Cautarea datelor in tabele

a.) Cautarea datelor in tabele unidimensionale

Cautarea datelor in tabele este o operatiune utila in situatiile in care sunt necesare verificari ale elementelor unei matrici sau unei serii de elemente ordonate crescator in prima coloana. Versiunile anterioare versiunii MATLAB 5.3 dispun de o functie specifica de cautare in tabele, functia table1(tabel, xi), in timp ce, versiunile recente ale MATLAB dispun functii specifice care realizeaza aceasta operatiune (de cautare in tablouri de date) prin interpolare. Tabelul de date trebuie sa fie organizat ca o matrice astfel incat in prima coloana se gasesc valorile lui x (abscisa ordonata crescator) iar in celelalte coloane sunt valorile y corespunzatoare, printre care pot fi cautate valori intermediare.

Obs.:

Daca x se gaseste intre doua valori din tabel functia table1() returneaza o valoare interpolata liniar;

Functia MATLAB table1() este inlocuita in versiunile superioare ale MATLAB(ulterioare versiunii 5.3) cu functiile interp1(),interp2(), interp3(), interpft(), interplat(), interplon(), interpm(), interpn().

Ex.:

Fiind date perechile de numere (x,y) : (-2,6); (-1,2); (0,3); (2,1); (4,7) ,se cere sa se gaseasca valorile y corespunzatoare pentru x₁ = -1; x₂ = 3; x₃ = 3.5; x₄ = 0.5; x₅ = 3.75; x₆ = -0.573.

Solutie:

-se organizeaza perechile de numere (x,y) ca matrice cu 2 coloane, apoi se foloseste functia table1(), pentru a gasi valorile cerute:

» tablou_original =[-2,6; -1,2; 0,3; 2,1; 4,7];

»y1= table1(tablou_original,-1)

y1 = 2

»y2=table1(tablou_original,3)

y2 = 4

»y3=table1(tablou_original,3.5)

y3 = 5.5

»y4=table1(tablou_original,0.5)

y4 = 2.5

»y5=table1(tablou_original,3.75)

y5 = 6.25

»y6=table1(tablou_original,-0.573)

y6 = 2.427

Atentie !

Coloana I trebuie sa fie monotona (elementele trebuie sa fie ordonate crescator) !

Valorile cautate trebuie sa se incadreze intre cea mai mica si cea mai mare valoare a lui x, altfel, se afiseaza un mesaj de eroare. Astfel, daca se cere sa se gaseasca valoarea corespunzatoare lui y atunci cand x=5, MATLAB afiseaza urmatorul mesaj :

» y7=table1(tablou_original,5)

??? Error using ==> table1

x0 larger than all values in first column

???Eroare la utilizarea ==> table1

x0 este mai mare decat toate valorile primei coloane

b.) Cautarea datelor in tabele bidimensionale

In cazul tablourilor de valori bi- dimensionale (aceste tablouri se caracterizeaza prin urmatoarea particularitate:elementele sunt aranjate dupa doua directii x si y, acestei perechi ii corespunde o a treia valoare z ), functia MATLAB utilizata pentru cautarea valorilor z corespunzatoare unei perechi (x,y) este:

»table2("tab",x,y)

Obs.:

Functia MATLAB table2() este inlocuita in versiunile superioare versiunii MATLAB 5.3 cu functia interp2(), in linia de comanda a versiunilor superioare ale MATLAB apare mesajul de avertizare : "Warning: TABLE2 is obsolete and will be removed in future versions. Use INTERP2 instead." ("Atentie:TABLE2 este depasita si va fi inlocuita in viitoarele versiuni. Folositi INTERP2 pentru acelasi scop!")

Conditii:

-tabelul "tab" este organizat ca o matrice, cu n linii si m coloane, intotdeauna avand, pe pozitia (1,1), elementul 0 ;

-numarul de linii este dat de numarul valorilor argumentului x, la care se adauga o linie pentru introducerea valorilor argumentului y, iar numarul de coloane este dat de numarul valorilor lui y;

-valorile x-ilor se plaseaza pe prima coloana, in ordine crescatoare, incepand cu a 2-a linie;

-valorile y-ilor se plaseaza pe prima linie, in ordine crescatoare, incepand cu a 2-a coloana;

Celelalte elemente ale matricei sunt valorile z (obtinute prin masuratori, calcule, etc.).

Ex. :

Fiind date tripletele:

Sa se gaseasca valorile corespunzatoare perechilor (x,y): (-3,7); (-3,6.5); (-2,6); (50,8); (99,9.9); (-4,8); (2,11).

Solutie:

»tablou_original_2= [0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10;-3,0,1,2,4,8,7,11,0,1,1;

2,9,3,1,7,6,5,3,1,0,-3;8,-8,9,1,0,2,-8,2,1,0,1;

100,0,0,1,7,2,8,1,2,1,10] ;

»z1=table2(tablou_original_2,-3,7)

z1=11

»z2=table2(tablou_original_2,-3,6.5)

z2=9

»z3=table2(tablou_original_2,-2,6)

z3=6.6

»z4=table2(tablou_original_2,50,8)

z4=1.4565

»z5=table2(tablou_original_2,99,9.9)

z5=0.1087

»z6=table2(tablou_original_2,-4,8)

??? Error using ==> table2

x0 smaller than all values in first column

??? Eroare la utilizarea ==> table2

x0 este inferioara valorilor din prima coloana

»z7=table2(tablou_original_2,2,11)

??? Error using ==> table2

x0 larger than all values in first column

??? Eroare la utilizarea ==> table2

x0 este superioara valorilor din prima coloana

interpolarea si Regresia

In foarte multe aplicatii practice apare necesitatea evaluarii aproximative a unei functii . Problema aproximarii functiilor intervine in situatii de o mare diversitate, multitudinea formularilor si metodelor de rezolvare asociate constituind o reflectare directa a acestei diversitati.

In aplicatii este frecvent necesara utilizarea unor functii pentru care sunt cunoscute doar valorile corespunzatoare unui set discret de valori ale argumentelor. Astfel de dependente pot reprezenta, spre exemplu, tabelarea unor functii matematice sau a unor marimi fizice masurate sau calculate. Pentru simplitatea discutiei ne limitam in cele ce urmeaza la functii reale de o variabila reala. In toate cazurile, pentru functia considerata sunt specificate valorile intr-un numar de puncte de retea , adica

Prelucrarea numerica ulterioara a acestor functii impune adesea si utilizarea unor valori corespunzatoare unor argumente diferite de cele tabelate. In multe situatii, insa, obtinerea unor informatii suplimentare este dificila, daca nu chiar imposibila. Astfel, chiar daca este cunoscut algoritmul de calcul al functiei, complexitatea acestuia poate face uneori ineficienta utilizarea lui pentru detalierea iuformatiei. Pe de alta parte, daca valorile tabelate provin din observatii, ele sunt, in general, afectate de erori de masura.

