In analiza matematica, o primitiva sau integrala nedefinita a unei functii f este o functie F a carei derivata este egala cu f, adica, F ′ =f. Procesul de calcul al primitivelor se numeste primitivare (sau integrare nedefinita). Primitivele sunt legate de integralele definite printeorema fundamentala a calculului integral, si furnizeaza un mijloc convenabil de calcul al integralelor definite ale multor functii.

Functia F(x) = x³/3 este o primitiva pentru f(x) = x². Intrucat derivata unei constante este zero, x² va avea un numar infinit de primitive; astfel (x³/3) + 0, (x³ / 3) + 7, (x³ / 3) − 42, etc. Astfel, intreaga familie de primitive ale lui x² se poate obtine prin modificarea valorii lui C in F(x) = (x³ / 3) + C; unde C este o constanta arbitrara cunoscuta drept constanta de integrare. Esential este ca graficul fiecarei primitive a unei functii date este o translatie pe verticala ale unei alte functii din familie, locatia fiecarei primitive fiind data de valoare a lui C.

Primitivele sunt importante deoarece pot fi utilizate la calculul integralelor definite, folosind teorema fundamentala a calculului integral: dacaF este o primitiva a unei functii integrabile f, atunci:

Din acest motiv, una din infinit de multele primitive ale unei functii date f este uneori numita 'integrala generala' sau 'integrala nedefinita' a lui f si este scrisa folosind simbolul de integrala fara limite:

Daca F este o primitiva a lui f, si f este definita pe un interval, orice alta primitva G a lui f difera de F printr-o constanta: exista un numar Castfel incat G(x) = F(x) + C oricare ar fi x. C este numita constanta de integrare. Daca domeniul lui F este o reuniune de doua sau mai multe intervale disjuncte, atunci se pot alege constante de integrare diferite pentru fiecare interval. De exemplu

este primitiva cea mai generala pentru f(x) = 1 / x² pe domeniul sau general

Toate functiile continue f admite primitive, iar o primitiva F este data de integrala definita f cu limita de sus variabila:

Varierea limitei de jos produce alte primitive (dar nu neaparat pe toate). Aceasta este o alta formulare a teoremei fundamentale a calculului integral.

Exista multe functii ale caror primitive, desi exista, nu pot fi exprimate in termeni de functii elementare ^[2]. Astfel de exemple sunt

Calculul primitivelor functiilor elementare este adesea considerat mai dificil decat gasirea derivatelor acestora. Pentru unele functii elementare, este imposibil sa se exprime primitivele in termeni de alte functii elementare.

Avem la dispozitie mai multe metode:

- liniaritatea integrarii ne permite sa descompunem integrale mai complexe in altele mai simple

- integrarea prin substitutie, adesea combinata cu identitatile trigonometrice sau cu logaritmul natural

- integrarea prin parti pentru integrarea produsului de functii

- metoda fractiilor partiale permite integrarea tuturor functiilor rationale (fractii de doua polinoame)

- algoritmul Risch

- integralele pot fi cautate intr-un tabel de integrale

- la integrarea multipla, se pot folosi si alte tehnici aditionale, vezi de exemplu integralele duble si coordonatele polare, Jacobianul siteorema lui Stokes

- Sistemele algebrice pe calculator se pot folosi pentru a automatiza partial sau total munca depusa in tehnicile simbolice de mai sus, ceea ce e deosebit de util cand manipularile algebrice implicate sunt foarte complexe sau laborioase

- daca o functie nu are primitive elementare (de exemplu, exp(x²)), integralele sale definite pot fi aproximate folosind integrarea numerica

Pentru a ilustra unele din subtilitatile teoremei fundamentale, se poate observa ce fel de functii discontinue admit primitive. Chiar daca sunt inca intrebari fara raspuns in aceasta zona, se stie ca:

Unele functii patologice cu multimi mari de discontinuitati ar putea admite totusi primitive.

In unele cazuri, primitivele unor astfel de functii pot fi gasite prin integrare Riemann, pe cand in alte cazuri astfel de functii nu sunt integrabile Riemann.

Sa presupunem ca functiile despre care vorbim sunt definite pe intervale deschise.

O conditie necesara, dar nu suficienta, pentru ca o functie f sa admita primitiva este ca f sa aiba proprietatea Darboux. Adica, daca [a,b] este un subinterval al domeniului de definitie al lui f si d este un numar real intre f(a) si f(b), atunci exista un c intre a si b astfel incat f(c)=d. Pentru a vedea aceasta, fie F o primitiva a lui f si sa consideram functia continua g(x)=F(x)-dx pe intervalul inchis [a, b]. Atunci g trebuie sa aiba fie un minim, fie un maxim c in intervalul deschis (a,b) si astfel 0=g′(c)=f(c)-d.

