MASURARE, SISTEMUL INTERNATIONAL, ANALIZA DIMENSIONALA

Masurare inseamna compararea a doua marimi fizice de acelasi fel, dintre care una este luata ca etalon. Rezultatul masurarii este un numar. Acest numar nu poate avea o semnificatie ulterioara daca nu este specificat si etalonul (numit in mod obisnuit "unitate de masura". De exemplu, masurand camera cu pasul si gasind ca acesta intra de sase ori in lungimea camerei, informatia ca lungimea incaperii este 6 este absolut inutila daca nu adaugam si cuvantul "pasi".

Teorema fundamentala a unitatilor de masura afirma ca raportul numerelor care reprezinta rezultatele masurarii unei aceleiasi marimi fizice cu doua etaloane diferite este egal cu inversul raportului dintre cele doua etaloane. Cunoasterea acestei teoreme ne ajuta sa gasim valoarea pe care am determina-o masurand cu un anumit etalon, in functie de rezultatul masurarii cu alt etalon, doar cunoscand raportul celor doua etaloane. De exemplu, un coleg al dumneavoastra are un monitor cu diagonala de 21 de inch. Daca doriti sa stiti marimea diagonalei in centimetri, nu este nevoie sa mergeti la el acasa cu ruleta pentru a o masura personal. Este suficient sa stiti ca 1 inch are aproximativ 2,5 cm, pentru a calcula marimea diagonalei : 21 2,5 = 52,5 cm.

In sistemele de unitati de masura exista marimi fizice avand etaloane a caror definire se face in mod arbitrar. Aceste marimi fizice se numesc marimi fizice fundamentale, iar unitatile lor de masura sunt unitatile de masura fundamentale ale sistemului de unitati de masura. Alte marimi fizice au unitati de masura care se definesc cu ajutorul unitatilor de masura fundamentale. Acestea se numesc marimi fizice derivate, iar unitatile lor de masura sunt unitati de masura derivate. In Sistemul International exista doar sapte marimi fizice fundamentale, restul marimilor fizice fiind marimi derivate.

Marimile fizice fundamentale ale unui sistem de unitati de masura se mai numesc dimensiunile sistemului de unitati de masura. Relatia care exista intre o unitate de masura derivata si unitatile de masura fundamentale poate fi transpusa in mod mai general ca o relatie cu dimensiunile sistemului de unitati de masura. Aceasta relatie se numeste formula dimensionala.

Analiza dimensionala este domeniul care se ocupa cu stabilirea relatiilor intre formulele dimensionale ale diferitelor marimi fizice. Pe baza acestor relatii se pot uneori determina forme aproximative ale unor legi valabile in anumite situatii experimentale. Chiar daca formulele determinate utilizand analiza dimensionala sunt doar aproximative, ele pot constitui un mare ajutor in simplificarea experimentelor care urmeaza sa stabileasca forma corecta a legilor respective. De asemenea, prin analiza dimensionala se pot pune in evidenta rapoarte adimensionale ale unor marimi fizice, numite criterii, care sunt utilizate pentru a caracteriza preponderenta unui anumit efect fizic in raport cu altul. De exemplu, raportul adimensional (adica fara unitate de masura) intre densitatea unui corp si densitatea unui lichid (r_corp r_lichid) constituie un criteriu de flotabilitate. Daca valoarea criteriului este supraunitara, corpul se scufunda complet in lichid, iar in caz contrar, pluteste. Analiza dimensionala se asociaza si cu o alta metodologie de lucru, denumita similitudine. Daca formulele dimensionale care caracterizeaza un anumit proces fizic (de exemplu, mecanic) coincid cu acelea care se refera la alt proces fizic (de exemplu, electric), atunci prin studiul experimental al unuia dintre ele si utilizand stiinta similitudinii se pot trage concluzii asupra rezultatelor care s-ar obtine studiind celalalt proces.