In toate situatiile mentionate, pentru a sintetiza informatia asupra functiei tabelate f si a o putea utiliza eficient in calcule, se impune aproximarea ei printr-o functie continua, numita functie model, care depinde in general de un numar de parametri ajustabili, a_j,-, numiti parametri de model. Forma functiei F si valorile parametrilor a_j trebuie determinate astfel incat functia discreta f sa fie aproximata optim intr-un anumit sens.

Alegerea formei concrete a functiei model F este o problema netriviala si ea trebuie sa aiba la baza o fundamentare riguroasa. In linii mari, stau la dispozitie urmatoarele optiuni:

functia model se alege dintr-o clasa convenabila de functii (cum ar fi: polinoame, functii gaussiene etc.), care ofera simplitate si eficienta in prelucrari ulterioare;

functia model este derivata dintr-o teorie, in cadrul careia parametrii de model au o semnificatie bine stabilita;

functia model rezulta dintr-un compromis intre constrangerile si avantajele optiunilor anterioare.

Pentru a putea determina practic valorile optime ale parametrilor de model, trebuie definita o functionala care sa reflecte gradul in care functia model F aproximeaza functia tabelata f pentru o alegere particulara, a parametrilor. Admitand ca f si F apartin spatiului al functiilor de patrat sumabil pe [a,b], o masura sugestiva a abaterii modelului fata de functia modelata este data de distanta dintre cele doua functii:

unde s-a utilizat notatia vectoriala Evident, aceasta definitie nu este utilizabila ca atare, deoarece implica si cunoasterea expresiei analitice a functiei f. Se poate utiliza, insa, o definitie mai putin riguroasa, dar aplicabila. pentru functii discrete:

Aproximarea pe baza acestei distante este numita aproxirnare in medie patratica ssi este utilizata in douaa dintre cele mai importante metode de mode-lare a functiilor tabelate: mterpolarea si regresia.

Daca, valorile tabelate sunt considerate exacte (neafectate de erori), este firesc sa se impuna anularea distantei dintre functiile f si F

Aceasta revine la construirea unei functii model, apartinand unei anumite clase, care sa ia, in punctele de tabelare , aceleasi valori ca si functia f(x)

Functia care satisface aceste conditii este utilizata, in mod normal, pentru aproximarea functiei f(x) pe intervalul iar procedeul se numeste interpolare Functia poarta numele de functie de interpolare sau interpolant iar nodurile se mai numesc si puncte de interpolare Geometric, interpolarea implica gasirea unei curbe care trece prin toate punctele . De exemplu, presupunand functia y=sinx, reprezentata grafic in punctele , interpolarea in sapte puncte echidistante, ale intervalului, este realizata cu o functie MATLAB specifica, si surprinsa in imaginea alaturata.

Daca, argumentele pentru care se evalueaza interpolantul se afla inafara intervalului procedeul se numeste extrapolare.

Cu un asemenea enunt, general insa, problema poate avea o infinitate de solutii sau nici una, in functie de clasa careia ii apartine functia model.

Problema interpolarii devine neambigua daca in locul unei functii model arbitrare cautam un polinom P_m(x) de grad nu mai mare decat (n - 1), care satisface conditiile de interpolare. Din acest set de conditii se pot determina cei (m+1) coeficienti ai polinomului si metoda se numeste interpolare polinomiala.Functiile de interpolare polinomiale sunt cele mai utilizate in practica. Dintre acestea amintim functia Lagrange si interpolantii spline si Akima (netezi pe portiuni). Totusi, in anumite cazuri se dovedesc utile si functiile de interpolare rationale. La randul lor, functiile trigonometrice conduc la asa-numita interpolare trigonometrica, si la metodele Fourier inrudite.

Daca valorile tabelate provin din observatii, ele sunt afectate in general de erori de masurare, imprecizia fiecarei valori fiind specificata de obicei prin deviatia standard asociata:

In astfel de cazuri, functia model F = F(x; a) este cu atat mai buna cu cat sunt mai elaborate considerentele pe baza carora i s-a stabilit forma (cu cat este mai putin empirica). Avand in vedere imprecizia datelor, nu este de asteptat ca functia model sa interpoleze punctele tabelate (chiar daca acest lucru este teoretic posibil) si este deci firesc sa se impuna minimizarea distantei d(f, F) in raport cu valorile parametrilor:

nu anularea ei riguroasa ca in cazul interpolarii. In mod concret, aceasta revine la determinarea celor m parametri, , ai functiei model F(x; a), apartinand unei anumite clase, care minimizeaza suma abaterilor patratice punctuale ale functiei model fata de datele tabelate:

Acest procedeu se numeste regresie sau ajustare prin metoda celor mai mici patrate. Termenul preluat din limba engleza este fitare (de la 'to fit'-a potrivi), desemnand procesul de ajustare a parametrilor curbei de regresie.

Intr-un context mai larg, functionala reprezinta asa-numita functie de merit a procesului de ajustare. Pentru o apreciere mai nuantata a gradului in care functia model aproximeaza datele masurate, in practica se utilizeaza functii de merit mai elaborate. Oricum, deoarece in mod conventional functia de merit este construita astfel incat valori mici sa corespunda unor abateri reduse ale modelului fata de functia tabelata, procesul de ajustare a parametrilor de model este, in esenta., un proces de minimizare multidimensiona. Unul dintre cele mai utilizate criterii de performanta este cel furnizat de functia de merit 'hi-patrat'

Spre deosebire de functionala functia de merit 'hi-patrat', atribuie ponderi diferite punctelor de tabelare individuale, si anume depinzand de inversul deviatiei standard asociate. In acest fel creste ponderea relativa a punctelor afectate de erori mici, functia model fiind fortata in procesul ajustarii parametrilor sa minimizeze cu precadere distanta fata de aceste puncte in detrimentul distantei fata de punctele mai imprecise (cu mari). In cazul in care deviatiile sunt egale sau nu sunt cunoscute, formalismul se simplifica si revine la regresia cu ajutorul functiei de merit S. Extremum- ul functionalei in raport cu parametrii a_j este caracterizat prin relatiile:

j=1, 2, . , m

sau

j=1, 2, . , m

din care pot fi determinati parametrii a_j. Ajustarea pe baza functiei de merit mai este numita uneori si regresie 'hi-p&trat'.

Curba de regresie y = F(x;a.) nu trebuie sa treaca in mod necesar prin nici unul din punctele tabelate M_i(x_i, y_i), ci doar prin barele de eroare ale acestora (de lungime ), minimizand functionala .

