Notiuni privind metoda componentelor simetrice

Efectuarea calculelor de regimuri de functionare in retelele trifazate echilibrate functionand in regim simetric se poate face prin reprezentarea pe faza, dupa o prealabila echivalare a transformatoarelor cu conexiune triunghi in conexiune stea. Valorile obtinute pentru calculul pe faza raman in modul aceleasi pe celelalte doua faze si sunt decalate cu   ± 120⁰.

Metoda componentelor simetrice permite extinderea analizei pe faza in cazul sistemelor cu sarcini dezechilibrate.

In conformitate cu proprietatea descoperita de Fortescue (Charles L. Fortescue 'Method of symmetrical coordinates. Applied to the solution of Polyphase Networks' - 1918), un sistem de trei fazori nesimetrici poate fi descompus in doua sisteme de fazori simetrici (unul de succesiune pozitiva si altul de succesiune negativa) si un sistem de fazori in faza (de succesiune zero). In cazul in care curentii si tensiunile sunt astfel reprezentati, pentru fiecare componenta se poate face analiza pe faza, obtinandu-se astfel simplificarea dorita. Conditiile necesare in alegerea sistemelor de componente care sa inlocuiasca fazorii tensiune si curent ai unui sistem trifazat sunt:

Sa permita simplificarea calculelor. Aceasta este posibila numai daca impedantele (sau admitantele) asociate componentelor de curenti (sau tensiuni), se pot obtine usor prin calcule sau masuratori.

Sistemele de componente alese sa aiba semnificatie fizica si sa fie utile la determinarea performantelor sistemelor electroenergetice.

Se mentioneaza ca in afara sistemului componentelor simetrice propuse de Fortescue (zero, pozitiva, negativa), cu coordonate de transformare in valori complexe, exista si alte componente simetrice dintre care, mai larg utilizat, este sistemul α, ß, 0 propus de E. Clarke [6] cu coordonate de transformare in valori reale. Acest din urma sistem se preteaza mult mai bine in studiul fenomenelor tranzitorii ale masinilor electrice si au o larga raspandire in acest domeniu .

Avand in vedere caracterul prezentei lucrari cu aplicatie in principal in retelele electrice se va utiliza exclusiv metoda componentelor simetrice cu coordonate de transformare in valori complexe.

Metoda este prezentata intr-o serie de lucrari (bibliografie Anexa 1 [A1-1, A1-2, A1-3]). In cele ce urmeaza se dau succint elementele necesare pentru abordarea problemei calculelor de scurtcircuit.

Un sistem trifazat de tensiuni sau de curenti, reprezentat de cei trei fazori V_A , V_B, V_C respectiv I_A, I_B, I_C poate fi inlocuit prin trei sisteme oarecare simetrice de fazori. Legatura dintre aceste doua grupe de marimi se exprima printr-un sistem de ecuatii liniare:

V_A = a₁₁V⁺ + a₁₂V^- + a₁₃V⁰

V_B = a₂₁V⁺ + a₂₂V^- + a₂₃V⁰  (A-1)

V_C = a₃₁V⁺ + a₃₂V^- + a₃₃V⁰

Singura restrictie a sistemului este ca determinantul coeficientilor sa fie diferit de zero.

Prin aceasta sistemul initial de trei vectori a fost inlocuit cu unul nou format din noua vectori care pot fi grupati in 3 sisteme:

Sistemul 1: a₁₁V⁺; a₂₁V⁺; a₃₁V⁺

Sistemul 2: a₁₂V^-; a₂₂V^-; a₃₂V^-

Sistemul 3: a₁₃V⁰; a₂₃V⁰; a₃₃V⁰

Pentru studiul sistemelor trifazate folosind componentele simetrice: pozitiva,negativa si zero  este convenabil sa se introduca un fazor operator care sa defazeze cu + 120⁰ unghiul unui fazor dat, fara a-i schimba marimea (fig. A - 1).

Fig.A-1 Diagrama fazoriala a operatorului a

a = e^j2p = -1/2 + j

Este deci clar ca a roteste un fazor cu +120⁰, iar a² cu -120⁰.

Functiile operatorului a sunt prezentate in tabelul A - 1 (operatorii 1, a, a², formeaza un sistem de fazori simetric, echilibrat de succesiune negativa; operatorii 1, a², a formeaza un sistem de fazori simetric, echilibrat de succesiune pozitiva).   

Tabel A -1

Proprietati ale operatorului a

Cu ajutorul acestui fazor se pot alege coeficientii a_ij astfel incat sistemele nou obtinute sa aiba si un sens fizic.

In scrierea ecuatiilor este necesar sa se aleaga arbitrar o faza de referinta. De regula aceasta este faza A. Folosind fazorul operator a vom obtine (fig.A-2).

