Patratele magice

Patratele magice

Un patrat magic consta dintr-un tablou de numere aranjate in forma unui patrat, astfel incat sumele elementelor din fiecare linie, coloana si din cele doua diagonale sa fie identice; valoarea sumei se numeste numar magic. Un patrat magic este de ordin n daca pe o latura a sa sunt asezate n numere, iar in componenta sa intra numerele 1, 2, 3 . , n²; atunci numarul magic poate fi calculat cu formula: numar magic = n(n²+1)/2.

Exista un singur patrat magic de ordinul 3 (cu toate ca prin rotatii si simetrii pot fi obtinute 8 astfel de patrate):

Patratele magice de ordin 4 sunt in numar de 880 (7040 daca sunt considerate si rotatiile si simetriile), iar numarul patratelor magice de ordin 5 este de circa 13.000.000.

Sunt cunoscute mai multe metode de obtinere a patratelor magice, ele diferind pentru patratele de ordin par, respectiv impar.

Metoda:

O metoda foarte simpla consta in urmatoarele actiuni:

Se plaseaza 1 in centrul ultimei coloane;

Se merge in linie oblica, dreapta-jos, cu numarul urmator; daca se iese din patrat prin partea dreapta, se merge in partea opusa, in stanga liniei unde trebuia depus numarul, iar daca se iese prin partea de jos a patratului, se merge in partea de sus a coloanei unde trebuia depus numarul;

Dupa ce se completeaza un grup de n numere, se merge cu o casuta spre stanga, pe aceeasi linie, pentru a se repeta apoi pasul 2 si a genera urmatorul grup de n numere.

Se obtine in final urmatorul patrat magic:

" PATRATUL CU 9 NUMERE"

Se cere elevilor sa completeze casutele cu numere de la 1 la 9, astfel incat suma magica sa fie 15. Elevii pot primi patratul necompletat sau completat partial.

CERINTE:

Sa completeze in timp limitat unul sau mai multe dintre aceste patrate magice.

Va castiga elevul sau grupa care are mai multe patrate completate.

Mod de prezentare a fiselor de lucru:

Solutie: Modele cu completare partiala:

Se da un careu completat si se cere sa se verifice daca este sau nu un patrat magic.

Verificare: linii coloane diagonale

8 + 6 + 13 = 27 8 + 12 + 7 = 27 8 + 10 + 9 = 27

12 + 10 + 5 = 27 6 + 10 + 11 = 27 7 + 10 + 13 = 27

7 + 11 + 9 = 27 13 + 5 + 9 = 27

CONCLUZIA: Este un patrat magic deoarece sumele elementelor din fiecare linie, coloana si din cele doua diagonale sunt identice.

Scrieti in careu cifrele din partea dreapta astfel incat, prin insumare, sa obtineti totalul 15 pe fiecare linie sau coloana.

Rezolvare:

Incercati sa completati tabelul cu "cercurile zburatoare", astfel incat, prin insumare, sa obtineti pe fiecare linie, diagonala sau coloana totalul 36.

Rezolvare:

" PATRATUL CU 16 NUMERE"

Se poate incepe cu patratul in care trebuie sa aseze in asa fel numerele 1, 2, 3, 4 incat adunate pe linie, diagonala sau coloana sa dea suma 10.

Solutii:

Jocul se poate complica cerand sa se dubleze fiecare numar pentru a obtine suma 20, iar pentru suma 30 sa inmulteasca numerele initiale cu 3.

Solutii:

Asezati in careu numerele 2, 4, 6, 8 in asa fel incat adunate pe linie, diagonala sau coloana sa dea suma 20.

Modele cu completare partiala: Solutii:

Completati careul cu numere de la  1 la 16 in asa fel incat adunate pe linie, diagonala sau coloana sa dea suma 34. Rezolvarea poate fi facuta direct sau, in cazul in care intampina dificultati, pe modele cu completare partiala.

Modele cu completare partiala:

Solutii:

Continuati inscrierea in careu a numerelor de mai jos in asa fel incat, pe fiecare linie, diagonala sau coloana sa obtineti suma 34.

Solutie:

Completati careul cu numere de la  6 la 21 in asa fel incat adunate pe linie, diagonala sau coloana sa dea suma 54.

Solutii:

7. Scrieti numerele incepand cu 5 si terminand cu 20 in patratelele libere ale careului alaturat, in asa fel incat prin adunare, sa obtineti suma 50 pe toate liniile si coloanele.

Solutii:

Jocul poate fi complicat prin folosirea unor (figuri) configuratii magice, figuri geometrice alcatuite din linii drepte si curbe care se intersecteaza in puncte "noduri". Problema consta in plasarea in nodurile figurii a unor numere date, astfel incat suma numerelor de pe fiacare linie dreapta si curba sa fie mereu aceeasi.

EXEMPLE:

Puneti cifrele de la 1 la 9 in cerculete astfel incat suma pe fiecare din cele 8 linii drepte si curbe sa fie 18.

Alegeti 13 numere naturale dintre care 11 diferite si 2 identice si scrieti- le in cerculete in asa fel incat suma numerelor pe fiecare latura sa fie 20.

Completati in desenul alaturat cu numere de la  1 la 12 in asa fel incat suma pe oricare directie sa fie 26.

Plasati in nodurile figurii numerele de la 1 la 9 cate o singura data fiecare in asa fel incat pe orice linie dreapta si curba suma numerelor sa fie constanta: 18.

Institutor, Stoleru Mariana

Scoala cu clasele I -VIII Nr.1 Piatra- Neamt