Multimea discontinuitatilor lui f trebuie sa fie o multime neglijabila. Aceasta multime trebuie sa fie si multime F-sigma (pentru ca multimea discontinuitatilor unei functii trebuie sa fie de acest fel). Mai mult, pentru orice multime F-sigma neglijabila, se poate construi o functie f care are o primitiva, si care are multimea data ca multime de discontinuitati.

Daca f admite primitive, este marginita pe subintervale inchise finite ale domeniului de definitie si are o multime de discontinuitati demasura Lebesgue 0, atunci se poate gasi o primitiva prin integrare.

Daca f admite o primitiva F pe un interval inchis [a,b], atunci oricum s-ar alege o partitie , daca se aleg puncte asa cum este specificat in Teorema de medie, atunci suma Riemann corespunzatoare tinde la valoarea F(b)-F(a).

Totusi daca multimea discontinuitatilor lui f are masura Lebesgue pozitiva, la o alta alegere a punctelor intermediare se obtine o valoare semnificativ diferita de suma Riemann, indiferent cat de fina este partitia. Vezi exemplul 4 de mai jos.

Exemple

1. Functia

cu nu este continua in x dar admite primitiva

cu . Deoarece f este marginita pe intervale finit inchise si este discontinua doar in 0, primitiva F se poate obtine prin integrare: .

1. Functia

cu nu este continua in x dar admite primitiva

cu . Spre deosebire de exemplul 1, f(x) este nemarginita in orice interval ce il contine pe 0, deci integrala Riemann nu este definita pe aceste intervale.

Daca f(x) este functia din exemplul 1 si F este o primitiva a ei, si este o multime densa numarabila a intervalului deschis , atunci functia

admite o primitiva

Multimea de discontinuitati a lui g este exact multimea . Deoarece g este marginita pe intervale finite inchise si multimea de discontinuitati are masura 0, primitiva G poate fi gasita prin integrare.

1. Fie o submultime densa numarabila a intervalului deschis . Consideram functia strict crescatoare si continua

Se poate arata ca

pentru toate valorile x unde seria este convergenta, si si ca graficul F(x) are tangenta verticala in toate celalte valori ale lui x. In particular graficul are tangente verticale in toate punctele din multimea .

Mai mult pentru toti x unde derivata este definita. Rezulta ca functia inversa G F este derivabila in toate punctele si ca

oricare ar fi x in multimea care este densa in intervalul . Astfel gadmite o primitiva G. Pe de alta parte, nu se poate ca

fiindca pentru orice partitie , se pot alege puncte intermediare pentru suma Riemann din multimea , care dau valoarea 0 sumei. Rezulta ca g are multimea de discontinuitati cu masura Lebesgue pozitiva. Figura 1 din dreapta arata o aproximare a graficului g(x) unde iar seria este trunchiata la 8 termeni. Figura 2 arata graficul unei aproximari a primitivei G(x), si ea trunchiata la 8 termeni. Pe de alta parte daca integrala Riemann este inlocuita deintegrala Lebesgue, atunci lema lui Fatou sau teorema convergentei dominate arata ca g satisface teoreme fundamentala in acest context.

In exemplele 3 si 4, multimile de discontinuitati ale functiilor g sunt dense doar intr-un interval deschis finit . Totusi aceste exemple pot fi usor modificate pentru a avea multimi de discontinuitati dense pe intreaga dreapta reala . Let

Atunci are o multime densa de discontinuitati pe si are primitiva

Printr-o metoda similara cu cea din exemplul 5, se poate modifica g in exemplul 4 ca sa dispara pentru toate numerele rationale. Daca se foloseste o versiune simplificata a integralei Riemann definita ca limita sumelor Riemann sums la stanga sau ka dreapta pe partitii regulate, se va obtine ca integrala unei astfel de functii g peste un interval este 0 oricand a si b sunt ambele rationale, in loc de . Astfel teorema fundamentala esueaza spectaculos.

Primitivele se mai numesc si integrale generale, si uneori simplu integrale. Cel din urma termen este generic, si nu se refera doar la integralele nedefinite (primitive), ci si la integralele definite. Cand este utilizat cuvantul integrala, fara alte specificatii, cititorul trebuie sa deduca din context daca referirea este la o integrala definita sau nedefinita. Unii autori definesc integrala nedefinita a unei functii ca fiind multimea tuturor primitivelor posibile ale acesteia. Altii o definesc ca fiind un element ales arbitrar din acea multime. Wikipedia adopta aceasta din urma abordare. Functiile elementare includ polinomialele, exponentialele, logaritmii, trigonometricele, functiile trigonometrice inverse si combinarile acestora