Fig. A-2 Componente simetrice de tensiune

a) Sistem de succesiune pozitiva (directa)

b) Sistem de succesiune negativa (inversa)

c) Sistem de succesiune zero (homopolara)   

Sistemul 1 (de succesiune pozitiva): V⁺_A; V⁺_B = a²V⁺_A; V⁺_C = aV⁺_A

Sistemul 2 (de succesiune negativa): V^-_A; V^-_B = aV^-_A; V^-_C = a²V^-_A

Sistemul 3 (zero): V⁰_A; V⁰_B = V⁰_A; V⁰_C = V⁰_A

Deci ecuatiile (A - 1) devin : 

V_A = V⁰_A + V⁺_A + V^-_A

V_B = V⁰_A + a²V⁺_A + aV^-_A (A-2)

V_C = V⁰_A + aV⁺_A + a²V⁺_A

Rezolvarea acestui sistem de observatii da:

V⁰_A = 1/3 ( V_A + V_B + V_C )

V⁺_A = 1/3 ( V_A + aV_B + a²V_C ) (A-3)

V^-_A = 1/3 ( V_A + a²V_B+ aV_C )

In scrierea curenta se renunta la mentionarea fazei de referinta. Fara alta mentiune speciala se considera ca aceasta este faza A.

Matricial ecuatiile de definitie sunt:

si

 

V

1 1 1

V_A

V

V_A

V

1 a a²

V_B

sau

V

S

V_B

(A-5)

V

1 a² a

V_C

V

V_C

║ S ║ fiind matricea de conexiuni pentru transformarea propusa de Fortescue, astazi general adoptata.

Relatiile sunt analoage pentru curenti.

Aplicarea metodei componentelor simetrice necesita introducerea conceptului de retea de diferite succesiuni, care este o retea echivalenta pentru un sistem echilibrat functionand in conditii imaginate ca acelea in care in sistem sunt prezente numai tensiuni si curenti de succesiunea respectiva. Ca in retelele echilibrate curentii de o anumita succesiune, determina caderi de tensiune numai de succesiunea respectiva daca reteaua este echilibrata. Nu vor exista interactiuni intre succesiuni care sunt independente.

Sistemele energetice pot fi considerate ca fiind echilibrate in afara unor cazuri exceptionale ca defecte, sarcini dezechilibrate s.a.

Chiar in asemenea conditii de dezechilibru, care de regula apar numai intr-un punct al sistemului, restul sistemului ramanand echilibrat, se poate obtine o retea echivalenta pentru calculul cu componente simetrice. Avantajul retelei de diferite succesiuni este acela ca, deoarece curentii si tensiunile sunt de o singura succesiune, sistemele trifazate pot fi reprezentate prin scheme echivalente pe faza. Intreaga retea de o anumita succesiune poate fi adesea redusa la utilizarea unei singure tensiuni si a unei singure impedante.

Tipul de nesimetrie sau dezechilibru din retea poate fi reprezentat printr-o interconectare intre retele echivalente de diferite succesiuni.

Reteaua de succesiune pozitiva este singura din cele trei care va contine tensiuni electromotoare (generatoare), intrucit alternatoarele produc practic numai tensiuni de succesiune pozitiva. Tensiunile care apar in retelele de succesiune negativa si zero vor fi generate de dezechilibru si vor fi ca tensiuni aplicate retelelor in punctul de defect. In plus reteaua de succesiune pozitiva reprezinta sistemul de operare in conditii normal echilibrate. Pentru studiile de scurtcircuit tensiunile interne sunt scurtcircuitele si reteaua de succesiune pozitiva se considera alimentata in concordanta cu teorema superpozitiei, prin tensiunea existenta la punctul de defect inainte ca defectul sa apara.

Aceasta reprezentare da exact valorile si variatiile marimilor caracteristice din retea. Deoarece curentii de defect - inainte de producerea acestuia - sunt zero, cresterea de curent produsa este chiar egala cu curentul de defect. Totusi, curentii din regim normal din toate laturile retelei trebuiesc adunati la curentul de defect, calculat pentru ramura respectiva, pentru a determina curentul total din latura.

Schema echivalenta pentru fiecare succesiune se formeaza ca 'vazuta dinspre defect', imaginand ca in reteaua respectiva curentul circula de la punctul de defect, analizand impedantele si circulatiile de curenti pentru fiecare sectiune de retea, aferente succesiunii respective.

Apoi trebuie sa se considere ca in fiecare retea se aplica o tensiune intre extremitatile retelei si sa se analizeze circulatia de curenti prin fiecare succesiune in parte.

Este in mod deosebit necesar la alcatuirea retelei de succesiune zero sa se porneasca de la punctul de defect, nu de la punctul de dezechilibru, deoarece curentii de succesiune zero pot sa nu circule in intreg sistemul. Dar acele parti ale sistemului prin care circula curentii de succesiune zero, ca rezultat al aplicarii tensiunii in punctul de dezechilibru, sunt incluse in reteaua de succesiune zero ca vazute dinspre defect.

Cele doua borne ale fiecarei retele corespund la doua puncte din sistemul trifazat de o parte si de alta a dezechilibrului. In cazul defectelor transversale intre conductoare si pamant, o borna a fiecarei retele va fi punctul de defect in reteaua trifazata, cealalta va fi pamantul sau neutrul in acel punct.