Metoda lui Rayleigh constituie o modalitate relativ simpla de a stabili posibile formule matematice care sa descrie interdependenta marimilor fizice care caracterizeaza desfasurarea unui anumit proces fizic. In esenta, metoda presupune ca una dintre marimile implicate in proces este un produs de puteri necunoscute ale celorlalte marimi. Considerentele de analiza dimensionala permit gasirea de relatii intre exponentii (puterile) din formula, rezultatul fiind in cazul cel mai favorabil chiar legea care guverneaza respectivul proces, determinata pana la nivelul unei constante ce urmeaza a fi masurata experimental. Metoda Rayleigh este eficienta mai ales in studiul unor procese fizice in care numarul parametrilor implicati este mic, in caz contrar aplicarea ei devenind greoaie. In situatiile mai complicate se foloseste o alta metoda, numita teorema , care are avantajul de a fi mai corecta din punct de vedere fizic.

Scopul fizicii este acela de a stabili legile in virtutea carora se desfasoara procesele din natura. Aceste legi pot fi exprimate atat sub forma calitativa cat si sub forma cantitativa. Forma calitativa a unei legi fizice este de cele mai multe ori prea vaga pentru a avea aplicatii practice. De aceea, este necesara stabilirea unei forme cantitative pentru fiecare lege a fizicii.

Forma cantitativa a unei legi a fizicii este o relatie matematica intre marimi fizice masurabile.

Marimile fizice masurabile sunt, asa cum le spune si numele, acele marimi fizice care pot fi masurate. Iata definitia masurarii : masurarea unei marimi fizice inseamna compararea ei cantitativa cu o marime fizica de aceeasi natura, aleasa ca unitate de masura.

Vom folosi in continuare urmatoarele notatii :

A = marimea fizica masurabila

<A> = unitatea de masura

a = valoarea numerica rezultata in urma masurarii

Intre aceste marimi exista urmatoarea relatie :

Evident, aceeasi marime fizica poate fi masurata cu doua unitati de masura diferite :

;

Facand raportul celor doua valori numerice, rezulta :

Aceasta relatie a primit denumirea de teorema fundamentala a unitatilor de masura si se enunta astfel : masurand o marime fizica cu doua unitati de masura diferite, raportul valorilor numerice obtinute este invers proportional cu raportul celor doua unitati de masura, fiind independent de marimea fizica masurata.

Forma cantitativa a unei legi fizice poate fi exprimata in doua moduri diferite :

formula matematica, adica relatia matematica dintre marimile fizice :

formula fizica, adica relatia matematica dintre valorile marimilor fizice :

In general, determinarea unei legi a fizicii se face pe cale experimentala, gasindu-se corelatiile intre valorile marimilor fizice care intervin. Aceste valori sunt stabilite utilizand unitati de masura specifice fiecareia dintre marimile fizice implicate. Totalitatea unitatilor de masura atasate marimilor fizice cunoscute la un moment dat se numeste sistem de unitati de masura.

Daca unitatile de masura apartinand unui sistem de unitati de masura sunt definite in mod arbitrar atunci sistemul de unitati de masura se numeste incoerent. Folosirea unui sistem de unitati de masura incoerent genereaza neajunsuri in ceea ce priveste relatia dintre formulele fizica si matematica ale unei legi a fizicii.

Eliminarea discrepantelor intre formula fizica si cea matematica este aceea care impune reducerea la minimum posibil a marimilor fizice care au unitati de masura alese arbitrar.

Daca intr-un sistem de unitati de masura numarul marimilor fizice fundamentale este cel mai mic posibil, sistemul de unitati de masura se numeste sistem coerent de unitati de masura.

