Structuri algebrice

Structuri algebrice

Definitie 1 Fie M o multime nevida. Se numeste lege de compozitie interna sau operatie algebrica interna pe multimea M, orice aplicatie f : M × M → M.

Pentru x, y M, elementul f(x, y) M se numeste compusul lui x cu y.

Definitie 2 Fie f o lege de compozitie pe M si M' o submultime a lui M. O lege de compozitie interna f' definita pe M' se numeste indusa de f daca

f' (x, y) = f(x, y) x, yM'

Din definitie rezulta ca f' este restrictia lui f la submultimea M' × M' a lui M × M. Deci legea indusa exista daca si numai daca x, yM', f(x, y)M'. Restrictia unei functii este unica. Deci legea indusa, daca exista, este unica.

Proprietate 3 Fie f o lege de compozitie interna pe o multime M.

• Spunem ca legea f este asociativa, daca x, y, zM, avem

f(f(x, y), z) = f(x, f(y, z)).

Spunem ca legea f este comutativa, daca x, yM, avem   f(x, y) = f(y, x).

Fie M inzestrata cu 2 legi de compozitie interne, una notata cu # si cealalta cu  | .

Spunem ca legea # este distributiva la dreapta fata de legea | , daca x, y, zM avem :

(x | y) # z = (x # z) | (y # z)

si este distributiva la stanga daca avem : z # (x  | y) = (z # x) | (z # y).

Spunem ca legea # este distributiva bilateral fata de legea | daca este distributiva la drapta si la stanga.

Definitie 4. Fie f o lege de compozitie interna pe o multime M. Un element eM se numeste element neutru pentru legea f, daca xM avem f(x, e) = f(e, x) = x.

Teorema 5. Daca o lege de compozitie interna admite element neutru, atunci acesta este unic.

Definitie 6. Fie f o lege de compozitie interna pe o multime M cu element nutru e si xM. Spunem ca un element x'M este un simetric a lui x , daca f(x, x') = f(x', x) = e.

Teorema 7. Fie f o operatie algebrica asociativa si cu element neutru, definita pe M. Daca xM are un element simetric, atunci acesta este unic.

Demonstratie : Fie x' si x', doua elemente simetrice pentru x; atunci avem:

f(x, x') = f(x', x) = e,

f(x, x') = f(x', x) = e,

unde e este elemental neutru.

De aici rezulta :   x' = f(x', e) = f(x', f(x, x')) = f(f(x', x), x') = f(e, x') = x'.

Teorema 8. Fie f o operatie algebrica asociativa si cu element neutru, definita pe M. Atunci avem :

daca elementele x, yM sunt simetrizabile, compusul lui x cu y este simetrizabil si [f(x, y)]' = f(y', x').

daca elementul xM este simetrizabil, simetricul sau x', este de asemenea simetrizabil si (x')' = x.

Demonstratie : 

daca notam operatia f cu *, folosind asociativitatea lgii de compozitie si definitia simtricului, obtinem:

(y' * x') *(x * y) = y' * (x' * x) *y = y' * e * y = y' * y = e

si (x * y) * (y' * x') = x * (y * y') * x' = x * e * x' = x * x' = e

deci x * y este simetrizabil si simetricul sau este y' * x'.

rezulta din definitia elementului simetric (observand ca x si x' au rol simetric in aceasta definitie) si din unicitata sa.

Definitie 9. Fie f o lege de compozitie interna pe o multime M. Un element aM se numeste element regulat (sau simplificabil) fata de legea f, daca x, yM, din fiecare din relatiile  f(a, x) = f(a, y) si f(x, a) = f(y, a), rezulta x = y.

Teorema 10. Pentru o lege de compozitie interna f definita pe o multime M, asociativa si cu element neutru, orice element simetrizabil este element regulat.

Demonstratie :

Notam legea f cu *. Fie aM un element simetrizabil, a'M simetricul sau si fie x, yM astfel incat : a* x = a * y si x * a = y * a. Atunci avem

a' * (a * x) = (a' * a) * x = e * x = x = a' * (a * y) = (a' * a) * y = e * y = y;

(x * a) * a' = x * (a * a') = x * e = x = (y * a) * a' = y * (a * a') = y * e = y

Definitie 11. Fie M si Ω doua multimi nevide. Se numeste lege de compozitie externa pe multimea M, cu domeniu de operatori Ω, o aplicatie φ : Ω × M → M sau

φ : M × Ω → M. Valoarea f( , x) pe care o ia f in ( , x) Ω × M se numeste compusul lui cu x in raport cu aceasta lege.

Definitie 1 Fie f : Ω × M → M o lege de compozitie externa pe M cu domeniu de operatori Ω si M' o submultime a lui M. O lege de compozitie externa φ pe M' cu domeniu de operatori Ω se numeste indusa de f daca φ( , x) = f( , x) Ω si xM'.

Prin structura algebrica (sau sistem algebric) intelegem o multime (nevida) S impreuna cu una sau mai multe relatii (pe S), printre care relatia de egalitate (ce permite sa decidem daca doua elemente din S sunt identice sau distincte), una sau mai multe operatii (legi de compozitie interna) pe S si o multime de postulate (axiome) relative la elemente, relatii si operatii.

Definitie 13. Numim structura algebrica o multim nevida S impreuna cu relatii, opratii (legi de compozitie interna), legi de compozitie externa (cu domeniile respective de operatori) si o multime de postulate (axiomele structurii respective) ce guverneaza comportara elementelor, relatiilor si legilor de compozitie (interna si externa). Numarul legilor interne, externe si axiomele caracterizeaza specia de structura considerata.

Definitie 14. Doua sisteme algebrice S si S' se numesc izomorfe, daca exista o aplicatie bijectiva intre elementele, relatiile si operatiile lui S si S' astfel incat corespondenta intre elmente 'conserva' toate relatiile si operatiile.

Definitie 15. Daca M este o multime inzestrata cu o structura algebrica si M'M, se numeste structura indusa pe M', de structura din M, structura algebrica determinata de legile induse pe M', de catre legile care definesc structura pe M.

Definitie 16.  O relatie de echivalenta R pe M se zice ca este compatibila cu structura lui M, daca este compatibila cu fiecare din legile care definesc aceasta structura.