Deoarece erorile de masurare ale datelor induc imprecizii in determinarea parametrilor de model, informatia furnizata de procesul de ajustare nu este completa fara estimarea acestor erori. Admitand ca datele sunt independente, considerente de propagare a erorilor arata. ca varianta (imprecizia probabila patratica.) asociata parametrului a_j rezulta prin cumularea contributiilor ponderate cu de la fiecare valoare discreta y_i

Cresterea fara o justificare teoretica clara a numarului de parametri de model in ideea descrierii cat mai exacte a datelor, eventual chiar a interpolarii lor, nu face functia model 'mai buna' chiar daca reduce valoarea functiei de merit, ci, pe langa lipsa de semnificatie a modelului si a parametrilor adaugati, poate conduce la aparitia unor fenomene numerice greu de controlat. Interpolarea nu trebuie privita deci, in nici un caz, ca o limita ideala a regresiei, cele doua metode de aproximare avand semnificatii diferite si fiind aplicabile in situatii distincte.

In general, datele experimentale reprezinta valori discrete determinate prin diferite metode. Aceste date pot reprezenta analitic o relatie matematica dintre diferitele date experimentale observate si se exprima prin functii ai caror coeficienti se determina, in general, prin rezolvarea unor sisteme de ecuatii lineare. De exemplu, considerand ca s-au masurat, la momentele t = [0 .3 .8 1.1 1.6 2.3]', valorile y = [0.5 0.82 1.14 1.25 1.35 1.40]', se reprezinta grafic dependenta y(t) al carei grafic este o curba convexa.

Metoda celor mai mici patrate

Majoritatea metodelor de aproximare, ajustare, interpolare sau extrapolare, utilizeaza ca metoda de calcul a coeficientilor, metoda celor mai mici patrate. Aceasta metoda minimizeaza suma patratelor reziduurilor: . Reziduum-ul este calculat ca diferenta dintre valoarea "observata" si valoarea previzionata : . MATLAB recunoaste patru tipuri de metode aplicative variante ale metodei celor mai mici patrate:

Metoda lineara a celor mai mici patrate;

Metoda ponderata a celor mai mici patrate;

Metoda robusta a celor mai mici patrate;

Metoda nelineara a celor mai mici patrate.

Metoda linearA a celor mai mici patrate

Aceasta metoda foloseste un model matematic linear (o functie de gradul intai) pentru aproximarea datelor: , in care cei doi coeficienti urmeaza a fi determinati. Metoda se numeste "lineara" intrucat functia, care defineste modelul matematic de aproximare, este de gradul intai in coeficienti. Pentru a ilustra procesul de aproximare prin aceasta metoda, este suficient a arata modul in care este rezolvata ecuatia de gradul intai , in necunoscutele si , daca se considera n puncte cunoscute. Daca se scriu cele n ecuatii corespunzatoare datelor cunoscute, se obtine un sistem de n ecuatii care urmeaza a fi rezolvat: . Diferentiind in raport cu cele doua necunoscute si , intrucat metoda minimizeaza suma patratelor reziduurilor, se obtin doua expresii suplimentare:

Aceste ecuatii sunt rezolvabile in raport cu cele doua necunoscute:

ale carui solutii sunt:

respectiv .

Ceea ce se poate constata usor, este faptul ca utilizarea acestei metode pentru aproximare si ajustare, inseamna doar calcule algebrice simple.

In forma matriceala, metoda lineara a celor mai mici patrate este data de formula:

unde:

-y este un vector coloana (n linii ), al raspunsurilor;

- este un vector coloana (m linii), al coeficientilor;

-X este o matrice nxm, a valorilor previzionate;

- este vectorul coloana (n linii ), al erorilor.

Pentru un polinom de gradul intai, cele n ecuatii cu doua necunoscute, exprimate in functie de y, X si sunt:

Solutia problemei, data prin metoda celor mai mici patrate, este un vector b, care contine vectorul coeficientilor . Ecuatiile generalizate atasate acestui sistem sunt reprezentate prin:

,

cu solutia generalizata:

in care, X^T reprezinta transpusa matricei X.

Aceasta ecuatie poate fi rezolvata folosind operatorul "" (impartire la stanga), respectiv, folosind factorizarea QR.

Solutia de raspuns, previzionata, , se determina cu relatia:

,

unde:

In aceste conditii, reziduurile sunt date de relatia:

Metoda ponderata, a celor mai mici patrate

In evaluarea rezultatelor experimentale, a masuratorilor, in general, se presupune ca, datele obtinute au aceeasi "calitate", deci si varianta este constanta. Daca aceasta presupunere nu este valida, fiind prezente perturbatii evidente, atunci procesul de ajustare a reprezentarilor grafice ale datelor obtinute, este "perturbat" si contine erori. In consecinta, pentru cresterea calitatii aproximarii, se poate folosi metoda, ponderata, a celor mai mici patrate, metoda care introduce un factor de pondere. Aceasta metoda minimizeaza eroarea estimata

in care, reprezinta ponderea reziduala. Aceasta marime arata magnitudinea influentei pe care o are fiecare raspuns in evaluarea finala a parametrului masurat. Ponderarea este recomandata acolo unde se cunosc marimile ponderilor, sau acolo unde este justificata o anumita comportare a acestora.

Ponderile modifica expresia vectorului b, astfel:

,

unde, W, este dat de elementele de pe diagonala principala a matricei ponderilor w.

Ponderile utilizate trebuie sa transforme varianta raspunsurilor in valori constante. Daca este cunoscuta varianta datelor, ponderea este data prin:

in timp ce, daca nu se cunoaste varianta, ponderile se vor aproxima cu relatia:

Aceasta relatie este acoperitoare pentru calculul ponderilor, daca setul de date contine valori identice (repetitii). In acest caz, n reprezinta numarul de replici identice.

Metoda robusta, a celor mai mici patrate

Metoda celor mai mici patrate, in general, este sensibila la valorile "iesite" din setul de valori, adica din modul in care evolueaza acest set de date. Minimizarea influentei iesirilor este realizabila prin metoda, robusta, a celor mai mici patrate. Aceasta metoda este disponibila in doua variante:

1. Metoda reziduurilor absolute (LAR=Least Absolute Residuals)-aceasta metoda aproximeaza setul de valori printr-o curba care minimizeaza diferenta absoluta a reziduurilor, in raport cu diferenta patratelor acestora. Din acest motiv, valorile extreme au o influenta redusa.
2. Metoda ponderilor bipatrate -Aceasta varianta a metodei minimizeaza suma patratelor ponderilor, in care ponderea reprezinta "distanta" lacare se gaseste fiecare punct fata de linia de aproximare. Astfel, punctele apropiate de curba au o pondere ridicata, iar punctele "indepartate" de curba, dau ponderi reduse (valori apropiate de zero).

Metoda ponderilor bipatrate este preferata metodei reziduurilor absolute, intrucat prima metoda minimizeaza efectul valorilor extreme.

