Notiunea de sistem. Modele intrare-iesire pentru sisteme dinamice liniare

Obiectiv: Explicarea notiunilor de sistem dinamic liniar si model matematic. Exemplificarea procedurii de obtinere a unui model matematic pe un studiu de caz.

Breviar teoretic

1.1 Notiunea de sistem dinamic liniar

Un sistem reprezinta o unitate relativ delimitata fata de mediu. Un sistem dinamic este un sistem care evolueaza in timp.

Fenomenele care au loc in sisteme sunt determinate de actiunea marimilor cauza (marimilor de intrare) si pot fi observate prin marimi efect (marimi de iesire).

Marimile de intrare pot fi grupate in doua categorii:

comenzi - notate u(t) - care actioneaza in mod voit asupra sistemului; valorile comenzilor sunt cunoscute de catre proiectant.

perturbatii - notate w(t) - care actioneaza in mod nedorit asupra sistemului; de multe ori perturbatiile au un caracter aleator.

Observatie prin t s-a notat variabila independenta timp

Figura 1

Un sistem dinamic este liniar daca indeplineste proprietatile:

sau

Aceste proprietati evidentiaza principiul superpozitiei: superpozitia cauzelor determina suprapunerea efectelor.

1.2 Modele intrare - iesire caracteristice sistemelor dinamice liniare

Modelul matematic al unui sistem dinamic reprezinta setul de ecuatii diferentiale sau integro-diferentiale care descrie comportarea sistemului sub actiunea marimilor de intrare (cauze).

In formalismul intrare-iesire este evidentiata dependenta marimilor de iesire (efecte) de marimile de intrare (cauze) considerate.

Modelul unui sistem dinamic se poate determina pe baza relatiilor fizico-chimice ce caracterizeaza procesul respectiv.

In cele ce urmeaza se vor urmari in special efectele produse sub actiunea marimilor de comanda (u(t)). Astfel, modelul matematic intrare-iesire al unui sistem dinamic liniar este o functie:

Observatie. Un sistem dinamic prezinta fenomenul de inertie: marimea de iesire la un moment dat nu depinde doar de marimea de intrare la acel moment, ci si de evenimentele anterioare, adica de traiectoria anterioara a comenzii. Se pune ca sistemele dinamice functioneaza ca sisteme cu memorie (de exemplu, nu depinde doar de ci si de valorile u anterior aplicate)

Conventie: t=0 este considerat momentul cand incepe observarea comportarii sistemului.

Figura 2

Un sistem dinamic liniar continuu si invariant in timp poate fi descris printr-un model matematic de tip ecuatie diferentiala liniara de ordinul n, cu coeficienti constanti si reali:

,    (1)

unde:

u(t) reprezinta marimea de comanda aplicata,

y(t) desemneaza marimea de iesire,

iar t reprezinta variabila independenta timp.

Prin ipoteza se considera ca si . In consecinta, pe baza principiului cauzalitatii, se obtine ca si (vezi figura 2).

Daca se cunosc conditiile initiale si , precum si traiectoria marimii de intrare aplicata , se poate determina, rezolvand ecuatia diferentiala (1), evolutia in timp a iesirii sistemului .

In ipoteza conditiilor initiale nule

si ,

se poate utiliza si modelul de tip functie de transfer. Acesta rezulta aplicand ecuatiei diferentiale (1) transformata Laplace.

Folosind notatiile

si ,

se obtine:

.   (2)

Relatia (2) poate fi rescrisa astfel:

.    (3)

Rezulta ca:

,  (4)

unde

(5)

se numeste functie de transfer si reprezinta un model al sistemului dinamic liniar.

Relatia (4) descrie transferul cauzal intrare-iesire ce are loc prin sistemul caracterizat de functia de transfer .

Se observa ca functia de transfer este egala cu raportul a doua polinoame de variabila complexa s, cu coeficienti reali, , .

Pentru sisteme dinamice liniare strict realiste (care exista in realitate), . Daca aceasta conditie nu este indeplinita, atunci nu se poate delimita in realitate un sistem descris prin modelul matematic indicat.