In cazul unui dezechilibru longitudinal, ca de exemplu deconectarea unui circuit, cele doua borne vor corespunde celor doua puncte din reteaua trifazata care alimenteaza dezechilibrul.

Impedantele de diferite succesiuni ale liniilor, transformatoarelor si ale masinilor rotative sunt prezentate in anexele 5, 6, 9, 10, 12, 13.

Aceste impedante sunt diferite in regim de tensiuni si curenti sinusoidali, la frecventa fundamentala, astfel:

- impedantele de succesiune pozitiva ale curentului trifazat, ca fiind egale cu raportul caderilor de tensiuni, la curentii fazelor corespunzatoare, atunci cand circuitul este parcurs numai de curenti de succesiune directa;

- impedantele de succesiune negativa ca fiind egale cu raportul caderilor de tensiune din cele trei faze, la curentii fazelor corespunzatoare, atunci cand circuitul este parcurs numai de curenti de succesiune inversa;

- impedanta zero pe faza, a unui circuit trifazat simetric parcurs numai de curenti de succesiune zero, este impedanta (sau impedanta echivalenta) opusa fiecaruia din cei trei curenti care parcurg fazele si sumei celor trei curenti care sa intre prin pamant sau prin conductorul neutru.

In fig. A - 3 se prezinta modul de determinare a acestor impedante.

Fig. A-3 Impedante de scurtcircuit ale sistemelor trifazate de c.a. la locul de defect k.

Impedantele pe neutru nu apar in schemele echivalente de succesiune pozitiva sau negativa, intrucat suma curentilor pe cele trei faze conduce la un curent total nul pe neutru. In schema echivalenta de succesiune zero va aparea o impedanta egala cu de trei ori impedanta ohmica pe neutru, deoarece curenti de succesiune zero care circula in cele trei faze dau un curent total pe neutru de 3 I⁰.

Pentru efectuarea calculelor cu componente simetrice este necesara stabilirea unei conventii de succesiune pentru tensiuni si curenti (fig. A.4).

Prin conventie se stabileste ca sensul pozitiv al curentului in fiecare retea de diferite succesiuni este iesind din punctul de defect sau de dezechilibru; rezulta ca in toate cele trei retele sensul pozitiv al curentilor respectivi va fi acelasi. Aceasta conventie pentru sensul curentilor trebuie atent urmarita pentru a se evita erorile. Deoarece componentele simetrice de curenti sunt legate prin legea lui Ohm numai cu componentele de tensiune de acceasi succesiune, determinarea circulatiei de curenti este simpla. Cu alte cuvinte daca un element oarecare al unui circuit este echilibrat si prezinta in raport cu curentii I⁺, I^-, I⁰ impedantele proprii Z⁺ Z^-, Z⁰, componentele simetrice ale caderilor de tensiune pe acest element vor fi:

ΔU⁺ = Z⁺ I⁺

ΔU^- = Z^- I^- (A-6)

ΔU⁰ = Z⁰ · I⁰

			b)
	Fig. A-4. Reprezentarea schemelor echivalente pentru retele de diferite succesiuni a)    prin impedante respective; b)    ca dipoli de diferite succesiuni.

Dupa determinarea circulatiei de curenti in fiecare retea, se poate determina tensiunea in orice punct al unei retele de o anumita succesiune prin scaderea caderii de tensiune prin impedantele de succesiunea respectiva din tensiunea generatorului, considerand punctul neutru al retelei ca punct de potential nul. De exemplu, daca impedantele intre neutru si punctul considerat sunt : Z⁺, Z^-, Z⁰, componentele simetrice ale tensiunii vor fi:

V = E_A - I⁺ Z⁺

V = 0 - I^- Z^- (A-7)

V = 0 - I⁰ Z⁰

unde E_A este tensiunea pe faza de succesiune pozitiva a generatorului.

Circulatia curentilor de defect in intreaga retea se determina prin compunerea curentilor de diferite succesiuni in fiecare latura in parte, curenti obtinuti prin repartitia curentului de defect de o anumita succesiune in reteaua de succesiune respectiva. Aceasta metoda se poate aplica deoarece, asa cum s-a mai aratat, in fiecare din cele trei retele curentii si tensiunile succesiunii respective sunt complet independenti de celelalte doua succesiuni.

Pentru puterea complexa in regim nesimetric si (sau) dezechilibrat se obtine:

S = P + jQ = U_A · I^*_A + U_B I^*_B + U_C I^*_C

S = 3 ( U⁰ I^0* + U⁺ I^+* + U^- I^-* )

Bibliografie

A1-1.   Ulianov,S.A., Regimuri tranzitorii ale sistemelor electrice, Ed. Tehnica, Bucuresti, 1967.

A1-2.   Clarke,E., Analiza circuitelor sistemelor electroenergetice, Ed. Tehnica, Bucuresti.

A1-3.   Antoniu,I.S., Electrotehnica, chestiuni speciale, Ed. Academiei, Bucuresti, 1958.