Metoda, robusta, a celor mai mici patrate, varianta ponderilor bipatrate utilizeaza un algoritm de ponderare, si urmareste urmatoarea procedura:

1. Aproximeaza modelul prin ponderarea celor mai mici patrate;

2. Se determina reziduurile ajustate, si se "actualizeaza". Reziduurile ajustate, se determina cu relatia:

in care r_i este reziduul patratic uzual, iar h_i este "rotunjirea" care ajusteaza reziduurile prin lipsa. "Actualizarea" se realizeaza prin:

,

unde K este o constanta de reglaj K=4.685. si s este varianta robusta data prin relatia:

in care DMA reprezinta deviatia medie absoluta a reziduurilor;

3. Calculul ponderilor robuste ca functie de u. Ponderile bipatrate sunt date prin:

4. Daca aproximarea este convergenta atunci rezultatul este corect, altfel, se trece la o noua iteratie a ajustarii, prin reintoarcerea la primul pas al procedurii.

Metoda nelineara a celor mai mici patrate

MATLAB dispune de o varianta a metodei celor mai mici patrate care utilizeaza o formulare neliniara pentru aproximarea datelor. Un model nelinear este definit printr-o ecuatie neliniara in coeficienti, sau o combinatie liniara si neliniara (aproximarea Gauss sau aproximarea rationala de polinoame).

In forma matriceala, modelul neliniar este dat de formula:

unde

• y este vectorul coloana al raspunsurilor (n linii);
• f este o functie de si X;
• este vectorul coloana al coeficientilor (m linii);
• X este matricea proiectata a modelului (n linii, m coloane );
• este vectorul coloana al erorilor (n linii).

Modelele nelineare sunt, in general, mai dificil de ajustat decat modelele lineare, intrucat coeficientii nu pot fi estimati prin metode matriciale simple. De aceea, abordarea tehnicilor iterative trebuie sa adopte urmatoarele etape:

1. Startul cu o estimare initiala pentru fiecare coeficient;

2. Se realizeaza ajustarea pentru coeficientii determinati. Raspunsul aproximat este dat de relatia:

care implica si calculul Jacobianului functiei (Jacobianul este definit prin derivatele partiale ale matricei in raport cu coeficientii );

3. Ajustarea coeficientilor si evaluarea aproximarii (in MATLAB sunt disponibili algoritmii: a)-Trust region; b)-Levenberg-Marquardt; c)-Gauss-Newton);

4. Iterarea procesului, prin saltul la pasul 2., atata timp cat nu este realizata convergenta aproximarii.

Datorita naturii procesului de aproximare in sine, nici un algoritm nu este perfect pentru modelul neliniar al metodei celor mai mici patrate. Din acest motiv, atunci cand rezultatele obtinute nu sunt cele asteptate, sau apropiate de cele asteptate, se ia decizia schimbarii metodei implicite de aproximare, mai ales ca metodele neliniare sunt sensibile la punctul de start al aproximarii.

INTERPOLAREA DATELOR,

folosind matlab

Interpolarea, asa cum s-a afirmat si anterior, in cadrul acestui capitol, este un proces prin care se realizeaza estimarea numerica a valorilor intermediare prin care face conexiunea intre punctele corespunzatoare datelor cunoscute. Interpolarea are aplicatii deosebit de importante in procesarea imaginilor si a semnalelor (achizitiei de date). Se disting :metode de interpolare lineara, bi-dimensionala, Spline, Fourier, bi-lineara, bi-armonica, bi-cubica, multi-dimensionala, prin triangularizare.

In figurile urmatoare se poate observa, in principiu, efectul procesului de interpolare, pentru un set de semnale masurate.

Semnalul original Semnalul interpolat

Fie . Se pune problema determinarii unei functii F, care sa aproximeze functia f in intervalul [a,b]. Se recurge la aceasta aproximare in doua cazuri:

-cand nu se cunoaste expresia analitica a lui f, dar se cunosc valorile sale intr-un numar finit de puncte;

-cand expresia analitica a lui f este destul de complicata si cu ajutorul acesteia calculele sunt destul de dificile.

Pentru evaluarea lui f(x) se cauta o alta functie F(x) relativ simpla astfel ca pentru orice valoare a lui x valoarea lui f(x) se alege dintr-o anumita clasa de functii, de exemplu din clasa polinoamelor de grad n sau mai mic, atunci trebuie ca F(x) sa ia aceeasi valoare cu f(x) pentru anumite valori ale lui x. Aceste valori ale lui x sunt adesea numite puncte de interpolare. De asemenea se poate cere ca anumite derivate ale lui F(x) sa ia aceleasi valori cu valorile derivatelor corespunzatoare ale lui f(x) in anumite puncte de interpolare. Se poate arata ca daca F(x) este suma a n+1 termeni ai seriei Taylor pentru f(x) in punctul x=a, atunci F(x) poate fi considerat ca un polinom de interpolare pentru f(x) de grad n sau mai mic, deoarece .

Modele parametrice

In MATLAB sunt disponibile cateva modele parametrice consacrate, pentru interpolarea si aproximarea datelor:

1. Functii exponentiale

Exista doua variante ale acestui model parametric:

• Modelul exponential cu un termen: ;
• Modelul exponential cu doi termeni: ;

Functiile exponentiale sunt utilizate atunci cand rata modificarii unei marimi este proportionala cu dimensiunea initiala a acestei marimi. In functie de semnul exponentului, y este o functie descrescatoare (exponent negativ), sau o functie crescatoare (exponent pozitiv);

2. Serii Fourier

Sunt modele reprezentate prin sume de functii trigonometrice simple:

3. Modelul Gauss

Acest model este utilizat pentru aproximarea valorilor "de varf". De exemplu, aproximarea liniei spectrale de emisie pentru analiza concentratiei chimice, poate fi descrisa printr-o aproximare Gauss. Modelul matematic asociat, este dat de ecuatia:

,

unde a este amplitudinea, b este centroidul, c este dat de latimea relativa a "varfului", iar n este numarul de "varfuri" ce urmeaza a fi aproximate ( )

4. Modelul polinomial

Ecuatia caracteristica acestui model este: , in care (n+1) reprezinta ordinul polinomului, (n) reprezinta gradul polinomului. Ordinul polinomului da numarul de coeficienti ce urmeaza a fi aproximati, iar gradul polinomului arata puterea variabilei previzionate. Modelele polinomiale sunt folosite atunci cand sunt necesare aproximari empirice simple. Acestea pot fi utilizate in cazul interpolarilor sau extrapolarilor seturilor de date.

5. Serii de puteri

Sunt disponibile doua variante ale acestui model, ca si in cazul modelului functiilor exponentiale:

• Modelul seriilor de puteri cu un termen: ;
• Modelul exponential cu doi termeni: ;

6. Expresii rationale

Expresiile rationale sunt date de modele matematice descrise de ecuatii de forma: , in care gradul numaratorului, , respectiv gradul numitorului , iar coeficientul lui este, intotdeauna, unu. Modelele rationale sunt avantajoase datorita flexibilitatii mari in cazul structurilor de date complicate, dar prezinta dezavantajul instabilitatii accentuate atunci cand numitorul ia valori aproape de zero.

7. Sume de sinus

Modelul matematic este dat de relatia: , in care a este amplitudinea, b, este frecventa, iar c este constanta de faza pentru fiecare termen al sumei de sinusi ().

