Forma canonica conjunctiva a functiilor logice

Forma canonica conjunctiva a functiilor logice

Conjunctia elementara a unor variabile se defineste ca fiind produsul logic al acestora sau al complementelor lor.

Formula generala pentru acest tip forma canonica este urmatoarea:

Etapele care se parcurg pentru a scrie forma canonica conjunctiva a unei functii logice sunt asemanatoare cu cele de la forma canonica disjunctiva:

Se va realiza tabelul de adevar al functiei caruia i se doreste scrierea formei canonice conjunctive;

Din tabelul de adevar se considera toate combinatiile variabilelor de intrare pentru care functia logica ia valoarea 0;

Se scriu termenii canonici disjunctivi pentru fiecare din aceste combinatii astfel: fiecare termen canonic disjunctiv e format din suma logica a tuturor variabilelor de intrare negate sau nenegate dupa cum in combinatia respectiva variabila binara corespunzatoare are valoarea 1 sau 0. Toti termenii canonici disjunctivi se reunesc prin operatii de produs logic.

Exemplu:

Consideram functia: f = R(0, 3, 4, 6)

1)Tabelul de adevar este urmatorul:

2) Consideram variabilele de intrare pentru care functia are valoarea 1:

i = 0, 3, 4, 6

Se scriu termenii canonici disjunctivi:

3. Forma canonica conjunctiva a functiei este urmatoarea:

4. Metoda Veitch-Karnaugh

Circuitele de codare sau decodare sunt implementate ca automate cu numar finit de stari, folosind porți logice sau bistabile. Pentru ca implementarea acestor coduri sa poata fi realizata și in varianta software cu algoritmi de codare sau decodare se vor folosi procesoare digitale de semnal.

In continuare se va prezenta o metoda de implementare la nivel de circuit a principalelor codecuri de linie binare pe baza sintezei digitale cu ajutorul diagramelor Veitch-Karnaugh.

Aceasta metoda se aplica atat functiilor complet definite cat si celor incomplet definite si permite minimizarea atat a functiilor aproximate sub forma canonica disjunctiva cat si a celor exprimate sub forma canonica conjunctiva.

Aceasta metoda este aplicabila numai la funcțiile care au in componența pana la 6 variabile. De asemenea aceasta funcție trebuie sa mai aiba in componența și un implicant prim care reprezinta orice grupare de minitermeni sau compartimente care nu poate fi inclusa intr-o grupare mai mare, un implicant prim esențial care conține cel puțtin un compartiment care nu intra in componența altui implicant prim, un implicant prim neesențial care reprezinta un implicant prim care nu este esențial, nucleul funcției care reprezinta mulțimea implicanților primi esențiali, o forma minima care conține nucleul și eventual o parte din implicații primi neesențiali necesari pentru a acoperi toate compartimentele care conțin 1.

O prima etapa a acestei metode o reprezinta ordonarea matriceala a conjunctiilor (valorilor functiei). Matricea respectiva contine un numar de linii si de coloane determinat de partitia propusa a variabilelor.

Prin partitia de variabile se defineste separarea unui sir de variabile in doua grupe. Astfel pentru n variabile x_n-1, x_n-2, . ., x, x₀ vom considera partitia [x_n-1 . .x_p], [x_p-1 . x₀ ], unde p=n/2 pentru n numar par sau p= (n-1)/2 sau p= (n+1)/2 pentru n impar.

Se remarca ca echivalentii binari a doua conjunctii (disjunctii) vecine difera doar printr-un rang si ca prin sumarea (inmultirea) a doua conjunctii (disjunctii) vecine, dispare variabila corespunzatoare bitului care se modifica in echivalentul binar. In figura de mai jos vom considera matricea Veitch-Karnaugh a functiei urmatoare:

f = R₁(1, 2, 6, 8,10, 11, 15),

in care se vor trece valorile 1 ale functiei:

Sumarea a doua conjunctii vecine pentru care valoarea functiei este 1 este echivalenta cu cuplarea a doua valori 1 vecine din tabel. Prin aceasta cuplare, termenul rezultant nu va contine variabila pentru care bitul din echivalentul binar isi schimba valoarea.

Iata si expresia functiei:

In general, se pot grupa 2¹, 2², 2³, . ,2^p termeni vecini (valori 1 ale functiei), eliminandu-se din termenul rezultant 1, 2, 3 , . ,p variabile, pentru care echivalentii binari isi schimba valoarea in rangurile corespunzatoare acestor variabile.

Descompunerea acestei diagrame se realizeaza in urmatorul mod:

1. In compartimentul care conține o variabila de sau o expresie de tip boolean se trece 1 iar in celelalte compartimente se va trece valoarea 0 care iși vor patra aceasta valoare iar in celelalte care conțin o variabila 1 vor capata valoarea X. In continuare se va minimiza funcția reprezentata in digrama iar variabila sau expresia de tip boolean se va aplica prin operatorul logic ȘI formei minime a funcției.

2. Se va repeta punctul 1 pentru toate compartimentele care conțin variabile sau expresii de tip boolean.

3. In toate compartimentele care conțin variabile sau expresii de tip bolean se va trece 0, iar compartimentele care conțineau 0 sau 1 iși vor pastra valorile.

4. Se va aplica operatorul SAU expresiilor intermediare obținute la punctele 1, 2 și 3 iar compartimentele care conțin simbolul X nu se vor modifica.