Inele de polinoame

Inele de polinoame

Inelul polinoamelor intr-o nedeterminata.

Fie A un inel comutativ si unitar. Vom face o constructie a inelului de polinoame intr-o nedeterminata peste A, care la inceput nu foloseste scrierea obisnuita a polinoamelor cu ajutorul unei nedeterminate X.

Peste inelul A se considera sirurile f = (a0, a1, a2, . ), ai IA a.i. toti termenii sai, in afara de un numar finit dintre ei, sunt nuli.

Fie A' multimea tuturor sirurilor de acest tip. Sirurile f = (a0, a1 , . ) si g = (b0 , b1 , . ) sunt egale daca si numai daca ai = bi, pentru orice i. Pentru A' se definesc doua operatii algebrice , adunarea si inmultirea, in raport cu care A' devine un inel comutativ si unitar.

Fie f, g IA', f = (a0, a1, a2, . ) , g = (b0, b1, b2, . ). Atunci adunarea se defineste astfel: f + g = (a0 + b0, a1 + b1, a2 + b2, . ).

Este evident ca f + g are numai un numar finit de termeni nenuli, deci f + g I A . Sa verificam ca (A',+) este grup abelian .

Intr-adevar , daca f ,g, h I A , f = (a0, a1, a2, . ), g = (b0, b1, b2, . ),  h = (c0, c1, c2, . ), atunci (f + g) + h = (a0 + b0, a1 + b1, a2 + b2, . ) + + (c0, c1, c2, . ) = [(a0 + b0) + c0, (a1 + b1) + c1, . ] si f + (g + h) = (a0, a1, a2, . ) + [(b0, b1, b2, . ) + (c0, c1, c2, . )] = [a0 + (b0 + c0),a1 + (b1 + c1), . ] .

Cum adunarea in inelul A este asociativa ,avem (ai + bi) + ci = ai + (bi + ci) , i = 1, 2, 3 . , de unde (f + g) + h = f + (g + h) . Analog se arata ca f + g = g + f.

Daca 0 = (0, 0, 0, . ) , atunci 0 + f = (0, 0, . ) + (a0, a1, . ) = (0 + a0, 0 + + a1, . ) = (a0, a1, a2, . ) = f = f + 0, deci 0 este element neutru pentru adunare. Daca fIA', f = (a0, a1, a2, . ), atunci -f = (- a0, - a1, - a2, . ) este opusul lui f si f + (- f) = (- f) + f = 0 .

Inmultirea pe A se defineste astfel:

F g = (a0b0, a0b1 + a1b0, a0b2 + a1b1 + a2b1, . ) = (c0, c1, . ) , unde Ck=

Este clar ca f, gIA'. Inmultirea pe A', astfel definita , este asociativa, comutativa si are element unitate. Sa aratam mai intai asociativitatea .

Fie f, g, h IA' , unde f = (a0, a1, a2, . ) , g = (b0, b1, b2, . ) , h = (c0, c1, ,c2, . ) si sa aratam ca (fg)h = f(gh).

Fie fg = (d0, d1, d2, . ). Atunci . De asemenea, fie

(fg)h = (d0',d1',d2', . ), unde d'm =

Daca gh = (c0,c1, . ), atunci :

si fie f(gh) = (l'0,l'1,l'2, . ), unde :

Deci d'm = l'm pentru orice m. Deci (fg)h = f(gh) . Comutativitatea inmultirii rezulta din faptul ca inmultirea in inelul A este comutativa, iar in expresia produsului polinoamelor f si g termenii factorilor intervin in mod simetric.

Elementul unitate din A' este sirul (1, 0, 0, . ) . Inmultirea pe A' este distributiva fata de adunare. Intr-adevar, cu notatiile de mai sus, rezulta :

f(g + h) = (d0, d1, . ) , unde

fg + fh = (d'0,d'1, . ), unde

Cum operatia de inmultire pe A este distributiva fata de adunare rezulta f(g + h) = fg + fh. Evident are loc si relatia (f + g)h = fh + gh si afirmatia s-a demonstrat.

Propozitia 5.1.