8. Distributia Weibull

Acest model este utilizat in analiza datelor statistice legate de fiabilitatea si de durata de viata a produselor. Expresia matematica este:, in care a este parametrul de scara iar b este factorul de forma. Modelul matematic poate contine un parametru suplimentar c, centroidul, atunci cand x este inlocuit cu x-c. De remarcat ca distributia Weibull nu aproximeaza datele unui set de date, ci aproximeaza curbele astfel incat acestea sa aiba forma apropiata de forma distributiei Weibull.

9. Modele utilizator

Modelele matematice, definite implicit, nu sunt cele mai bune modele in toate cazurile. Din acest motiv, uneori, este necesar a se defini ecuatii specifice unei anumite aplicatii. Aceste ecuatii sunt avantajoase intrucat coeficientii punctului de start al iteratiei se aleg aleatoriu din intervalul [0,1], iar pentru calculul Jacobianului se foloseste diferentiala totala.

Functiile MATLAB pentru interpolarea datelor

In tabelul urmator sunt prezentate selectiv functiile MATLAB, utilizate pentru interpolarea datelor:

Interpolarea lineara

Interpolarea este o operatie similara "cautarii in tabele". Functia MATLAB interp1() interpoleaza intre punctele date, gasind valorile unei functii uni- dimensionale f(x) pe baza acestor puncte. In figura de mai jos este prezentata schematic relatia dintre vectorii x, Y, xi, yi.

Prin interpolarea cu functia MATLAB interp1 se cauta elementele xi in vectorul x, si, pe baza locatiilor acestora, se returneaza valorile yi interpolate printre elementele vectorului y.

In MATLAB 6 sunt disponibile mai multe variante ale functiei interp1():

yi = interp1(x,Y,xi)

yi = interp1(Y,xi)

yi = interp1(x,Y,xi,metoda)

yi = interp1(x,Y,xi,metoda,extrapolata)

Toate variantele de apelare a functiei interp1() returneaza un vector yi continand elementele corespunzatoare elementelor vectorului xi determinate prin interpolarea vectorilor x si Y. Vectorul x specifica punctele in care sunt date valorile Y. Daca Y este o matrice, atunci interpolarea este realizata pentru fiecare coloana a matricei Y. Pentru realizarea corecta a interpolarii este necesara corespondenta intre dimensiunile vectorului xi si dimensiunea matricei Y (in sensul ca aceste doua entitati sa aiba acelasi numar de linii).

Varianta yi = interp1(x,Y,xi,metoda), permite realizarea interpolarii folosind metode alternative:

'nearest' -interpolarea prin puncte apropiate vecine

'linear' -interpolare lineara (implicita)

'spline' -interpolare Spline cubica

'pchip' -interpolare cubica Hermite( Piecewise cubic Hermite interpolation)

'cubic' -Similara interpolarii 'pchip'

'v5cubic' -interpolare cubica, utilizata in MATLAB 5

Daca un element al vectorului xi se gaseste in exteriorul intervalului cuprins de x, atunci, metoda de interpolare specificata, va fi utilizata pentru extrapolare.

Ex. :

Sa se genereze o curba sinusoidala "primara", apoi sa se interpoleze peste un numar mai mare de abscise:

Solutie:

Varianta A

» x = 0:10; 

» y = sin(x);

» xi = 0:.25:10;

» yi = interp1(x,y,xi);

» plot(x,y,'o',xi,yi)

Varianta B

» x = 0:0.1 :10; 

» y = sin(x);

» xi = 0:.25:10;

» yi = interp1(x,y,xi);

» plot(x,y,'o',xi,yi)

Ex. :

Se considera doi vectori: unul reprezentand deceniile 1 pana la 9 ale secolului trecut, cel de-al doilea reprezentand populatia Statelor Unite ale Americii (in milioane locuitori) pentru fiecare inceput de deceniu:

t = 1900:10:1990;
p = [75.995 91.972 105.711 123.203 131.669 150.697 179.323 . 203.212 226.505 249.633];

Se cere estimarea populatiei Statelor Unite ale Americii corespunzatoare anului 1975, apoi sa se estimeze populatia pe fiecare an in parte incepand din 1900 si pana in 2000, reprezentand grafic rezultatul obtinut.

Solutie:

Prin interpolare:

»populatia_in_1975=interp1(t,p,1975)

se obtine rezultatul:

»populatia_in_1975=
214.8585

Interpoland intre anii 1900 si 2000 se obtin rezultatele, respectiv, graficul evolutiei populatiei intre anii 1900 si 2000:

» x = 1900:2000;
» y = interp1(t,p,x);
» plot(t,p,'o',x,y)

Interpolarea bidimensionalA

Interpolarea bi-dimensionala se realizeaza prin functia MATLAB interp2() care se poate apela in urmatoarele variante :

ZI = interp2(X,Y,Z,XI,YI)

ZI = interp2(Z,XI,YI)

ZI = interp2(Z,de_n_ori)

ZI = interp2(X,Y,Z,XI,YI,metoda)

Oricare dintre aceste variante returneaza o matrice ZI care contine elementele corespunzatoare punctelor (XI,YI) si determinate prin interpolare in matricile X, Y si Z, (Z este definita ca functie bi-dimensionala de elementele matricilor X si Y);

Matricile X si Y trebuie sa fie ordonate monoton crescator, si sa fie in acelasi format;

Matricile X si Y definesc punctele in care este data matricea Z.

XI si YI pot fi matrici, caz in care, functia interp2(), determina valorile matricei Z corespunzatoare punctelor (XI(i,j), YI(i,j)).

o  Daca functia interp2 este apelata cu varianta ZI = interp2(Z,XI,YI), atunci se interpreteaza, automat de catre MATLAB, ca X = 1:n si Y = 1:m, unde [n, m]=size(Z)

o  Varianta ZI = interp2(Z,de_n_ori) specifica repetarea interpolarii bi-dimensionale, de n ori.

o  Varianta ZI = interp2(X,Y,Z,XI,YI,metoda) specifica metoda alternativa de interpolare:

'linear' -pentru interpolare bi-lineara

'nearest' -pentru interpolarea pe vecinatati

'spline' -pentru interpolarea spline cubica

'cubic' - pentru interpolarea bi-cubica

Concluzie Oricare dintre aceste variante interpoleaza intre punctele unei retele bi-dimensionale, fiind gasite valorile unei functii f(x,y) care face conexiunea intre punctele intermediare.

De exemplu, se cere interpolarea, pe o retea [X,Y], a functiei MATLAB peaks() (aceasta functie, de doua variabile, este obtinuta prin translatarea si scalarea distributiilor GAUSS), pe o retea [XI,YI] mai fina decat [X,Y] .