Daca exista N marimi fizice distincte si n legi fizice independente, obtinem n relatii intre unitatile de masura ale celor N marimi fizice, numarul marimilor fizice fundamentale devenind egal cu diferenta N - n. Notand marimile fizice fundamentale cu :

si unitatile lor de masura (stabilite arbitrar) cu :

rezulta ca unitatile de masura derivate se pot exprima ca produse ale unor anumite puteri ale unitatilor fundamentale :

In istoria stiintei si tehnicii s-au folosit diverse sisteme coerente de unitati de masura. Utilizarea lor simultana putea duce la confuzii. De aceea prin hotararea Conferintei Generale de Masuri si Greutati (Paris, 1960) s-a adoptat un sistem de unitati de masura unic pe plan international, bazat pe sistemul metric. Acesta poarta denumirea de Sistemul International de Unitati de Masura sau, prescurtat, SI.

Sistemul International este un sistem coerent care cuprinde sapte marimi fizice fundamentale, numite dimensiuni ale acestui sistem de unitati.

Tabelul urmator cuprinde lista marimilor fizice fundamentale ale Sistemului International :

Toate cele sapte unitati de masura fundamentale sunt definite in mod arbitrar (de exemplu, kelvinul este a 273,16-a parte din intervalul de temperatura intre zero absolut si temperatura punctului triplu al apei distilate). Toate celelalte unitati de masura utilizate de Sistemul International sunt unitati de masura derivate (de exemplu, viteza se masoara in metri pe secunda).

Sistemul metric (folosit pentru prima oara dupa Revolutia Franceza din 1789) a urmarit exprimarea simpla a multiplilor sau submultiplilor unitatilor de masura fundamentale. Ideea principala a fost aceea ca multiplii sau submultiplii se precizeaza prin folosirea unor prefixe, adaugate unitatii de masura. Aceste prefixe nominalizeaza multiplicarea (sau demultiplicarea) prin 10 sau 1000. Iata, in continuare, prefixele folosite la ora actuala :

Omogenitatea dimensionala a legilor fizicii, formula dimensionala a unei marimi fizice

Fie un de unitati de masura sistem coerent si fie marimile fizice fundamentale ale acestuia. Fie de asemenea formula matematica si formula fizica ale unei legi a fizicii. Deoarece sistemul de unitati de masura este coerent, forma matematica a celor doua formule este identica. In aceasta situatie, unitatea de masura a marimii A₀ se exprima astfel :

Unitatea de masura A ñ nu poate depinde de valorile particulare a₁, a₂, a_n pe care le iau marimile fizice A₁, A₂,. A_n ! Rezulta ca legea fizica trebuie sa fie o functie omogena in raport cu unitatile de masura ale marimilor fizice de care depinde :

Aceasta cerinta care trebuie satisfacuta de legea fizica se numeste conditia de omogenitate. Daca conditia de omogenitate este satisfacuta, rezulta :

Pe de alta parte, unitatile de masura derivate A A A_nñ se exprima in functie de unitatile fundamentale, conform relatiilor :

Inlocuind in relatia rezultata din conditia de omogenitate obtinem :

sau :

Deoarece unitatile de masura F F F_m au fost definite arbitrar, relatia poate fi satisfacuta doar daca exponentii aceleiasi unitati de masura valori egale in cei doi membri ai ecuatiei :

Ele sunt echivalente urmatoarei formulari a conditiei de omogenitate :

Termenii unei expresii matematice, care corespunde unei legi a fizicii, trebuie sa aiba acelasi grad de omogenitate in raport cu fiecare dintre unitatile de masura fundamentale.

Conditia de omogenitate este independenta de unitatile de masura ale marimilor fizice fundamentale ale sistemului de unitati de masura

Deoarece conditia de omogenitate depinde doar de alegerea marimilor fizice fundamentale, putem introduce notiunea de dimensiune asociata unei marimi fizice fundamentale F_i , notata F_i

In aceste conditii, relatiilor intre unitatile de masura derivate si unitatile de masura fundamentale :

le corespund relatii asemanatoare intre dimensiunea marimii derivate si dimensiunile marimilor fundamentale :

Acest tip de relatie poarta numele de formula dimensionala a unei marimi fizice.

