Grupuri si inele

Grupuri si inele

Definitie 1. O multime G inzestrata cu o lege de compozitie interna f, se numeste grup daca legea f indeplineste urmatoarele conditii, numite axiomele grupului :

(G1)   , f(f(x, y), z) = f(x, f(y, z); (legea este asociativa)

(G2)   , astfel incat , f(x, e) = f(e, x) = x; (legea poseda element neutru)

(G3)   , astfel incat f(x, x') = f(x', x) = e; (orice element din G este simetrizabil).

Daca legea este comutativa atunci grupul se numeste comutativ (abelian).

Definitia 2. O multime G inzestrata cu o lege de compozitie interna * asociativa, se numeste grup daca , ecuatiile a * x = b, y * a = b au solutii (unice) in G.

Observatie 3. Un semigrup este grup, daca si numai daca ecuatiile a * x = b, y * a = b au solutii (unice) in G, .

Definitie O multime G inzestrata cu o lege de compozitie interna * asociativa, se numeste grup daca legea * poseda element unitate la stanga si poseda element simetric la stanga.

Observatie 5. In definitia 1. axiomele (G2), (G3) pot fi inlocuite respctiv cu

(G2')   , astfel incat , f(e_s, x) = x; (legea poseda element neutru la stanga)

(G3')   astfel incat f(x_s, x) = e_s; (orice element x poseda simetric la stanga)

Un grup G se numeste grup finit daca multimea G este finita si infinit in caz contrar.

Daca G este un grup, se numeste ordinul grupului G cardinalul lui G notat |G|; daca G este finit, |G| este numarul natural egal cu numarul elementelor lui G.

Propozitie 6. Fie G un grup multiplicativ si xG. Atunci avem :

xⁿx^m = x^{n + m};

(xⁿ)^m = x^nm.

Definitie 7. Fie (G,*) si (G', ◦) grupuri. O aplicatie f : G → G' se numeste omomorfism de grupuri (sau morfism) daca indeplineste conditia :

f(x * y) = f(x) ◦ f(y),

Un omomorfism de grupuri f : G → G se numeste endomorfism al grupului G.

Propozitie 8. Fie (G,*) si (G', ◦) grupuri. Daca f : G → G' este un omomorfism de grupuri, atunci f(e) = e', e si e' fiind elementul unitate in G, respective G'.

Demonstratie :

Din relatiile x * e = e * x = x, si f omomorfism avem

f(x, e) = f(x) ◦ f(e) = f(x) si f(e * x) = f(e) ◦ f(x) = f(x)

Elementul unitate e' fiind unic, din f(x) ◦ f(e) = f(e) ◦ f(x) = f(x), rezulta f(e) = e'.

Propozitie 9. Imaginea simtricului unui element printr-un morfism de grupuri este simetricul imaginii acelui element.

Demonstratie :

Fie f : G → G' un morfism de grupuri. Grupurile G si G' le presupunem fiind simplificarea scrierii multiplicative.

Avem f(xx^-1) = f(x) f(x^-1) = f(e) = e' si f(x^-1x) = f(x^-1) f(x) = f(e) = e'.

Din f(x) f(x^-1) = f(x^-1) f(x) = e' rezulta ca f(x^-1) = [f(x)]^-1.

Propozitie 10. Daca f : G → G' si g : G' → G' sunt morfisme de grupuri, atunci g ◦ f este morfism de grupuri.

Demonstratie : Presupunem grupurile notate multiplicative. Avem

(g ◦ f)(xy) = g(f(xy)) = g[f(x) f(y)] = g[f(x)] g[f(y)]= (g ◦ f)(x) (g ◦ f)(y).

Definitie 11. Un morfism de grupuri f : G → G' se numeste izomorfism de grupuri daca exista un morfism de grupuri g : G' → G astfel incat g ◦ f = 1_G si f ◦ g = 1_G'.

Un morfism de grupuri este izomorfism daca si numai daca este bijectiv.

Un izomorfism de grupuri f : G → G se numeste automorfism al lui G.