Solutia este :

» [X,Y] = meshgrid(-3:.25:3);

» Z = peaks(X,Y);

» [XI,YI] = meshgrid(-3:.125:3);

» ZI = interp2(X,Y,Z,XI,YI);

» mesh(X,Y,Z), hold, mesh(XI,YI,ZI+15)

» hold off

»axis([-3 3 -3 3 -5 20])

Interpolare tridimensionalA

Interpolarea tridimensionala, in MATLAB, se realizeaza cu functia interp3() care se poate apela in urmatoarele variante :

» VI = interp3(X,Y,Z,V,XI,YI,ZI)

» VI = interp3(V,XI,YI,ZI)

» VI = interp3(V,de_n_ori)

» VI = interp3(,metoda)

Oricare dintre aceste variante realizeaza interpolarea prin cautarea valorilor matricei VI, reprezentand valorile intermediare ale functiei tridimensionale V in punctele retelei date de matricile XI, YI si ZI. Matricile, sau vectorii, XI, YI si ZI trebuie sa fie de aceeasi dimensiune, respectiv sa fie ordonate monoton.

De exemplu, folosind si functia MATLAB slice(), se interpoleaza datele retelei tri-dimensionale [x,y,z,v] = flow(10), pentru a gasi valorile corespunzatoare punctelor [xi,yi,zi] :

» [x,y,z,v] = flow(10);

» [xi,yi,zi] = meshgrid(.1:.25:10, -3:.25:3, -3:.25:3);

» vi = interp3(x,y,z,v,xi,yi,zi);

» slice(xi,yi,zi,vi,[6 9.5],2,[-2 .2])

	Planul de sectionare y=[2]

Interpolarea spline, cubica

Curba spline cubica este o curba neteda, definita de un set de polinoame de gradul trei. Curba, « de conectare lina », dintre fiecare set de puncte este definita printr-un polinom de gradul trei, determinat astfel incat sa conduca la tranzitii netede de la un polinom de gradul III la altul. Spre exemplu, trei puncte sunt conectate cu doua curbe de gradul trei, diferite, ceea ce constituie o functie neteda intre toate cele trei puncte.

Obs. : De retinut : diferenta dintre metoda de interpolare lineara si interpolarea spline, care consta in aceea ca metoda spline permite « extrapolarea », adica se pot estima valori care nu se gasesc in setul ordonat.

Interpolarea spline cubica se face in MATLAB cu functia:

yy = spline(x,y,xx)

pp = spline(x,y)

unde:

x,y sunt vectori linie ce contin abscisele, respectiv ordonatele punctelor;

x_i este vector ce contine noua abscisa

Ex.:

Sa se determine valoarea y1 de interpolare pentru x1=2.7; daca:

»x=[0,1,2,3,4,5] ; y=[0,20,60,68,77,100] ;

In MATLAB (considerand ca au fost deja introdusi vectorii x si y):

»y1=spline(x,y,2.7)

y1=67.4340

Ex.:

Folosind aceiasi vectori, se cere interpolarea in punctele (1.5,2.7) respectiv in (1.2,3.4,4.5).

Cele doua valori, in care se cere interpolarea vor fi introduse de la tastatura intre paranteze drepte, deci ca o matrice cu o singura linie (vector linie):

»x=[0,1,2,3,4,5] ; y=[0,20,60,68,77,100] ;

»y2=spline(x,y,[1.5,2.7])

y2=42.2500 67.4340

»y3=spline(x,y,[1.2,3.4,4.5])

y3 = 28.8320 70.0480 86.6250

Ex.:

Folosind vectorii x=[0,1,2,3,4,5]  si y=[0,20,60,68,77,100]  se cere interpolarea in "n=26" puncte echidistante situate intre 0 si 5:

»xi=0:0.2:5;

» yi=spline(x,y,xi)

yi =

Columns 1 through 8

0 -1.2480 0.7360 5.3440 11.9680 20.0000 28.8320 37.8560

Columns 9 through 16

46.4640 54.0480 60.0000 63.9040 66.1120 67.1680 67.6160 68.0000

Columns 17 through 24

68.7760 70.0480 71.8320 74.1440 77.0000 80.4160 84.4080 88.9920

Columns 25 through 26

100.0000

Ex.:

Sa se reprezinte grafic o interpolare lineara si o interpolare spline cubica pentru datele si rezultatele exemplului anterior.

Pentru reprezentarea grafica se va folosi functia MATLAB plot() :

»x i=0:0.2:5;

»y i=spline(x,y,x i);

»plot(x,y,xi,yi,x,y,'o')

Ex.

a) Fiind date 10 perechi de puncte in xOy, sa se traseze graficul rezultat prin interpolare spline pe o retea de patru ori mai fina (x=0:10; y=sin x)

Solutie:

»x = 0:10; y = sin(x);

»xi = 0:0.25:10;

»yi = spline(x,y,xi);

»plot(x,y,'o',xi,yi)

b)

Folosind, pentru x pasul iterarii 0.5 iar functia y=tgx+sinx, sa se reprezinte pe acelasi grafic valorile functiei (y- cu linie punctata de culoare rosie), valorile interpolate prin metoda spline(y_i-cu linie continua de culoare magenta ) si valorile interpolate prin metoda cubic (z_i-cu linie continua de culoare verde):

»x = 0:0.5:10; y = tan(x)+sin(x);

»xi = 0:0.125:10;

»yi = spline(x,y,xi);

»zi=interp1(x,y,xi,'cubic');

»plot(x,y,'r:',xi,yi,'m-',xi,zi,'g-')

Interpolarea multipla

Functia MATLAB utilizata:

»interp1(x,y,xi,'regula')

in care, argumentele au semnificatia cunoscuta, iar 'regula' este cuvantul cheie:

'linear' - interpolare lineara;

'spline' - interpolare spline;

'cubic' - interpolare cubica.

Toate "regulile" necesita ca x sa fie ordonat crescator, in plus, metoda 'cubic' impune ca punctele x sa fie egal distantate.

Ex.

Sa se determine prin interpolare lineara, spline si cubica, si apoi sa se reprezinte grafic punctele corespunzatoare valorilor -10, -9.75, -4.25, 4.15, 0.1, 6.35 daca x=-10:0.5:10, iar y=(log(abs(x+12))+2)./(exp(x)+12).

Solutie :

» x=-10:0.5:10;

» y=(log(abs(x+12))+2)./(exp(x)+12);

» xi=[-10,-9.75,-4.25,4.15,0.1,6.35];

» yi1 = interp1(x,y,xi,'linear');

» yi2 = interp1(x,y,xi,'spline');

» yi3 = interp1(x,y,xi,'cubic');

»plot(x,y,'r:',xi,yi1,'m-',xi,yi2,'g-',xi,yi3,'k-.')