Radacinile polinomului P(s) se numesc polii sistemului. Radacinile lui Q(s) se numesc zerourile sistemului.

Observatie Ipoteza conditiilor initiale nule poate fi in multe situatii satisfacuta, eventual utilizand o schimbare de variabila adecvata.

Cunoscand traiectoria marimii de comanda si modelul sistemului, de tip functie de transfer , din relatia (4) se poate determina evolutia in timp a iesirii sistemului , astfel: se calculeaza transformata Laplace , se obtine , se descompune in fractii simple si apoi se determina .

2. Studiu de caz

Se considera un vas cilindric, cu aria bazei A si inaltimea H suficient de mare Rezervorul este alimentat cu lichid de densitate , debitul volumetric de alimentare fiind notat . Pentru aceasta se utilizeaza o pompa electrica actionata cu tensiunea de comanda si caracterizata printr-un factor de transmisie k. Rezervorul este prevazut in partea inferioara cu un robinet, care permite curgerea lichidului din rezervor, debitul volumetric de iesire fiind notat . Rezistenta hidraulica a robinetului este R. Initial rezervorul nu contine lichid. Se presupune ca rezervorul nu isi modifica forma si ca lichidul nu pe poate scurge decat prin robinet. Presiunea atmosferica se considera .

Se cere

sa se determine modelul sistemului prezentat anterior;

sa se precizeze modul in care variaza inaltimea coloanei de lichid din rezervor, notata h, daca la bornele pompei se aplica o tensiune constanta de amplitudine 1 (V);

sa se determine influentele parametrilor constructivi A,R asupra modului de comportare a sistemului - cazul tensiune de comanda la bornele pompei constanta;

sa se indice traiectoria ce trebuie considerata pentru tensiunea de comanda de la bornele pompei, pentru a asigura atingerea inaltimii coloanei de lichid in rezervor si mentinerea constanta a acestei valori.

Figura 3 Sistem cu un rezervor

Rezolvare:

Pentru determinarea modelului ce caracterizeaza sistemul descris se vor scrie legile fizice corespunzatoare.

Se va neglija actiunea perturbatiilor asupra acestui sistem (de exemplu: distrugerea/spargerea rezervorului, defectarea pompei, existenta unei surse suplimentare de alimentare cu lichid, etc.).

Sistemul poate fi separat in trei subsisteme:

o   Subsistemul pompa

Marime intrare (cauza):

Marime de iesire (efect):

Model intrare-iesire:   (6)

Observatie

Modelul este aproximativ, el descriind un transfer instantaneu intrare-iesire prin subsistemul pompa. Avand in vedere ca subsistemul pompa este mult mai rapid decat subsistemul rezervor, aceasta aproximatie nu va afecta semnificativ rezultatele.

o   Subsistemul rezervor

Marime intrare (cauza):

Marime de iesire (efect):

Model intrare-iesire

   (7)

Sau

  (8)

o   Subsistemul robinet

Marime intrare (cauza):

Marime de iesire (efect):

Model intrare-iesire

,  (9)

unde reprezinta presiunea hidrostatica ce actioneaza pe suprafata de scurgere din stanga a robinetului.

Observatie

Sistemul robinet este un sistem neliniar. Modelul (9) este un model aproximativ, folosit in acest context pentru a putea continua analiza in sensul teoriei specifice sistemelor dinamice liniare.

Se observa ca pentru sistemul prezentat in figura 3 se pot considera:

Marime intrare (cauza):

Marime de iesire (efect):

Model intrare-iesire: rezulta prelucrand adecvat relatiile (6), (8), (9):

, ,. (10)

Rezulta ca:

, ,. (11)

Relatia (11) se poate rescrie folosind notatiile consacrate pentru marimea de comanda si de iesire si respectiv :

, .    (12)

Modelul este o ecuatie diferentiala liniara de ordinul I. Conditia initiala este:

.   (13)

Aplicand transformata Laplace ecuatiei diferentiale (12), in ipoteza conditiilor initiale nule, rezulta ca:

,    (14)

unde

    (15)

reprezinta modelul intrare-iesire de tip functie de transfer asociat sistemului cu un rezervor.