Metoda Rayleigh

Sa presupunem ca suntem in situatia ca trebuie sa determinam expresia exacta a unei legi a fizicii, inca necunoscuta, de forma :

Exista o infinitate de relatii matematice posibile intre marimile fizice A₀,A₁, . A_n. Nu toate aceste relatii matematice au si sens fizic ! Pot avea sens fizic doar expresiile care verifica conditia de omogenitate :

Ce avantaje ar putea rezulta din acest fapt ? Pentru a intelege cum putem utiliza conditia de omogenitate dimensionala, sa examinam in continuare un :

EXEMPLU

Sa consideram ca viteza v cu care atinge solul un corp lasat liber la o inaltime h depinde si de masa sa m si de acceleratia gravitationala g.

Frecarile se pot neglija.

Cautam o lege a fizicii de forma :

Formulele dimensionale ale marimilor care intervin sunt :

Conform conditiei de omogenitate dimensionala avem :

sau :

sau :

Dimensiunile sistemului de unitati de masura sunt marimi independente, ceea ce are drept urmare faptul ca exponentii lor din membrul stang trebuie sa fie egali cu exponentii din membrul drept al expresiei :

Solutiile acestui sistem de ecuatii sunt :

Rezulta ca relatia de omogenitate are forma :

sau :

Se stie ca legea vitezei caderii libere a unui corp in campul gravitational terestru este :

Comparand conditia de omogenitate dimensionala cu legea vitezei, remarcam asemanarea lor ! Diferenta este data doar de un coeficient numeric adimensional.

Concluzia pe care o sugereaza acest exemplu este urmatoarea :

Cel putin in anumite cazuri, expresia matematica a unei legi a fizicii corespunde pana la unii factori numerici adimensionali cu expresia matematica a conditiei de omogenitate.

Desigur, exemplul studiat a fost unul particular. In cazul general, exista urmatoarele posibilitati :

Numarul ecuatiilor independente ale sistemului de ecuatii, p m, este mai mare decat numarul n al exponentilor a_j . In acest caz, sistemul de ecuatii este incompatibil. Sensul fizic al acestei situatii matematice este acela ca numarul marimilor fizice luate in considerare este prea mic, fenomenul studiat depinzand si de alte marimi fizice. Legea pe care o cautam nu exista !

Numarul ecuatiilor independente ale sistemului de ecuatii, p m, este egal cu numarul n al exponentilor a_j. In acest caz, sistemul de ecuatii este compatibil determinat, iar exponentii a_j sunt unic determinati. Sensul fizic este acela ca exista o singura relatie matematica intre marimile fizice considerate care sa reprezinte o lege a fizicii.

Numarul ecuatiilor independente ale sistemului de ecuatii, p m, este mai mic decat numarul n al exponentilor a_j . In acest caz, sistemul de ecuatii este compatibil nedeterminat. Dintre exponentii a_j , p se exprima in functie de ceilalti (n - p) exponenti, luati ca parametri. Sensul fizic este ca exista mai multe expresii matematice compatibile cu legea fizica cautata.

Rayleigh si-a propus sa determine forma concreta a legii fizice in cazurile al doilea si al treilea. Pentru aceasta el face urmatoarea afirmatie suplimentara :

Ipoteza lui Rayleigh omogenitatea in raport cu dimensiunile marimilor fizice este o consecinta a omogenitatii in raport cu insasi marimile fizice ce intervin in expresia unei legi fizice.

Matematic aceasta ipoteza se poate exprima astfel :

T

    T

unde K este o constanta numerica ( K

In cazul al doilea, aceasta ipoteza, ne permite sa afirmam ca legea fizica cautata are o forma unica :

In cazul al treilea, in functie de rangul nedeterminarii, (n - p), se vor introduce parametrii l l l_n-p, astfel incat solutiile sistemului de ecuatii sunt de forma :

Conform ipotezei lui Rayleigh, rezulta :

adica A₀ reprezinta o suma finita sau infinita de expresii matematice compatibile cu legea fizica ceruta, diferind una de cealalta prin valorile parametrilor l. Valorile parametrilor K_j si l , precum si numarul de termeni ai sumei urmeaza sa se stabileasca pe cale experimentala.

