Indicatori ai formei distributiei

INDICATORI AI FORMEI DISTRIBUTIEI

In cazul variabilelor continue ce pot fi sistematizate in distributii de frecvente cu ajutorul intervalelor de grupare pe langa determinarea indicatorilor tendintei centrale si variabilitatii se pune problema sa studiem si modul in care valorile individuale sunt deplasate si centralizate comparativ cu tendinta centrala.

Forma unei distributii de frecvente se analizeaza comparativ cu distributia ideala, normala prin indicatori asimetrici (oblicitatii) si indicatori ai boltirii (excesului).

1. Indicatori ai asimetriei (oblicitatii)

Asimetria se observa prin reprezentarea grafica prin histograma sau poligonul frecventelor, dar poate sa fie masurata prin indicatori specifici.

Distributiile de frecvente pot fi:

perfect simetrice: (fig. 1a);

cu asimetrie pozitiva: (fig. 1b);

cu asimetrie negativa: (fig. 1c)

Fig.1 fig.2

Fig.3

Asimetria in valoarea absoluta se poate masura cu indicatorii:

Dar o distributie este caracterizata si prin variabilitatea datelor. O serie care are variabilitatea mai mica va fi mai pronuntata oblica, iar intr-o serie mai imprastiata oblicitatea se va atenua. Pentru aceasta vom calcula coeficientul de asimetrie Pearson:

coeficientul care ia valori pozitive in cazul curbelor alungite spre dreapta (asimetrie pozitiva) si valori negative in cazul curbelor alungite spre stanga (asimetrie negativa).

Coeficientul de asimetrie este nul pentru o distributie simetrica. El mai poate fi exprimat: .

Exemplu:

Presupunem ca pentru 200 de persoane s-au sistematizat datele culese cu privire la timpul zilnic petrecut in fata televizorului, rezultand:

T=11490

Mo =x_infMo-h_Mo

M_o=60+30

ceea ce semnifica o asimetrie negativa moderata (coada mai lunga a distributiei tinde spre valori mici).

2. Coeficientul Yule

Coeficientul masoara gradul de asimetrie prin raportul dintre diferenta si suma abaterilor quartile si se calculeaza dupa formula alaturata. Observam ca, pentru a calcula acest coeficient, este necesar sa calculam pur si simplu cele trei quartile, dupa metoda prezentata intr-unul dintre capitolele anterioare.

unde Q₁= M_e-Q1

Q₂=Q₃-M_e

Coeficientul poate lua, in general, valori de la -1 la +1 si indica marimea asimetriei negative sau pozitive. Cu cat valorile sunt mai apropiate de 0, cu atat distributia este mai simetrica. Cu cat se apropie de -1 sau de +1, ea devine tot mai asimetrica spre stanga sau spre dreapta.

Acest coeficient este foarte usor de calculat, insa tine cont doar de cateva valori - valorile quartile - si nu de toate valorile din distributie, fapt care ii limiteaza precizia si se considera ca este doar un coeficient elementar al simetriei.

Exemplu:

Pentru o distributie s-au stabilit urmatoarele rezultate:

Q₁= 150

M_e= 130

Q₃=140.

Sa se calculeze valoarea coeficientului de asimetrie Yule.

Raspuns. Coeficientul de asimetrie yule se calculeaza dupa relatia:

C_asq= = = = = -3

Q₁= M_e-Q1=130-150= -20

Q₂=Q₃-M_e= 140-130= 10

Interpretare: Valoarea obtinuta, C_asq= -3<0 arata ca distributia considerata este asimetrica la stanga.

Analiza oblicitatii (asimetriei)se poate face si pe baza momentelor centrate de ordinul 3:

Daca seriile de distributie cu asimetrie negativa sunt mai numeroase, valorile x_i mai mici decat media, atunci abaterile sunt negative.

Daca seriile de distributie au asimetrie pozitiva sunt mai numeroase valorile x_i mai mari decat media, atunci abaterile sunt pozitive.

Daca seriile de distributie sunt perfect simetrice, abaterile pozitive sunt tot atat de numeroase ca si cele negative.

O marime relativa a asimetriei se obtine prin raportarea la abaterea medie patratica ridicata la cub.

3. Coeficientul de asimetrie Fisher

Coeficientul de asimetrie Fisher, nu se bazeaza pe cateva elemente, precum coeficientul Yule, ci pe toate valorile din distributie si se calculeaza folosindu-se momentele centrate.

Coeficientul de asimetrie (Fisher): .

Sau

Coeficientul γ₁ va avea valoare mai mare decat zero in cazul asimetriei pozitive, valoare mai mica decat zero in cazul asimetriei negative si va fi egal cu zero in cazul seriei perfect simetrice.

Atunci cand discutam de asimetrie, trebuie sa precizam o serie de relatii care apar intre indicatorii tendintei centrale, media, mediana si modulul.

