 =

3.2353

Pentru calculul expresiei , se procedeaza astfel :

-se introduce, de la tastatura:

»x=[1,2;3,4];

-se determina valoarea expresiei, folosind functia exp

»E9=exp(x)

E9 =

2.7183 7.3891

20.0855 54.5982

O alta posibilitate de a calcula aceasta expresie este prin aplicarea directa a functiei MATLAB exp(), matricei :

»E9=exp([1,2;3,4])

De observat ca rezultatul este o matrice cu doua linii si doua coloane, exact ca si exponentul.

Expresia E₁₀ se calculeaza astfel:

»E10=(((1+2+3)/((12-3^5)/11)-(14+(34)^(1/5) .

-log(23))^(1/3))*8^((log(125))/(log(5))))-sqrt(55)*(12-4^3)/(8)

E10 =

-1.2985e+003

OBSERVATII:

Pentru calculul expresiilor irationale (radicali cu indice diferit de 2: sau ) se foloseste algoritmul pentru calculul puterilor cu exponent rational : sau ;

Pentru calculul exponentialei ( ) nu se foloseste operatorul putere ("^");

Pentru calculul expresiilor logaritmice cu logaritmi in alta baza decat baza naturala ( ln x) sau 10 ( lg x ) se foloseste formula de schimbare a bazei logaritmului :

MATLAB dispune de o serie de combinatii, implicite, de taste pentru crearea comenzilor rapide (conform tabelului):

APLICATII

Sa se introduca de la tastatura, urmatoarele matrici :

A=   B= C= D=

Sa se scrie numarul :

in formatele: "scurt", "lung", "cu virgula mobila - scurt = eng. scurt", "cu virgula mobila - lung =eng. lung", "rational", "cu doua zecimale exacte".

Fiind data matricea :

sa se determine (in MATLAB) matricea formata astfel:

A1-din elementele de pe pozitiile: (1,5), (2,3), (2,5), (3,1), (3,3), (3,5), aranjate in toate variantele posibile(2 linii / 3 coloane; 3 linii / 2 coloane; 1 linie / 6 coloane; 6 linii / 1 coloana);

A2-din elementele de pe liniile 1 si 3 coloanele 1, 3, 5;

A3-din elementele de pe "diagonalele principale" cu 3 elemente;

A4-din elementele de pe "diagonalele secundare" cu 2 elemente;

Se da matricea (scrisa conform conventiilor MATLAB):

M=[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10;-1,2,3,-4,5,-6,7,-8,9,-10;0,2,0,4,0,6,0,8,0,10;

se cere sa se determine (in MATLAB) matricile formate astfel:

• Elementele liniilor 1, 2, 4 si coloanelor 3, 5, 10;
• Elementele tuturor liniilor matricei M si coloanele 1, 2, 3, 6, 8, 9,10;
• Elementele liniilor 1, 2, 3, 5, 6 si coloanelor 1, 3, 5, 7, 9;
• Elementele liniilor 1, 3, 6 si coloanelor 10, 3, 2, 1 (in aceasta ordine)
• Elementele liniilor 6, 5, 4, 3, 2, 1 si coloanele 10, 9, 8, . , 2, 1 (in aceasta ordine)

Sa se calculeze valoarea expresiei E:

, pentru x=.