Regresia polinomiala

Datele stocate in vectorul y se pot modela, de exemplu, printr-un polinom de gradul II, ceea ce ar putea fi reprezentat analitic prin functia: , coeficientii a₀, a₁ si a₂ determinandu-se dintr-un sistem de 6 ecuatii (vectorul y are 6 elemente) cu 3 necunoscute:. Presupunand ca sunt date elementele vectorului t si ale vectorului corespondent, y, se formeaza matricea X, a coeficientilor sistemului, in functie de dimensiunea vectorului t, in raport de puterile intai si a doua ale elementelor acestui vector:

» t = [0, 0.3, 0.8, 1.1, 1.6, 2.3]'; y = [0.5, 0.82, 1.14, 1.25, 1.35, 1.40]';X= [ones(size(t)) t t.^2]

X =

1.0000 0 0

1.0000 0.3000 0.0900

1.0000 0.8000 0.6400

1.0000 1.1000 1.2100

1.0000 1.6000 2.5600

1.0000 2.3000 5.2900

Solutia acestui sistem este:

» a=Xy

a =

0.5318

0.9191

-0.2387

»T = (0:0.1:2.5)'; Y = [ones(size(T)) T T.^2]*a; plot(T,Y,'-',t,y,'o'), grid on

Cu aceste date se formeaza modelul matematic polinomial de ordinul II: care interpoleaza valorile vectorului y. Reprezentand grafic acest polinom de gradul II, suprapunand cu graficul anterior, se obtine figura alaturata.

In aceasta reprezentare, polinomul de interpolare este reprezentat cu "linie continua", in timp ce valorile "date" sunt reprezentate cu simbolul grafic "o".

Este evident ca aceasta curba nu aproximeaza foarte exact datele experimentale, de aceea se poate creste gradul polinomului de aproximare, sau se pot folosi alte metode de aproximare.

Regresia exponentiala

Considerand ca model de aproximare o functie exponentiala , in care parametrii ce urmeaza a fi determinati sunt coeficientii, acestia se determina prin metoda celor mai mici patrate. In acest sens, se construieste, si se rezolva sistemul de ecuatii folosind matricea X, a regresiilor:

» t = [0 .3 .8 1.1 1.6 2.3]'; y = [0.5 0.82 1.14 1.25 1.35 1.40]';

» X=[ones(size(t)) exp(-t) t.*exp(-t)];

» a=Xy

a =

1.3974

-0.8988

0.4097

Modelul matematic de aproximare se formeaza cu aceste valori determinate prin rezolvarea sistemului de ecuatii: . Prin evaluarea modelului, pe un interval uniform T=0:0.1:2.5 (care include valorile vectoruluit = [0 .3 .8 1.1 1.6 2.3]'), si suprapunerea graficului Y(T) peste y(t):

»T = (0:0.1:2.5)';

» Y = [ones(size(T)) exp(- T) T.*exp(- T)]*a;

» plot(T,Y,'-',t,y,'o'), grid on

Din aceasta figura se observa ca aproximarea cu o curba exponentiala este mult mai "aproape" de valorile vectorului y = [0.5 0.82 1.14 1.25 1.35 1.40]'.

Regresia multipla

In cazul in care y este o functie de mai multe variabile independente, ecuatiile matriceale, care exprima relatia dintre variabile, pot fi definite pentru a include si datele aditionale. Astfel, daca se presupune ca, pentru doi parametri diferiti, definiti vectorial, x1 = [.2 .5 .6 .8 1.0 1.1]' si x2 = [.1 .3 .4 .9 1.1 1.4]', s-au determinat experimental, statistic sau prin alta metoda, valorile functiei, si acestea sunt cuprinse in vectorul y = [0.17 0.26 0.28 0.23 0.27 0.24]', atunci, functia- model matematic lineara, care ar putea exprima relatia intre parametri, este: , in care a_i reprezinta parametrii lineari ce urmeaza a fi determinati. Regresia multipla determina solutia folosind metoda celor mai mici patrate. Pentru aceasta, se construieste matricea regresiilor, X, si se gasesc coeficientii necunoscuti (a=[a₀; a₁; a₂]):

» x1 = [3.2 4.5 7.6 8.8 1.0 3.1]'; x2 = [2.1 4.3 5.4 8.9 1.1 1.4]'; y = [2.5 3.3 4.5 5.2 8.9 4.7]';

» X = [ones(size(x1)) x1 x2];

» a = Xy

a =

6.4905

-1.0243

0.8208

Cu aceste valori, funtia- model devine:

» y_model=6.4905-1.0243.*x1+0.8208.*x2

y_model =

4.9364

5.4106

3.1381

4.7818

6.3691

4.4643

Pentru a valida acest model, se determina valoarea maxima absoluta a deviatiei datelor modelului fata de datele observate:

» Y=X*a;

» eroarea_maxima=max(abs(Y-y))

eroarea_maxima =

2.5309

Aceasta eroare este suficient de mare pentru a invalida modelul adoptat. Repetand rationamentul si calculele pentru alte valori ale vectorilor x1, x2 si y se obtin urmatoarele rezultate:

» x1 = [.2 .5 .6 .8 1.0 1.1]'; x2 = [.1 .3 .4 .9 1.1 1.4]'; y = [.17 .26 .28 .23 .27 .24]';

» X = [ones(size(x1)) x1 x2];

» a = Xy

a =

0.1018

0.4844

-0.2847

» y_model=0.1018+0.4844.*x1-0.2847.*x2

y_model =

0.1702

0.2586

0.2786

0.2331

0.2730

0.2361

» Y=X*a;

» eroarea_maxima=max(abs(Y-y))

eroarea_maxima =

0.0038

Aceasta eroare denota faptul ca modelul poate fi validat in aceasta varianta.

Aproximarea polinomiala de gradul n

Functia MATLAB polyfit(), determina aproximarea polinomiala, in sensul celor mai mici patrate, a unui set de date. Sintaxa functiei MATLAB este:

a) » p = polyfit(x,y,n)

b) » [p,S] = polyfit(x,y,n)

c) » [p,S,miu] = polyfit(x,y,n)

Descriere:

Apelata in varianta a), functia p=polyfit(x,y,n), determina coeficientii unui polinom de gradul n, p(x), care aproximeaza valorile (x(i)) la y(i), in sensul celor mai mici patrate. Rezultatul, p, este un vector linie cu n+1 coloane, continand coeficientii polinomiali, in ordine descendenta:

Daca functia polyfit este apelata in varianta b), cu parametrii de iesire p si S, atunci, se returneaza coeficientii polinomiali in vectorul linie p, si o structura S, care poate fi utilizata, cu functia polyval, pentru estimarea erorilor de previzionare.

Apelarea cu varianta c), functia polyfit, determina obtinerea coeficientilor polinomului p, in variabila , in care este valoarea medie a variabilei x, respectiv deviatia standard, calculata cu relatia , in care ,iar miu ( parametrul de iesire, in cazul celei de-a treia variante de apelare a functiei polyfit), este vectorul .

De exemplu, daca se considera setul de date masurate x-y, si se doreste aproximarea datelor cu o curba polinomiala de gradul III, atunci secventa MATLAB urmatoare, determina afisarea grafica a rezultatelor aproximarii:

» x = [1 2 3 4 5]; y = [5.5 43.1 128 290.7 498.4];

» p = polyfit(x,y,3)

p =

-0.1917 31.5821 -60.3262 35.3400

Polinomul de aproximare este: .

