Lasand deoparte constrangerea (2), vom relua problema de maximizare a integralei:
(1)
Aceasta problema poate fi privita ca un caz particular
Pe baza acestui fapt, teoremele din sectiunea precedenta
(3) .
Teorema 1. Pentru Lagrangianul (3), fie si ce satisfac ecuatiile:
(7) ,
pe o cale optimala pentru problema de maximizare a (1). Atunci cantitatea conservata este data de:
(8) .
Teorema 2. Pentru Lagrangianul (3), fie ce satisface ecuatiile (7) pe o cale optimala pentru problema de maximizare a(1). Atunci cantitatea conservata este data de:
(10) .
Teorema 3. In Lagrangianul (3), fie functia omogena de grad r in raport cu si . Atunci exista urmatoarea cantitate conservata pentru problama de maximizare a (1):
(15) .
Pentru Lagrangianul de forma (3), vom defini un Hamiltonian modificat (H fiind Hamiltonianul uzual):
,
unde r este gradul de omogenitate al lui U. Atunci cantitatea conservata (15) este scrisa , unde , care va fi redusa la o cantitate conservata ma tarziu.
Teorema 4. In Lagrngianul (3), fie functia omogena de grad r in raport cu si .
