Relatia lui Van Aubel si aplicatii la rezolvarea problemelor de geometrie

Am alcatuit acest material in urma cu 10 ani, prin toamna lui 1991 cu intentia de a-l trimite spre publicare Gazetei Matematice. In cele din urma, m-am razgandit - nu consideram ca este suficient de bine facut pentru a-si gasi locul acolo. Il scot acum de la arhiva in speranta ca voi trezi interesul macar catorva persoane pasionate ca si mine de geometria "clasica".

OBSERVATIE. La vremea liceului (prin toamna lui 1985), dl. profesor Cristian Bosneag de la Liceul de Informatica ne-a predat relatia de care voi vorbi in cele ce urmeaza. In manualele de atunci, nu era cuprinsa nici macar ca exercitiu. In actualele manuale, nu are cum, programa de geometrie fiind supraincarcata cu vectori si geometrie analitica. Geometria "clasica" a fost izolata in clasele VI-VIII, cand elevii abia invata sa rezolve ecuatii de gradul I. Nu sunt impotriva geometriei analitice, dar cred ca 40 de ore in clasa a XI-a erau suficiente. Materialul de fata se vrea o pledoarie in favoarea geometriei "clasice", prea usor aruncata la gunoi de dragul reinnoirii programelor scolare.

Relatia lui Van Aubel

In triunghiul oarecare ABC, se duc cevienele AA', BB' si CC', concurente in punctul I (). Are loc relatia:

Figura 1. Relatia lui Van Aubel

Relatia (1) poarta numele de relatia lui Van Aubel. Sincer vorbind, nu am idee cine a fost Van Aubel. O alta relatie descoperita de el este utila la calculul lungimii unei ceviene plecand din varful unghiului drept intr-un triunghi dreptunghic; aceasta din urma o puteti gasi in excelenta carte "Surprize in matematica elementara" publicata de dr. Viorel Gh. Voda in 1981 la Ed. Albatros.

Sa revenim insa la relatia (1). Utilitatea ei apare imediat: cu ajutorul acestei relatii putem calcula direct raportul segmentelor determinate de punctul de intersectie a trei ceviene pe oricare dintre ele, fara a mai recurge la teoremele lui Menelaus sau Ceva. Relatia este de fapt un 'shortcut' extrem de util la calculul rapoartelor sus-amintite.

Demonstratie. Scriem teorema lui Menelaus in triunghiul AA'C intersectat de transversala BIB':

   (2)

Pe de alta parte, scriem teorema lui Ceva pentru cevienele concurente AA', BB' si CC' si rezulta:

Construim proportii derivate pentru a scoate raportul , pe care il vom inlocui apoi in relatia (2):

Relatia (2) devine astfel:

q.e.d.

Problema rezolvata 1 (105/25 din [1]). Fie M si N doua puncte situate pe laturile (AB) si (AC) ale triunghiului ABC astfel incat:

unde G este punctul de intersectie al segmentelor (BN) si (CM). Sa se demonstreze ca si .

Figura 2. La problema rezolvata 1.

Solutie. Fie . Notam:

Conform teoremei lui Ceva, putem scrie:

(4)

Intra acum in scena starul serii: relatia lui Van Aubel. Conform acesteia, putem scrie:

(5)

(6)

Din relatiile (5) si (6), rezulta imediat ca ; inlocuind aceasta valoare in relatia (6), obtinem . Din relatia (4), se deduce acum imediat ca .

Revenind la notatii, avem:

, q.e.d.

Problema rezolvata 2 (59/20 din [1]). Fie triunghiul ABC. Consideram punctele astfel incat si , unde sunt numere reale pozitive. Sa se calculeze rapoartele si .

Figura 3. La problema rezolvata 2.

Solutie. Notam . Conform teoremei lui Ceva, avem:

(7)

Se scriu acum relatiile lui Van Aubel:

(8)

(9)

Relatiile (8) si (9) exprima chiar rezultatele cerute.