Definitie 12. Fie G un grup. O submultime nevida H a lui G se numeste subgrup al grupului G daca legea de compozitie din G induce pe H o lege de compozitie impreuna cu care H este grup.

Teorema 13. O submultime nevida H a unui grup (multiplicativ) G este subgrup al grupului G daca si numai daca sunt indeplinite conditiile :

,

.

Demonstratie :

'' Presupunem H subgroup al lui G. Din definitie rezulta ca legea de compozitie din G induc o lege de compozitie pe H, adica are loc 1).

Legea indusa poseda elemnt neutru eH astfel incat In particular uu = u si cum u este unic u = uu^-1 = e; deci H contine elemental neutru din G.

Deoarece H este subgrup orice element xH este inversabil si inversul lui x in H coincide cu inversul lui x in G, deoarce inversul este unic, adica .

'' Presupunm 1) si 2) indeplinite. Din 1) rezulta ca legea lui G induce o lege pe H care este asociativa. Din 2) rezulta ca pentru fiecare xH avem x^-1H si deci xx^-1 = eH.

Deci H impreuna cu legea indusa este grup,adica subgroup a lui G.

Teorema 1 Orice submultime nevida H a unui grup (multiplicativ) G este subgrup al grupului G daca si numai daca este indeplinita conditia : .

Fie G un grup si eG elmentul neutru. Submultimile G si al lui G sunt subgrupuri, numite subgrupuri improprii. Orice subgroup H a lui G, diferit de G si se numeste subgrup propriu.

Propozitie 15. Fie G un grup si (H_i)_iI o familie de subgrupuri ale grupului G. Atunci intersectia H = este tot un subgrup al lui G.

Definitie 16. Fie G un grup si X o submultime nevida a lui G. Se numeste subgrup a lui G genetat de X, intersctia toturor subgrupurilor lui G care contin pe X. Multimea X se numeste sistem de generatori al acestui subgrup notat < X >.

Definitie 17. Un grup G se numste de tip finit sau finit generat, daca exista o multime finita de elemente din G care genereaza pe G. Un grup generat de un singur element se numeste grup ciclic sau monogen.

Definitie 18. Fie G un grup. Un subgrup H a lui G se numeste subgrup invariant (sau divisor normal) daca .

Conditia din definitie se mai scrie sub forma :  _x(H)H, unde _x este automorfismul interior al lui G corespunzator elementului x. Deci un subgroup este invariant, daca el contine odata cu orice element al sau si transformatul acestuia prin orice automorfism interior al lui G.

Definitie 19. Fie G un grup. Un subgrup H a lui G se numeste subgrup invariant daca , xHx^-1 = H.

In orice grup G subgrupurile improprii sunt subgrupuri invariante.

Teorema I Fie f : G → G' un morfism de grupuri. Atunci exista un morfism injectiv de grupuri h : G / Ker f → G' astfel incat f = h ◦ p, unde p este morfismul canonic.

Demonstratie :

Fie . Atunci f(xy) = f(x)G'. Deci exista o functie h : G / Ker f → G' definita prin h(x Ker f) = f(x).

Sa aratam ca h este morfism.

Fie x Ker f, y Ker f G / ker f. Atunci h(x Ker f · y Ker f) = h(xy Ker f) = f(xy) =

= f(x) f(y) = h(x Ker f) h(y Ker f).

Daca h(x Ker f) = h(y Ker f), atunci f(x) = f(y) xy^-1Ker f sau xy Ker f

x Ker f = y Ker f. Dci morfismul h este injectiv.

Fie xG. Atunci avem  (h ◦ p)(x) = h[p(x)] = h(x Ker f) = f(x).

Deci, h ◦ p = f, adica urmatoarea diagrama

f

G'

este comutativa.

Teorema II Fie G un grup si H₁ si H₂ doua subgrupuri ale grupului G astfel incat H₁ sa fie subgrup invariant al grupului generat in G de H₁ si H₂. Atunci H₁ H₂ este subgrup invariant al grupului H₂ si xista un izomorfism

h : H₂ / H₁ H₂ → / H₁.