Daca A este un inel unitar comutativ, atunci multimea A' ( a sirurilor de elemente din A, care au numai un numar finit de termeni nenuli) impreuna cu operatiile de adunare si inmultire definite mai sus este un inel comutativ si unitar.

Elementele acestui inel se numesc polinoame peste A sau polinoame cu coeficienti din A .

Daca f = (a0, a1, . ) este un polinom nenul (adica nu toti termenii ai sunt nuli ) si daca n este cel mai mare numar natural cu proprietatea ca an 0 , atunci n se numeste gradul polinomului f . Pentru polinomul nul nu se defineste gradul. Convenim sa consideram gradul sau ca fiind - . Daca gradul (f) = n , atunci a0, a1, . , an se numesc coeficientii polinomului f.

Fie aplicatia u: A A' definita prin u(a) = (a, 0, 0, . ) . Aplicatia u este injectiva , caci, daca u(a) = u(b), atunci (a, 0, . ) = (b, 0, . ) a = b. De asemenea , u(a + b) = u(a) + u(b) si u(ab) = u(a)u(b) , a, b I A , deoarece , dupa definitie , este evident ca (a, 0, . ) + (b, 0, . ) = (a + b, 0, . ) si (a, 0, . ) (b, 0, . ) = (ab, 0, . ) .

Deci u este omomorfism injectiv. Acest fapt permite sa se identifice elementul a IA cu imaginea sa prin u , adica polinomul (a, 0, . ) din A'. Astfel, A se poate considera ca un subinel al lui A'. Notam prin X polinomul (0, 1, 0, . ), care se numeste nedeterminata X. Obtinem:

Pentru orice a I A, avem ax= (0, 0, . , 0, a, 0, . ). Fie acum un polinom de gradul n , f = (a0, a1, a2, . , an, 0, . ) = (a0, 0, 0, . ) + (0, a1, 0, . ) + .

. + (0, 0, . an, 0, . ) = a0(1, 0, . ) + a1(0, 1, 0, . ) + . + an(0, 0, . , 1, 0, . ) =

Daca an = 1 , spunem ca polinomul este unitar. Inelul A' obtinut se numeste inelul polinoamelor in nedeterminata X cu coeficienti in inelul A (sau peste inelul A) si se noteaza cu A[X]. Observam ca f are gradul 0 sau -    daca si numai daca f apartine inelului A. Din definitia sumei si produsului a doua polinoame , rezulta ca grad (f + g) max (grad(f), grad(g)) ; grad(fg) grad(f) + grad(g), pentru  f, g IA[x].

Daca A este un domeniu de integritate , se poate inlocui a doua inegalitate printr-o egalitate.

Propozitia 5.2.

Daca A este un domeniu de integritate, atunci inelul de polinoame A[x] este domeniu de integritate.

Demonstratie:

Fie f, gIA[x] ;

Atunci :

A fiind domeniu de integritate, rezulta din am 0 si bn 0 ca ambn 0, adica fg 0. In particular , pentru un corp comutativ K, inelul polinoamelor de o nedeterminata cu coeficienti in K este un inel integru.

Propozitia 5.3.

Fie A un domeniu de integritate si A[x] inelul polinoamelor in nedeterminata X cu coeficienti in A. Atunci elementele inversabile ale inelului A[x] coincid cu elementele inversabile ale inelului A. deci, cu notatiile cunoscute, avem: u(A[x]) ==u(A).

Demonstratie:

Fie aIA, inversabil in A , adica exista bIA a.i. a b = 1. Evident, aceasta relatie are loc si in A[x] , deoarece a si b sunt polinoame de gradul zero, deci a este inversabil in A[x].

Invers, fie f un polinom din A[x] inversabil. Atunci exista un polinom g I A[x] a.i. fg = 1 si , deci, grad(f) + grad(g) = grad(1) = 0, adica f, g I A. Deci f I A si f este inversabil in A. In particular, pentru un corp comutativ K, polinoamele inversabile din K[x] sunt polinoame de gradul 0 si numai acesta. Daca A nu este domeniu de integritate, putem avea u(A[x]) u(A). Intr-adevar , polinomul neconstant 1 + 2X I Z [x] este inversabil, deoarece (1+2x)(1+2x) = 1.

