OSCILATORUL AMORTIZAT

DEFINITII SI FORMULE

Oscilatii

T    Un sistem fizic efectueaza oscilatii mecanice daca parametrii care-l descriu iau succesiv valori care variaza alternativ in jurul valorilor care caracterizeaza starea de echilibru a sistemului

T    In cazul in care parametrii ce caracterizeaza sistemul mecanic iau valori egale dupa intervale de timp egale, oscilatia se numeste oscilatie periodica, iar intervalul de timp caracteristic acesteia se numeste perioada oscilatiei si se noteaza cu T.

Oscilatorul armonic

T    Miscarile oscilatorii de tipul sau se numesc oscilatii armonice. Parametrii care intervin in expresie au urmatoarele semnificatii : x - elongatia oscilatiei, A - amplitudinea oscilatiei, w - pulsatia oscilatiei, j - faza initiala a oscilatiei, F wt j - faza oscilatiei, t - momentul de timp.

T    Ecuatia diferentiala a oscilatorului armonic este :

T    Conditia necesara pentru ca un corp sa oscileze armonic este aceea ca rezultanta fortelor care actioneaza asupra sa sa fie de tip elastic : R = -kx.

Oscilatorul amortizat

T    Miscarea oscilatorie amortizata este descrisa matematic prin ecuatia diferentiala : , unde g se numeste coeficient de atenuare.

T    Pentru a avea loc oscilatia periodica este necesar sa fie indeplinita conditia: .

T    In cazul oscilatorului amortizat, elongatia depinde de timp dupa legea :

unde . Amplitudinea scade in timp dupa legea : .

T    Perioada oscilatiei (definita drept dublul intervalului de timp care corespunde la doua treceri succesive ale oscilatorului prin pozitia de echilibru) are expresia :

T    Conditia necesara pentru ca un corp sa oscileze dupa legea de mai sus este aceea ca rezultanta fortelor care actioneaza asupra sa sa fie suma dintre o forta de tip elastic si o forta de rezistenta la inaintare, proportionala cu viteza : R = -kx - fv.

Forta arhimedica

T    Este rezultanta fortelor de presiune pe care le exercita un fluid aflat la echilibru asupra unui corp imersat in acel fluid

T    Forta arhimedica este numeric egala cu greutatea volumului de lichid dezlocuit de corp, are aceeasi directie ca si greutatea, dar este orientata de jos in sus

T    Expresia sa matematica este : , unde r_lichid este densitatea lichidului, V_corp este volumul de lichid dezlocuit de corp (egal si cu volumul corpului daca acesta se afla in intregime in lichid), iar g este acceleratia gravitationala

Vascozitatea

T    este proprietatea lichidelor (fluidelor) de a curge cu mai multa sau mai putina usurinta

T    este rezultatul fortelor de frecare care apar intre straturile de fluid alaturate si curg cu viteze diferite

T    Legea experimentala a vascozitatii a fost determinata de Newton si are forma :

Enuntul este urmatorul : forta de frecare care se exercita intre straturile de fluid vecine este proportionala cu aria de contact dS a acestora si cu gradientul vitezei de curgere a fluidului dv/dr in directie perpendiculara aceleia de curgere. Fortele de frecare actioneaza astfel incat sa mi micsoreze viteza straturilor rapide si sa o mareasca pe aceea a straturilor lente. Coeficientul de viscozitate dinamica (sau viscozitatea) h este o constanta de material care caracterizeaza fluidul.

Legea lui Stokes se refera la forta de frecare care se exercita asupra unui corp sferic ce se deplaseaza in interiorul unui fluid. Expresia ei este :

unde r este raza corpului sferic, iar v este viteza de deplasare a corpului in interiorul fluidului. Daca lichidul uda corpul, h este chiar viscozitatea lichidului.

PRINCIPIUL METODEI

Sa examinam situatia din figura alaturata. Folosim un corp format dintr-o sfera (de raza r) continuata printr-un tub lung, cilindric, de raza r₀ < r. Corpul are pereti din sticla foarte subtiri si este gol pe dinauntru. In interiorul sferei sunt introduse cateva alice din plumb care constituie aproape toata masa corpului. Alicele de plumb aflate in sfera asigura stabilitatea, astfel incat, introdus intr-un lichid, corpul pluteste, tija avand directie verticala, iar sfera si o parte din tija fiind cufundate in lichid. Un asemenea "corp" se numeste densimetru (sau areometru) si serveste la masurarea densitatii unor lichide. Daca este scos din pozitia de echilibru, fiind tras sau impins in directie verticala, densimetrul oscileaza, amplitudinea fiind mai mare la inceput si descrescand treptat, pana la anulare.

Sa examinam fortele care actioneaza in timpul oscilatiei :

T    Greutatea

Masa densimetrului este concentrata aproape in totalitate in interiorul sferei. In aceste conditii, este convenabil sa afirmam ca masa se poate exprima in functie de volumul sferei si densitatea medie :

Valoarea densitati medii poate fi ajustata in functie de dorinta, folosind mai multe sau mai putine alice de plumb. In cazul de fata, vom considera ca densitatea medie este 1400 kg/m³.