Demonstratie :

H₂ fiind subgrup al grupului , fie H₂ / H₁.

i este injectia canonica, iar p este surjectia canonica si p ◦ i = φ.

Subgrupul contine si pe H₁ si pe H₂, deci contine si pe H₁H₂. La fel H₁H₂ contine si pe H₁ si pe H₂.

Fie xyH₁H₂ si zwH₁H₂, unde x, z H₁ si y, wH₂. Atunci din egalitatea

yw^-1H₁ = H₁yw^-1 (pentru ca H₁ este subgrup invariant in )astfel ca (xy)(zw)^-1 = x(yw^-1z^-1) = x(z'yw^-1)H₁H₂. Deci H₁H₂ este subgrup in G care contine si pe H₁ si pe H₂. Prin urmare, H₁H₂ contine subgrupul . Deci = H₁H₂.

Morfismul este injectiv.daca H₁H₂, xH₁, yH₂ astfel ca p(xy) = p(x)p(y) = p(y) = deoarece H₁ este nucleul lui p. Atunci, (y) = (pi)(y) = p[i(y)] = p(y) =

Deci , astfel incat (y) =

Teorema III Fie G un grup si KH doua subgrupuri invariante ale lui G. Atunci K este subgrup invariant al lui H, H / K al lui G / K si avem .

Demonstratie :

K fiind subgrup invariant in G avem K = xKx^-1, , in particular si pentru . Deci K este subgrup invariant in H. Atunci, putem considera grupurile factor respective,

G / K, H / K si G / H. Consideram aplicatia f : G / K → G / H, f(xK) = xH. Acasta aplicatie este un morfism surjectiv de grupuri. , f(xK · yK) = f(xyK) = = xyH = xH · yH = f(xK) · f(yK).

Morfismul f este surjectiv, deoarece pentru orice clasa xHG / H exista clasa xKG / K astfel incat f(xK) = xH.

Aplicand teorema I rezulta ca exista un izomorfism h : (G / K) / ker f  → G / H; ker f este subgrup invariant in G / K si este format din acele clase xK, astfel incat f(xK) = 1 (unitatea lui G / H). Dar f(xK) = 1 . Rezulta ker f = = H / K.

Deci exista izomorfismul .

Inele

Definitie 20. O multime A inzestrata cu doua legi de compozitie interne, notate de obicei una aditiv, iar cealalta multiplicativ, se numeste inel, daca sunt indeplinite urmatoarel conditii :

(A1)   A impreuna cu operatia de adunare este grup ablian,

(A2)   A impreuna cu operatia de inmultire este semigrup,

(A3)   Inmultirea este distributiva bilateral fata de adunare, adica x(y + z) = xy + xz,

(y + z)x = yx + zx, .

Daca inmultirea in A este comutativa inelul A se numeste inel comutativ.

Daca exista in A element neutru fata de inmultire, atunci inelul A se numeste inel cu element unitate sau inel unitar.

Pe o multime formata dintr-un singur element exista o singura structura de inel, in care acel element este elementul nul. Acest inel il vom numi inel nul. Orice inel care contine cel putin doua elemente il vom numi inel nenul.

Propozitie 21. Daca A este inel si 0A este elementul nul fata de adunare, atunci

x0 = 0x = 0, .

Propozitie 22. Daca A este un inel si x, yA, atunci au loc relatiile :

(-x) y = x (-y) = - (xy),

(-x) (-y) = xy,

(-x)ⁿ =

unde -x este opusul lui xA.

Definitie 23. Fie A un inel. Un element xA se numeste divizor la stanga (la dreapta) al lui zero daca , y ≠ 0 astfel incat xy = 0 (respectiv yx = 0).

Definitie 2 Un inel nenul A, comutativ, cu element unitate si fara divizori ai lui zero se numeste inel integru sau domeniu de integritate.

Definitie 26. Fie A si B doua inele. O aplicatie f : A → B se numeste omomorfism (sau morfism) de inele daca satisface urmatoarele doua conditii :

f(x + y) = f(x) + f(y), ;

f(xy) = f(x) · f(y), .