2) Trebuie calculat raspunsul indicial al sistemului. In cele ce urmeaza se va calcula acest raspuns pe baza ecuatiei diferentiale si apoi pe baza relatiei (14).

Varianta 1- rezolvarea ecuatiei diferentiale

, .

Se ataseaza ecuatia diferentiala omogena

care admite solutia

.

Se poate alege ca solutie particulara a ecuatiei neomeogene , , cu

Se obtine de forma

.

Constanta C se determina astfel:

,   ceea ce inseamna ca .

Raspunsul sistemului la o intrare de tip treapta unitara rezulta de forma:

, pentru .

cu si .

Graficul acestei iesiri este ilustrat in fig. 4. Se observa ca . Se pot delimita doua regimuri de functionare a sistemului, sub actiunea unei marimi de comanda de tip treapta unitara:

regimul tranzitoriu, in care componenta intervine cu valori nenule; deoarece , se observa ca .

regimul permanent (stationar), in care raspunsul sistemului este aproximativ constant, de aceeasi forma cu intrarea aplicata; pe durata regimului permanent .

Varianta 2 - folosind modelul de tip functie de transfer:

Functia de transfer

admite un pol real negativ

.

Se observa ca polul este de fapt solutia ecuatiei caracteristice.

, cu

,

.

Se obtine

, ,

, .

Fig. 4 Raspunsul indicial al sistemului

3) Se stie ca , , unde

,

iar lungimea regimului tranzitoriu este dependenta de valoarea (cu cat este mai mare, cu atat descreste mai rapid spre valoarea 0 si regimul tranzitoriu este mai scurt).

Tinand cont de aceste observatii, rezulta ca:

Aria A nu influenteaza valoarea , dar afecteaza durata regimului tranzitoriu; daca valoarea A este marita, atunci scade si regimul tranzitoriu rezulta de durata mai mare.

Rezistenta hidraulica R are influente atat asupra valorii de regim stationar , cat si asupra duratei regimului tranzitoriu; daca valoarea lui R creste, atunci creste; se mai obtine, de asemenea, ca scade, deci durata regimului tranzitoriu creste.

4) Deoarece sistemul admite un pol cu parte reala negativa, exista un regim permanent in care raspunsul copie forma marimii de intrare aplicata. Rezulta ca este avantajos in acest caz sa se aplice o marime de intrare constanta.

Pentru a determina valoarea se tine cont de faptul ca in regim permanent , deci din ecuatia diferentiala (12) rezulta:

.

Acest rezultat poate fi obtinut si tinand cont de liniaritatea sistemului. Daca la intrarea , se obtine , la intrarea se obtine .

Probleme propuse

Problema 1

Se considera circuitul electric - conexiune RC serie. Marimea de intrare este considerata tensiunea la bornele conexiunii serie RC, iar marimea de iesire tensiunea la bornele condensatorului. Condensatorul este initial descarcat.

Se cere sa se determine:

a) modelul matematic intrare - iesire de tip ecuatie diferentiala si de tip functie de transfer;

b) polii si zerourile sistemului

c) raspunsul sistemului la o intrare constanta, de amplitudine 1(V);

Comparati modelul obtinut la problema 1 cu modelul matematic corespunzator sistemului analizat anterior si determinati ce relatii trebuie sa existe intre parametrii constructivi pentru ca cele doua sisteme sa fie caracterizate prin acelasi model matematic.

Problema 2

Se considera circuitul electric - conexiune RLC serie. Marimea de intrare este considerata tensiunea la bornele conexiunii serie RLC, iar marimea de iesire tensiunea la bornele condensatorului. Condensatorul este initial descarcat.

Se cere sa se determine:

a) modelul matematic intrare - iesire de tip ecuatie diferentiala si de tip functie de transfer;

b) polii si zerourile sistemului

c) raspunsul sistemului la o intrare constanta, de amplitudine 1(V);