Problema rezolvata 3. (4/97 din [2]) In punctele A si B ale unui cerc, care nu sunt diametral opuse, se duc doua tangente la cerc, care se intalnesc in C. Prin A se duce o paralela la BC, care taie cercul in D. Dreapta CD taie cercul in E, iar dreapta AE intersecteaza pe BC in F. Sa se demonstreze ca:

a)

b) Triunghiurile ACF si CEF sunt asemenea;

c)

d)

e) Sa se determine masura unghiului astfel incat .

Figura 4. La problema rezolvata 3.

Solutie. Aceasta problema este se pare alcatuita de profesorul Octavian Sacter prin anii '50; a fost subiect de admitere la zeci de examene (mai putin punctul e), adaugat ceva mai recent; de altfel, acest punct face legatura cu tema materialului de fata).

a) , ca alterne interne formate de dreptele AD si BC cu secanta DC. Dar .

b) Conform punctului a), cele doua triunghiuri au . In plus, mai avem (unghi comun). Rezulta ca ele sunt asemenea (cazul II).

c) Scriem asemanarea triunghiurilor de la punctul b):

d) Puterea lui F fata de cerc se scrie (O este centrul cercului). Dar triunghiul OBF este dreptunghic in B, deci . Rezulta ca (conform punctului c)), deci .

e) Fie .

Conform teoremei lui Ceva in triunghiul ABC pentru cevienele concurente AF, BG si CH, avem:

(10)

Scriem relatia lui Van Aubel:

Tinem acum cont de ipoteza si de relatia (10). Rezulta:

[CH] este mediana in triunghiul ABC.

Triunghiul ABC este isoscel (, ca tangente duse din C la cerc) mediana [CH] este si inaltime . Pe de alta parte, (diametrul este perpendicular pe mijlocul coardei) punctele O, C, H sunt coliniare [ED] diametru al cercului (unghiul EAD fiind inscris in semicercul EBD) .

Dar [AF] este mediana si inaltime in triunghiul ABC triunghiul ABC este echilateral. Rezulta .

Problema rezolvata 4. Bisectoarele (AD), (BE) si (CF) ale triunghiului ABC sunt concurente in punctul I. Sa se arate ca daca:

, atunci triunghiul este echilateral.

(D.M. Batinetu-Giurgiu, Olimpiada, 1986, etapa locala)

Figura 5. La problema rezolvata 4.

Solutie. Utilizam notatiile obisnuite pentru lungimile laturilor triunghiului dat: . Cunoastem de asemenea notatia .

Conform teoremei bisectoarei in triunghiul ABC, putem scrie:

Scriem relatia lui Van Aubel:

Similar, rezulta ca .

Cum , rezulta ca au loc inegalitatile:

Adunand membru cele trei inegalitati, rezulta . Aceasta fiind o egalitate, toate cele trei inegalitati care s-au adunat pentru a o obtine trebuie sa se transforme in egalitati. Rezulta triunghiul ABC este echilateral, q.e.d.

Problema rezolvata 5. (20/204 din [2]) Fie triunghiul ABC. Unui punct M din interiorul triunghiului i se asociaza numarul real:

unde . Sa se arate ca functia admite un minim atunci cand M coincide cu centrul de greutate al triunghiului ABC.

Solutie. Notam . Conform relatiei lui Van Aubel, avem:

Adunand cele trei egalitati, rezulta ca

Conform inegalitatii mediilor, avem insa . Egalitatea are loc daca si numai daca .

Rezulta ca . Minimul lui este atins cand , adica atunci cand A', B' si C' sunt mijloacele laturilor (BC), (CA) si (AB). In acest caz, M este evident centrul de greutate al triunghiului ABC.

Problema rezolvata 6. Fie M un punct in interiorul triunghiului ABC. Notam . Sa se determine minimul produsului:

Solutie. Analog cu problema precedenta, notam:

Scriem relatiile lui Van Aubel (se pare ca are multe relatii acest domn Van Aubel J

Inmultim cele trei relatii si rezulta:

(11)

Conform inegalitatii mediilor,

, egalitatea avand loc cand

, egalitatea avand loc cand

, egalitatea avand loc cand .