Definitie 27. Un morfism de inele f : A → B se numeste izomorfism de inele daca exista un morfism de inele g : B → A astfel incat g ◦ f = 1_A si f ◦ g = 1_B.

Daca exista un izomorfism de inele f : A → B atunci vom spune ca cele doua inele sunt izomorfe si vom scrie A B.

Teorema 28. Un morfism de inele este izomorfism de inele daca si numai daca este bijectiv.

Definitie 29. O submultime A' a unui inel A se numeste subinel al inelului A, daca legile de compozitie interna din A induc legi de compozitie interna pe A' impreuna cu care A' formeaza un inel.

Teorema 30. Fie A un inel si A' o submultime nevida a lui A. Atunci A' este subinel al inelului A daca si numai daca sunt indeplinite urmatoarele conditii :

.

Propozitia 31. Intersectia unei familii de subinele ale unui inel este un subinel.

Definitie 32. Fie A un inel. O submultime nevida I a lui A se numeste ideal stang (respectiv drept) sau ideal la stanga (respctiv la dreapta) daca :

.

Un ideal I se numste bilateral daca este ideal la stanga si la dreapta.

Daca inelul A este comutativ notiunile de ideal stang, ideal drept si ideal bilateral coincid.

Definitie 33. Fie A un inel comutativ si I un ideal al lui A. Multimea tuturor elementelor x din A pentru care exista un intreg m > 0 astfel incat x^mI este un ideal al lui A care se numeste radicalul idealului I si se noteaza cu Rad I sau .

Teorema I Fie f : A B un morfism de inele. Atunci exista un izomorfism canonic

: A / ker f → Im f, (x + ker f) = f(x).

Torema II Fie A un inel, B un subinel a lui A si I un ideal in A. Atunci exista un izomorfism de inele : B / (AB) → (B + I) / I.

Torema III Fie A un inel si I, J ideale bilaterale in A, IJ. Atunci exista un izomorfism canonic de inele : A / J → (A / I) / (J / I).

Produsul direct

Fie , doua semigrupuri si sa consideram produsul cartezian . Putem defini pe operatia , definita astfel: . Se observa usor ca este un semigrup, el fiind numit produsul direct al lui S cu T.

Avem asociate cu produsul direct doua morfisme surjective de semigrupuri numite proiectii canonice. Impreuna cu produsul direct, ele satisfac asa - numita "proprietate de universalitate a produsului direct":

Teorema 3.21. un semigrup si morfisme de semigrupuri, morfism astfel incat .

Demonstratie :

Fie . Se constata usor ca f este un morfism de semigrupuri si .

Sa demonstram unicitatea: Fie astfel incat . Pentru orice avem: . Rezulta de aici ca deci f este unica.

Produsul semidirect

Fie S, T semigrupuri si sa presupunem ca avem un morfism de semigrupuri . Pe produsul cartezian definim o noua operatie:

.

Se constata usor ca este un semigrup, el fiind numit produsul semidirect al lui S si T. Il vom nota .

Produsul nodal (wreath product)

Notiunea de "wreath product" este greu de tradus in limba romana. Din punct de vedere a traducerii cuvant cu cuvant, "wreath" ar insemna "cununa". Denumirea de produs nodal a fost intrebuintata de autorii primei carti de introducere algebrica in informatica

Fie T semigrup. Lui ii putem asocia un monoid in modul urmator:

Daca T este monoid, . In caz contrar, se considera un element si definim pe operatia astfel:

Este clar ca este monoid.

Fie S, T doua semigrupuri, multimea tuturor functiilor de la . Pe definim operatia: ,unde este definita prin

Sa verificam asociativitatea. Fie oarecare.

Pentru avem: iar , ceea ce ne completeaza demonstratia.

Asadar, este semigrup si va fi numit produsul nodal al lui S cu T.

Intre produsul nodal si produsul semidirect exista o stransa legatura:

Teorema 3.26. Daca S si T sunt semigrupuri, atunci exista astfel incat