Intr-o distributie simetrica, media, mediana si modul au aceleasi valori.

Dupa cum se poate observa in figura alaturata, atat media, cat si mediana si modul, se afla in acelasi punct, la mijlocul distributiei.

Intr-o distributie asimetrica la dreapta (distributie skewness pozitiv, vezi figura alaturata), predomina scorurile mici. In acest caz, modulul este valoarea situata cel mai la stanga in sirul de date, iar mediana este mai mare decat media. Evident, mediana fiind valoarea care imparte sirul ordonat de date in doua parti egale, iar daca in distributie predomina scorurile mici, atunci scorurile mari sunt considerate ca scoruri extreme. Stim, de la analiza preciziei indicatorilor tendintei centrale, ca intr-o serie de date in care intalnim scoruri extreme mari, media tinde sa le puna in valoare, fapt care este ilustrat grafic in figura de mai sus. Relatia existenta intr-o asemenea distributie este: Mo<Me<m. Aceasta relatie este relatia caracteristica a unei distributii asimetrice pozitiva (Opariuc, 2009).

Intr-o distributie asimetrica la stanga (distributie skewness negativ, vezi figura alaturata), predomina scorurile mari. In acest caz, modul este valoarea situata cel mai la dreapta in sirul de date, iar mediana este mai mare decat media. Evident, mediana fiind valoarea care imparte sirul ordonat de date in doua parti egale, iar daca in distributie predomina scorurile mari, atunci scorurile mici sunt considerate ca scoruri extreme.

Stim, de la analiza preciziei indicatorilor tendintei centrale, ca intr-o serie de date in care intalnim scoruri extreme mici, media tinde sa le puna in valoare, fapt care este ilustrat grafic in figura de mai sus in care se observa relatia existenta.

Intr-o asemenea distributie: Mo>Me>m. Aceasta relatie este relatia caracteristica unei distributii asimetrice negativ.

Boltirea

Boltirea masoara inaltimea, adica alungirea sau aplatizarea curbei, comparativ cu cea normala.

Asimetria pe orizontala, presupune, dupa cum am vazut, o deplasare a tendintei centrale spre stanga sau spre dreapta, catre scoruri mici sau catre scoruri mari. Aceasta este singura "asimetrie" posibila? Raspunsul la aceasta intrebare este nu. Exista si un fel de "asimetrie verticala" sau boltire. (Opariuc, 2009).

Termenul folosit generic pentru acest concept este termenul de kurtosis (din limba greaca, kurtos = "cocosat"). Practic, boltirea se refera la aspectul "cocoasei" distributiei rezultatelor.

Cocoasa poate fi ascutita si atunci vorbim de o distributie ascutita sau leptocurtica, poate fi turtita, distributia turtita, plata sau platicurtica sau normala, distributie mezocurtica. O distributie normala este intotdeauna o distributie mezokurtica.

In figura de mai sus, distributia "C" este o distributie leptocurtica, ascutita. Distributia "B" este o distributie platicurtica, turtita, iar distributia "A" este o distributie normala sub aspectul boltirii, sau mezocurtica.

distributie leptocurtica, ascutita, arata ca datele sunt foarte grupate si apropiate de medie, lotul de subiecti avand un mare grad de omogenitate a scorurilor

O distributie platicurtica, plata, este o distributie in care rezultatele sunt foarte imprastiate fata de medie si indica un grad ridicat de eterogenitate a scorurilor.

Ati observat deja ca boltirea nu este altceva decat simetria pe axa verticala (O_Y), spre deosebire de simetria propriu zisa, deplasarea valorilor pe axa orizontala (O_X).

Pentru curba normala (serie simetrica) β₂ = 3. Daca β₂ > 3, curba este mai ascutita decat cea normala (distributie leptocurtica). Daca β₂ < 3, curba este mai turtita decat cea normala (dispozitie platicurtica).

Boltirea se mai poate masura si cu indicatorul:   , care va avea valoarea zero daca distributia este normala, valoare pozitiva pentru distributie leptocurtica si valoare negativa pentru distributie platicurtica.

Exemplu: Distributia a 380 de firme dupa numarul de zile de asteptare pana la realizarea fuzionarii este:

Sa se calculeze oblicitatea si excesul repartitiei.

Rezolvare:

a. Coeficientul Yule

Asimetria este negativa moderata.

(Oblicitatea cu ajutorul momentelor centrate de ordinul 3 )

b. Boltirea

Curba este slab platicurtica (aplatizata) deoarece

Momentele de ordin  r sunt valori ale caracteristicii urmarite care impart distributaia observatiilor in r parti egale si au acelasi efectiv 1/r din numarul unitatilor .

Exemplu: mediana = quartila 2 = moment de ordin 2

quartila = quartila de ordin 4