Exemple . ( Probleme )

1.    Sa se arate ca in inelul Q[x, y], polinomul x + y este ireductibil.

Solutie.

Este clar ca x + y este nenul si neinversabil . Daca ar fi reductibil s-ar descompune astfel: x + y = (a + a x + a y)(b + b x + b y) = a b + (a b + a b )x + + (a b + a b )y + (a b + a b )xy + a b x + a b y . De aici obtinem a b = 0, a b = 1 ,

a b = 1, a b + a b = 0 de unde a = b = 0. Apoi, din a a (a b + a b ) = 0 se obtine se obtine ca a + a = 0, contradictie .

2. Sa se arate ca in inelul C[X, Y] , polinomul X (Y + 1) + X Y + X Y + + XY + Y este ireductibil, n 2 , n I N .

Solutie .

Polinomul poate fi considerat in nedeterminata X cu coeficienti in Q[Y] deci, in inelul Q[X][Y]. Atunci, pentru valoarea particulara y = p, p - prim , in inelul factorial Q[Y] sunt indeplinite conditiile din criteriul lui Eisenstein . Deci, polinomul X (Y+1) +X Y +X Y +XY +Y este ireductibil in inelul Q[X][Y] = Q[X,Y] .

3. Sa se arate ca polinomul f = 3X + 4X - 6X + 7X + 21 este ireductibil in Z[X] .

Solutie .

Polinomul f este primitiv. Aplicam criteriul reductiei pentru p=2. Avem f = X +X +1I Z [X] si aratam ca f este ireductibil in Z [X]. Deoarece f(0) = (1) = 1 0 , rezulta ca f nu are factori de gradul intai in descompunere. Fie acum X +X +1= (aX + bX + c)(mX + nx + pX + q). Prin identificarea coeficientilor se ajunge la am = 1, an + mb = 0, ap + bn + cm = 0, aq + bp + cn = 1, cq = 1. De aici, avem a = m = c = q = 1 si deci, b + n = 0, p + bn = 1, bp + n = 1, b + p = 0, de unde, prin calcul simplu ajungem la a = 1, contradictie. In concluzie, f este ireductibil in Z [X]. Din criteriul reductiei rezulta f ireductibil in Z[X].

6. Inelul claselor de resturi modulo n

Operatiile de adunare si inmultire confera multimii Z a numerelor intregi o structura de inel comutativ unitar si fara divizori ai lui zero .(pe scurt inel integru ) .In acest inel multimea nZ a multiplilor numarului natural n (fixat) formeaza un ideal (bilateral) . Pe de alta parte daca I este un ideal al inelului (Z, +, ) atunci I este un subgrup al grupului (Z, +) deci exista un numar natural n astfel incat I = nZ . Daca I = nZ si J = mZ sunt doua ideale ale lui Z atunci I + J este de asemenea un ideal al lui Z si exista d I Z astfel incat I + J = dZ sau nZ + mZ = dZ (putem presupune d I N) . Din relatia n m I dZ rezulta d n si d m , iar din relatia d I nZ + mZ rezulta ca exista a, b I Z astfel incat d = an + bm . Din urma relatiei deducem ca orice divizor comun al lui m si n este si un divizor al lui d . Prin urmare d este cel mai mare divizor comun al numerelor intregi n si m . Analog se demonstreaza ca daca nZ mZ = qZ atunci q este cel mai mic multiplu comun al lui n si m . De asemenea are loc relatia (nZ)(mZ) = (nm)Z .

Inelele factor ale inelului Z se construiesc prin factorizare cu ideale care au forma nZ , n I N . Reamintim ca pornind de la structura de grup aditiv a lui Z si considerand un subgrup nZ al acestuia , relatia

x y x - y I nZ

este o relatie de echivalenta (numita si relatie de congruenta modulo n ) si notata in teoria numerelor prin x s z (mod n) ale carei clase de echivalenta au forma

Clasele de echivalenta se mai numesc si clase de resturi modulo n , in rolul reprezentantului r putand fi ales totdeauna un numar natural cuprins intre 0 si n - 1 . Multimea acestor clase Zn = capata o structura de grup comutativ in raport cu operatia Constructia amintita tine seama numai de operatia de adunare pe Z . Tinand cont si de operatia de inmultire din Z , deci de structura de inel , se poate completa si structura lui Zn . Astfel operatia

impreuna cu operatia de adunare induc pe Zn o structura de inel comutativ si unitar Acest inel poarta numele de inelul claselor de resturi modulo n . Elementele remarcabile ale acestui inel sunt urmatoarele : 0 - elementul neutru (al operatiei de adunare ) , - opusul clasei , - elementul unitate (al operatiei de inmultire ) .