Din relatia (11) si cele trei inegalitati de mai sus, rezulta ca:

, minimul fiind atins cand:

, ceea ce se intampla (vezi problema precedenta) cand M este centrul de greutate al triunghiului ABC. Asadar, produsul P are un minim egal cu 8 cand M=G.

OBSERVATIE. La problemele 5 si 6, nu am mai desenat figurile. Acestea sunt similare cu figura 1, avand insa numele punctelor modificate.

Problema rezolvata 7. Fie triunghiul ABC si punctele mobile , alese astfel incat sa fie respectata conditia . Fie si . Sa se determine valoarea minima a raportului si pozitiile lui D si E pentru care se realizeaza acest minim.

(Marius Stanean, 20679, G.M. 2/1986)

Figura 6. La problema rezolvata 7.

Solutie. Fie si . Se duc inaltimile si (in figura, nu le-am mai inclus din motive de incarcare a desenului).

Avem:

(12)

Similar se arata ca (13)

Se scrie acum relatia lui Van Aubel:

Fie . Minimul raportului este deci egal cu 2, fiind atins atunci cand . In acest caz, rezulta din (12) si (13) ca , deci D si E sunt mijloacele laturilor (AB), respectiv (AC).

Problema rezolvata 8. In triunghiul ABC, bisectoarele interioare ale unghiurilor A si B taie (BC), respectiv (AC) in M si N. Fie . Se cunoaste ca . Sa se calculeze masurile unghiurior triunghiului ABC.

(Admitere, Matematica, sesiunea speciala, 1988)

Solutie. Fie ; evident, (CP este bisectoarea unghiului C.

Conform teoremei bisectoarei, putem scrie (cu notatiile obisnuite intr-un triunghi, ):

; ; (14)

Din relatia lui Van Aubel si relatiile (14), rezulta:

Avem deci sistemul:

Rezolvand acest sistem (nu mai intru in detalii) se gaseste:

Scriem acum teorema cosinusului in triunghiul ABC:

Conform teoremei sinusurilor,

Prin diferenta, rezulta .

Problema rezolvata 9. Daca O este un punct in interiorul triunghiului ABC si A', B', C' celelalte intersectii ale dreptelor OA, OB, OC cu laturile triunghiului, sa se arate ca este adevarata relatia:

(Al. Otet, 21215^*, G.M. 9/1987)

Figura 7. La problema rezolvata 9.

Solutie. Vom utiliza urmatoarea proprietate: Daca in triunghiul ABC luam punctul , avem:

(se demonstreaza usor, tinand seama ca triunghiurile ADB si ADC au inaltimea din A comuna).

Sa revenim acum la problema noastra. Notam pentru inceput rapoartele:

Conform teoremei lui Ceva, avem relatia (15); din aceasta egalitate, rezulta .

Fie . Conform proprietatii amintite, avem:

(16)

Utilizand aceeasi proprietate, rezulta si:

(17)

Scoatem de aici si (18)

Aici intervine relatia lui Van Aubel:

(19)

Pe de alta parte,

(20)

Din relatiile (19) si (20), rezulta:

(21)

Din relatiile (18) si (21) rezulta ca:

(22)

(s-a utilizat aici relatia (15)).

Se impart membru cu membru relatiile (22) si (17) si rezulta:

(23)

Similar, se obtin relatiile:

(24)

(25)

Adunand membru cu membru relatiile (23), (24) si (25), gasim exact:

, q.e.d.

Bibliografie

1. St. Ianus, N. Soare, L. Niculescu, S. Dragomir, M. Tena - Probleme de geometrie si trigonometrie pentru clasele IX-X, E.D.P, 1983
2. D. Branzei, S. Anita, E. Onofras, Gh. Isvoranu - Bazele rationamentului geometric, Ed. Academiei, 1983.