T    Forta arhimedica

Aceasta este proportionala cu volumul lichidului dezlocuit si are doi termeni : unul corespunzator sferei si celalalt portiunii de tija aflate sub nivelul lichidului :

r_l = densitatea lichidului, l = lungimea portiunii de tija aflata in lichid) Forta arhimedica cu care aerul actioneaza asupra portiunii de tija aflata in afara lichidului se poate neglija.

T    Fortele de frecare

Forta de frecare principala se exercita intre lichid si sfera. Expresia ei este data de legea lui Stokes :

unde h este viscozitatea lichidului, iar v este viteza miscarii oscilatorii. Se mai exercita forte de frecare intre tija si lichid, sau intre tija si aer, dar ele pot fi neglijate.

Ar mai putea fi mentionate si fortele de tensiune superficiala care apar la suprafata lichidului, in zona de contact cu tija. Vom considera ca si acestea sunt neglijabile. Conform principiilor dinamicii, putem calcula acceleratia densimetrului :

La echilibru, corpul fiind in repaus (v = 0), acceleratia este nula. Notand cu l₀ lungimea portiunii de tija aflata sub nivelul lichidului in pozitia de echilibru, obtinem :

Scazand ultima ecuatie din cea anterioara, obtinem :

Putem face notatiile :

Cu aceste notatii, ecuatia diferentiala de miscare capata forma :

Aceasta ecuatie diferentiala descrie miscarea oscilatorie amortizata si are solutia urmatoare :

unde , iar j este faza initiala. Viteza miscarii oscilatorii este :

La momentele de timp t_i cand oscilatorul trece prin pozitia de echilibru avem :

Rezulta :

adica modulul vitezei oscilatorului la trecerea prin pozitia de echilibru este o functie exponentiala de timp.

Prin logaritmare, rezulta :

Logaritmul modulului vitezei oscilatorului la trecerea prin pozitia de echilibru este o functie lineara de timp, panta dreptei corespunzatoare fiind chiar factorul de amortizare g

Cunoscand factorul de amortizare, densitatea medie a densimetrului si raza portiunii sferice, putem calcula viscozitatea lichidului dupa formula :

Miscarea oscilatorie amortizata este periodica, in sensul ca trecerile succesive prin pozitia de echilibru au loc la intervale de timp egale intre ele :

Cunoscand relatia intre w si w , putem scrie :

Rezulta ca putem calcula densitatea lichidului dupa relatia :

Cunoscand factorul de amortizare, densitatea medie a densimetrului, raza portiunii sferice, raza sectiunii tijei si intervalul de timp intre doua treceri succesive prin pozitia de echilibru putem calcula viscozitatea lichidului dupa formula de mai sus.

Pentru a masura momentele de timp t_i se poate concepe un montaj experimental, asemanator aceluia prezentat in figura de mai sus. Diodele laser sunt pozitionate simetric, la mica distanta de orizontala corespunzatoare pozitiei de echilibru a densimetrului. Tija densimetrului are o portiune transparenta. De fiecare data cand aceasta trece prin dreptul diodelor laser, raza laser o traverseaza si cade pe o fotocelula, care, la randul ei, transmite un puls de tensiune catre un cronometru electronic ce inregistreaza momentul de timp. Fiecarei treceri a densimetrului prin dreptul pozitiei de echilibru ii corespund doua pulsuri, unul provenind de la dioda 1, iar celalalt de la dioda 2. Se inregistreaza astfel doua momente de timp : t_i' si t_i". Momentul trecerii prin dreptul pozitiei de echilibru t_i se poate aproxima prin media :

iar viteza densimetrului prin relatia :

MATERIALE SI APARATE

M    programul de simulare "Oscam"

EXPLICATII : (1) cronometru, (2) icon (click-ul pe acest icon declanseaza cronometrul si elibereaza densimetrul), (3) tabel cu momentele de timp t_i' si t_i", (4) buton de pornire/resetare, (5) buton de oprire, (6) buton de inchidere a programului.

MOD DE LUCRU

deschideti programul "Oscam"

apasati butonul (4). Veti observa coborarea densimetrului. Valoarea amplitudinii initiale este generata aleatoriu.

dati un click pe iconul (2). Veti observa oscilatiile densimetrului si marcarea timpului de catre cronometru. In tabelul (3) sunt inregistrate automat momentele de timp t_i' si t_i". Programul face automat 16 inregistrari, dupa care se opreste.

daca din diverse motive doriti oprirea inregistrarilor inainte de termen apasati butonul (5). Reinitializarea experimentului se face apasand din nou butonul(4).

dupa incheierea determinarilor notati datele in tabelul de date.

calculati momentele de timp t_i cu relatia . Calculati de asemenea inversul intervalului de timp .

gasiti (prin metoda celor mai mici patrate) panta dreptei ln a_i = f(t_i). Aceasta este valoarea coeficientului de atenuare g.

calculati intervalele de timp Dt_i = t_i+1 - t_i, precum si valoarea lor medie Dt.

stiind ca : r = 1 cm, r = 1400 kg/m³, r₀ = 0,25 cm, g = 9,8 m/s², calculati viscozitatea si densitatea lichidului, cu formulele :

respectiv :

inscrieti in tabel toate valorile obtinute

PRELUCRAREA DATELOR

STUDENTI

1)

2)

3)

4)

SEMNATURA CADRULUI DIDACTIC