Aplicatia jn : Z Zn definita prin jn (x) = este un morfism unitar de inele deoarece :

Morfismul jn se numeste surjectia canonica a lui Z pe inelul sau factor Zn . Daca n = 0 atunci fiecare clasa de resturi in Z0 este de forma . Surjectia canonica j0 = Z Z0 este si injectiva , deci inelele Z si Z0 sunt canonic izomorfe .

Daca n = 1 atunci = Z , deci toate numerele intregi fac parte dintr-o singura clasa de resturi , iar inelul Z1 este inelul nul , Z1 = .

Inelul Zn are mai multe aplicatii in teoria numerelor . In continuare , pe baza proprietatilor grupurilor finite vom deduce cateva astfel de rezultate . Pentru aceasta vom stabilii mai intai care sunt unitatile (elementele inversabile ) inelului Zn .

Teorema 6.1. In inelul Zn , n > 1, elementul este inversabil daca si numai daca x si n sunt relativ prime .

Demonstratie. Observam mai intai ca daca x si n sunt relativ prime si y = x + kn , k I Zn , atunci z si n sunt de asemenea relativ prime. Daca este inversabila in Z n atunci exista I Z n astfel incat , de unde xz = 1 + kn , pentru un anumit k I Z . Din relatia

xz - kn = 1

rezulta ca divizorii comuni ai lui x si n sunt 1 , deci x si n sunt relativ prime . Reciproc , daca x si n sunt relativ prime , atunci exista numerele intregi a si b astfel incat ax + bn = 1 .Luand imaginile acestor elemente prin surjectia canonica jn si tinand seama ca jn (n) = 0 rezulta , adica este inversabila in Zn .

Conform teoremei precedente , de exemplu , in Z15 , si sunt inversabile , dar nu este inversabila .

Consecinta . Daca n este numar prim , atunci Zn este corp . Intr-adevar daca n este numar prim , atunci 1, 2, . . n - 1 sunt relativ prime cu n si deci toate elementele inelului Zn diferite de elementul neutru al adunarii () sunt inversabile .

2. Consecinta . Inelul Zn (n > 1) contine atatea elemente inversabile cate numere naturale mai mici ca n si prime cu n exista , adica j (n) elemente , unde j : N N este functia lui Euler .

3. Observatie . Legatura dintre elementele inversabile din Zn si j (n) ne permite sa dam o noua demonstratie faptului ca indicatorul lui Euler este o functie multiplicativa . Pentru aceasta vom demonstra lema care urmeaza .

1. Lema . Daca m1 si m2 , sunt numere intregi relativ prime , atunci .

Demonstratie .   Consideram functia f : Z Zm1 x Zm2 , definita prin f (x) = (j1(x ) , j2 (x)) , unde j j2 sunt surjectiile canonice ale lui Z pe Zm1 , Zm2 . Se verifica imediat ca f este morfism de inele . Daca x I Ker f , atunci m1 x , m2 x , si deoarece m1 , m2 sunt relativ prime , deducem m1m2 x . Daca m1m2 x , atunci    x I Ker f . Deci Ker f = m1m2 Z . Conform teoremei fundamentale de izomorfism Im f Z Ker f = Zm1m2 . Deoarece Im f are m1m2 elemente rezulta ca Im f = Zm1 x Zm2 , de unde izomorfismul din enunt .

Aplicand propozitiile din 5. pentru izomorfismul din lema precedenta se obtine U(Zm1m2) u (Zm1) x U (Zm2) din care deducem ca j( m1m2 ) = j(m1) j(m2)