» x2 = 1:.1:5;

» y2 = polyval(p,x2);

» plot(x,y,'o',x2,y2),ylabel('Valorile determinate pentru y2' ), xlabel('Valorile x2'), grid on

Eroarea aproximArii

Orice aproximare numerica implica si existenta erorilor. O discutie privind erorile de aproximare trebuie sa inceapa avand ca suport asumarea presupunerii ca erorile apar doar in raspunsuri, niciodata in setul de date previzionate, respectiv presupunerea ca erorile au o distributie normala (distributie Gauss), fata de zero (ca medie) si cu varianta constanta (de valoare ).

Presupunerea ca distributia erorilor sa fie normala, trebuie sa fie valida intrucat aproximarea, prin orice metoda, este adecvata doar in cazul unei distributii normale a cantitatilor aproximate. Aceasta presupunere are la baza faptul ca probabilitatea existentei unor valori extreme in setul de date este mica si metoda de aproximare prin cele mai mici patrate are aplicabilitate valida.

Media zero a erorilor inseamna ca acestea au o aparitie pur aleatoare. Daca media erorilor nu este zero aceasta se poate datora faptului ca modelul ales nu este cel convenabil, sau ca erorile nu sunt aleatorii, respectiv ca exista erori sistematice.

Varianta constanta arata faptul ca erorile au o imprastiere constatnta. Datele cu aceeasi varianta se numesc date de aceeasi calitate. Presupunerea ca varianta datelor este constanta nu implica si o ponderare in sensul aproximarii celor mai mici patrate. Aceasta se poate observa si din procedura de aproximare, unde se presupune ca exista diferite nivele ale ponderilor, deci calitati diferite ale datelor. Din acest motiv se utilizeaza ponderile in metoda celor mai mici patrate, pentru a ajusta influenta fiecarei valori din setul de date si a corecta coeficientii aproximarii. Pentru determinarea variantei exista doua relatii analitice de calcul:

, sau , unde .

In MATLAB eroarea de aproximare este determinata cu functia specifica erf(x). Matematic aceasta functie este data de relatia: , in care este o functionala ce determina analitic distributia normala standard dupa o relatie empirica:

in care simbolurile utilizate au semnificatia definita in cazul aproximarii si regresiei polinomiale, respectiv in cazul metodei celor mai mici patrate.

Functia MATLAB erf(x) determina valoarea erorii de aproximare a functiei model, pentru fiecare valoare a elementelor matricei x. Aceasta eroare este determinata prin integrala definita a distributiei normale, cand media normata este setata la zero, iar valoarea variantei este 1/2:

Pentru a se demonstra limitele procedeului de aproximare, printr-o functie polinomiala, se va prezenta un exemplu, ilustrativ. Se genereaza un vector, uniform spatiat, x=0:0.1:2.5, si se determina, cu functia MATLAB erf(), distributia Gauss a erorilor

» x = (0: 0.1:2.5)';

» y = erf(x);

Coeficientii polinomului de aproximare, de gradul VI, sunt determinati cu functia MATLAB polyfit():

»p = polyfit(x,y,6)

» p =

0.0084 -0.0983 0.4217 -0.7435 0.1471 1.1064 0.0004

Pentru a determina cat de apropiata este ajustarea polinomiala, se va evalua polinomul p(x) in punctele vectorului x, si se afiseaza tabelar valorile:x, y, valorile polinomului de aproximare, abaterea valorilor polinomului fata de valorile y:

» f = polyval(p,x);

»tabel = [x y f y-f]

tabel =

Valorile x Valorile y Valorile f Valorile erorii

0 0 0.0004 -0.0004

0.1000 0.1125 0.1119 0.0006

0.2000 0.2227 0.2223 0.0004

0.3000 0.3286 0.3287 -0.0001

0.4000 0.4284 0.4288 -0.0004

0.5000 0.5205 0.5209 -0.0004

0.6000 0.6039 0.6041 -0.0002

0.7000 0.6778 0.6778 0.0000

0.8000 0.7421 0.7418 0.0003

0.9000 0.7969 0.7965 0.0004

1.0000 0.8427 0.8424 0.0003

1.1000 0.8802 0.8800 0.0002

1.2000 0.9103 0.9104 -0.0000

1.3000 0.9340 0.9342 -0.0002

1.4000 0.9523 0.9526 -0.0003

1.5000 0.9661 0.9664 -0.0003

1.6000 0.9763 0.9765 -0.0002

1.7000 0.9838 0.9838 0.0000

1.8000 0.9891 0.9889 0.0002

1.9000 0.9928 0.9925 0.0003

2.0000 0.9953 0.9951 0.0002

2.1000 0.9970 0.9969 0.0001

2.2000 0.9981 0.9982 -0.0001

2.3000 0.9989 0.9991 -0.0003

2.4000 0.9993 0.9995 -0.0002

2.5000 0.9996 0.9994 0.0002

Se poate observa ca, pe acest interval, ajustarea polinomiala este relativ corespunzatoare, dar, daca se extinde intervalul (vectorul x devine x=0:0.1:5), reprezentarea grafica arata ca aproximarea devine neconforma, aceasta deteriorandu-se rapid:

»x = (0: 0.1: 7)';

» y = erf(x);

» f = polyval(p,x);

» plot(x,y,'x',x,f,'-.'),axis([0 5 0 2])

Folosind o alta facilitate oferita de MATLAB, polytool(x,y), care este o aproximare polinomiala de grad n interactiva, se pot observa, in urma catorva manevre simple si intuitive, schimbarile intervenite in aproximarea prin polinoame de diferite grade. Aceasta facilitate ofera un instrument deosebit in analiza erorilor si curbelor de aproximare polinomiale, fiind usor de observat care model polinomial este cel mai adecvat in aproximarea pe un anumit interval finit.

Interfata grafica polytool realizeaza aproximarea intre un vector coloana x si corespondentul y al acestuia. Interfata se activeaza prin introducerea de la tastatura a vectorilor "tinta", x si y, respectiv a functiei specifice polytool(x,y). Modificarea gradului polinomului de aproximare prin regresie este posibila in caseta Degree, in care este necesara inscrierea gradului polinomului (). Valorile interpolate sunt afisate in mod curent, pentru cele doua axe, daca vederea este bi-dimensionala, respectiv in coordonate 3D, daca din meniul Tools, se modifica aspectul imaginii.

Presupunand vectorul x = (0: 0.1: 7)', si valorile functiei y=erf(x), se va realiza aproximarea interactiva cu instructiunile:

» x = (0: 0.1:7)';

» y = erf(x);

» polytool(x,y,6)

obtinandu-se imaginea:

Exista si alte functii MATLAB specifice, pentru aproximare interactiva, precum aoctool care este sinonima functiei polytool, obiectivul principal al acesteia fiind, insa, analiza covariantei modelului de aproximare.