In final, putem face urmatoarele observatii asupra metodei lui Rayleigh :

Ea reprezinta o cale lesnicioasa pentru determinarea expresiei matematice a unor legi fizice simple, care depind de un numar redus de parametri. Dificultatea de a o utiliza creste odata cu marirea numarului de parametri fizici implicat de legea cautata. Ipoteza lui Rayleigh privind omogenitatea legilor fizicii nu este valabila in toate cazurile si de aceea solutiile pe care le obtinem sunt uneori eronate sau incomplete.

Rezolvare

Formula de definitie a lucrului mecanic este :

Prin urmare, formula dimensionala este :

Dimensiunea deplasarii d este lungime L, iar functia cosinus este adimensionala: cos a = 1. Pentru a gasi dimensiunea fortei, vom utiliza principiul fundamental al dinamicii :

Folosind definitiile acceleratiei si vitezei, mai obtinem :

Rezulta :

In final :

Rezolvare

Vom porni de la ecuatia de stare a gazului ideal :

Dar :

iar :

Rezulta

Rezolvare

Formula de definitie a tensiunii electrice este :

unde L este lucrul mecanic facut de campul electric la deplasarea sarcinii q. Sarcina electrica poate fi definita in functie de intensitatea curentului electric :

Rezulta :

Rezolvare

Presiunea hidrostatica depinde de densitatea r si adancimea h ale lichidului, precum si de acceleratia gravitationala g. Putem scrie :

Conform conditiei de omogenitate dimensionala, putem scrie :

Substituind cu formulele dimensionale corespunzatoare, rezulta :

De aici :

Prin egalarea exponentilor celor trei dimensiuni, obtinem :

Solutiile acestui sistem de ecuatii sunt x = 1, y = 1 si z = 1. Prin urmare, conditia de omogenitate dimensionala se scrie astfel :

Conform ipotezei facute de Rayleigh, conditia de omogenitate ar reflecta chiar legea cautata :

K fiind un coeficient numeric adimensional care urmeaza sa fie determinat pe cale experimentala.

Rezolvare

Inaltimea ceruta depinde de densitatea r si coeficientul de tensiune superficiala s ale lichidului, de raza tubului capilar r, precum si de acceleratia gravitationala g. Putem scrie : 

Conditia de omogenitate dimensionala este :

Se formeaza sistemul de ecuatii :

Acesta este un sistem compatibil simplu nedeterminat. Va trebui ca una dintre necunoscute sa fie luata ca parametru. Fie aceasta w. Solutiile sunt x = w, y = -w si z = 1 + 2w. Prin urmare, conditia de omogenitate dimensionala se scrie astfel :

Putem scrie si :

Conform ipotezei lui Rayleigh :

Cantitatea continuta in paranteza este un complex adimensional. In adevar :

In general, fiecarei variabile luata ca parametru ii corespunde cate un complex adimensional.

Daca folosim si informatia oferita de enunt, rezulta ca exponentul 1 + 2w al razei capilarului trebuie sa aiba valoarea -1. Rezulta w = -1 si :

Rezolvare

Conditia de omogenitate dimensionala este :

Solutiile sunt x = -1/2, y = 1/2 si z = 1/2. Conform ipotezei lui Rayleigh :

Rezolvare

Conditia de omogenitate dimensionala este :

Solutiile sunt x = -1, y = -1/2 si z = 1/2. Prin urmare, conditia de omogenitate dimensionala se scrie astfel :

Conform ipotezei lui Rayleigh :

Indicatie

Energia campului magnetic al unui curent electric are formula

Indicatie

Forta electromagnetica are expresia