Determinarea validitatii in cazul inferentelor cu propozitii compuse

Determinarea validitatii in cazul inferentelor cu propozitii compuse

Dupa cum am aratat mai inainte, tabelele de adevar, folosite initial pentru a defini cei cinci conectori logici verifunctionali, pot fi folosite si pentru a determina daca o formula este lege logica sau nu. Cum inferentelor valide le corespund o subclasa a legilor logice, si anume clasa tautologiilor in cadrul carora operatorul principal este o implicatie logica, vom putea folosi tabele de adevar pentru a testa validitatea inferentelor cu propozitii compuse. Aceasta metoda se va numi metoda tabelelor de adevar.

Fie urmatorul rationament: "Daca Andreea se casatoreste cu Victor, atunci Iuliana si Ana vor fi domnisoare de onoare. Daca Iuliana si Ana vor fi domnisoare de onoare, atunci Mihai si George vor fi cavaleri de onoare. Dar Andreea se casatorsete cu Victor sau Mihai si George vor fi cavaleri de onoare. In consecinta, Iuliana si Ana vor fi domnisoare de onoare sau Mihai si George vor fi cavaleri de onoare."

Schema logica a acestui argument este reprezentata de urmatoarea inferenta:

Acestei scheme inferentiale ii corespunde urmatoarea formula propozitionala:

[(p→q) & (q→r) & (p r)] → (q r),

pe care o vom nota cu A(p,q,r).

Acesteia ii construim tabelul de adevar corespunzator:

Dupa cum se poate vedea, intrucat coloana din tabel corespunzatoare formulei noastre nu contine decat 1, rezulta ca formula este o tautologie, deci inferenta corespunzatoare formulei in cauza este valida.

Sa luam acum ca exemplu argumentul folosit de filozoful David Hume impotriva credintei crestine in "viata de apoi":

"Daca exista dreptate in aceasta viata, atunci nu este nevoie de o viata viitoare. Daca, pe de alta parte, nu exista dreptate in viata noastra pamanteasca, atunci nu avem niciun motiv sa credem ca Dumnezeu este drept. Dar daca nu avem niciun motiv sa credem ca Dumnezeu este drept, atunci nu avem niciun motiv sa credem ca El ne va asigura o viata viitoare. Astfel, sau nu este nevoie de o viata viitoare, sau nu avem niciun motiv sa credem ca Dumnezeu ne va asigura o astfel de viata."

Schema logica a acestui argument este reprezentata de urmatoarea inferenta:

Acestei scheme logice ii corespunde urmatoarea formula propozitionala:

Pentru o astfel de formula, fiind vorba de patru variabile propozitionale, tabelul de adevar corespunzator este unul mult prea complex. In astfel de cazuri se poate folosi metoda deciziei prescurtate, denumita si metoda tabelelor (de adevar) partiale. Aceasta metoda se bazeaza pe proprietatea implicatiei logice de a nu admite cazul in care antecedentul acesteia este adevarat si consecventul fals. Presupunem deci, prin reducere la absurd, ca antecedentul inferentei noastre, respectiv conjunctia premiselor, este adevarat, iar consecventul fals. Daca in urma acestei presupuneri ajungem la o contradictie (imposibilitate logica), rezulta ca presupunerea (potrivit careia formula este inconsistenta) a fost falsa, deci ca formula in cauza este valida.

In cazul nostru, acest lucru se va desfasura astfel: presupunem ca formula nu reprezinta o lege logica, deci ca este inconsistenta. Rezulta de aici ca vom avea cel putin un caz cand antecedentul inferentei este adevarat si consecventul fals. Consecventul implicatiei este constituit din disjunctia exclusiva"q w s". Din tabelul de valori corespun-zator disjunctiei exclusive, stim ca aceasta este falsa cand ambii membri au aceeasi valoare de adevar. Vom avea astfel doua cazuri, fie cand ambele propozitii sunt adevarate, fie cand ambele sunt false:

1) Sa analizam acum cazul cand cele doua propozitii disjuncte ce formeaza concluzia sunt ambele false, respectiv cand V(q) = 0 si V(s) = 0 (prin V(p) intelegem "valoarea de adevar a lui p", unde p reprezinta o propozitie).

Stim totodata ca antecedentul este adevarat. Cum antecededentul este constituit din conjunctia a trei formule conditionale, si cum din definitia conjunctiei stim ca aceasta este adevarata doar daca toti membrii acesteia sunt adevarati, rezulta ca fiecare dintre aceste formule conditionale trebuie sa fie la randul ei adevarata. In cazul primei implicatii, vom avea V(p → q) = 1, dar cum V(q) = 0 rezulta ca V(p) ≠ 1, deci V(p) = 0. In cazul celei de-a treia implicatii, stim ca V(r → s) = 1 si ca V(s) = 0, de unde rezulta de asemenea ca

V(r) ≠ 1, deci ca V(r) = 0. Dar pentru ca antecedentul sa fie adevarat, trebuie si ca cea de-a doua implicatie sa fie adevarata, respectiv ca sa avem V(¬p → r) = 1. Acest lucru este insa imposibil, intrucat cum V(p) = 0, atunci V(¬p) = 1, iar din faptul ca V(r) = 0 vom avea ca V(¬p → r) = 0. Evident, cum o formula propoziionala nu poate fi simultan si falsa si adevarata, rezulta ca am ajuns la o contradictie logica, deci, presupunerea initiala este falsa, iar formula analizata este valida.

2) Sa luam acum cazul cand cei doi disjuncti sunt ambii adevarati, respectiv V(q) = 1 si V(s) = 1. Conform presupunerii initiale, antecedentul este adevarat. Cum antecedentul este constituit din conjunctia a trei formule conditionale, si cum din definitia conjunctiei stim ca aceasta este adevarata doar daca toti membrii acesteia sunt adevarati, rezulta ca fiecare dintre aceste formule conditionale trebuie sa fie la randul ei adevarata. In cazul primei implicatii vom avea V(p→q) = 1, si cum V(q) = 1, rezulta ca V(p) = 0 sau V(p) = 1. Observam ca in acest caz nu putem sa determinam pe baza proprietatilor implicatiei valoarea propozitiei "p". In cazul celei de-a treia implicatii, stim ca V(r → s) = 1 si ca V(s) = 1, de unde rezulta de asemenea ca V(r) = 1 sau ca V(r) = 0. Dar pentru ca antecedentul sa fie adevarat, trebuie ca si cea de-a doua implicatie sa fie adevarata, respectiv V(¬p → r) = 1. Cum am vazut insa, este posibil sa avem V(r) = 1 si V(p) = 1, deci V(¬p) = 0, de unde rezulta, din definitia implicatiei, ca V(¬p → r) 1. In acest caz, nu am ajuns la nicio contradictie logica, drept pentru care vom spune ca formula in cauza este nevalida, intrucat exista cel putin un caz cand aceasta este falsa. Acest caz este cand V(p) = 0, V(q) = 1, V(r) = 1 si V(s) = 1.

Operatia prin care dam valori literelor propozitionale se numeste interpretare a formulei in cauza. Cum am gasit o astfel de interpretare, rezulta ca formula nu este o lege logica, deci, inferenta corespunzatoare acesteia este nevalida. Este de remarcat ca in cazul in care concluzia implicatiei ar fi fost "¬q & ¬s", argumentul ar fi fost valid. Insa tocmai aceasta concluzie voia Hume sa o infirme