Prelucrarea Masuratorilor Prin Metoda Observatiilor Indirecte (Modelul Gauss-Markov)

Prelucrarea Masuratorilor Prin Metoda Observatiilor Indirecte (Modelul Gauss-Markov)

1.1. Cazul General

In cazul masuratorilor indirecte,valoarea marimilor care ne intereseaza se obtine prin intermediul unei (unor) marimi masurate direct, marimile masurate direct si cele de determinat fiind functional dependente intre ele.

Fie valorile medii ale unor marimi, rezultante din masuratori directe si , marimile ce urmeaza a fi determinate indirect.

Sa presupunem ca intre marimile fizice masurate direct si parametrii de determinat, exista urmatoarele dependente functionale:

, unde: i = 1..n (1.1)

Relatia (1.1) defineste modelul functional.

Problema care se pune este, ca din sistemul (1.1) sa deducem cele mai probabile (cele mai bune) valori pentru .

Daca valorile masurate direct ar fi neafectate de erori, atunci sistemul (1.1) se poate scrie sub forma:

, i = 1..n   (1.2)

unde: cu n s-a notat numarul de masuratori efectuate, iar cu h numarul de necunoscute.

Se fac urmatoarele observatii:

- daca n < h atunci, din punct de vedere matematic, sistemul este nedeterminat; din punct de vedere 'geodezic', numarul de masuratori este insuficient pentru rezolvarea problemei.

- daca n = h atunci, din punct de vedere matematic sistemul este compatibil cu solutie unica; din punct de vedere 'geodezic', se masoara numai strictul necesar pentru rezolvarea problemei.

- daca n > h atunci, din punct de vedere matematic sistemul este incompatibil; din punct de vedere 'geodezic', datorita erorilor de masurare, sistemul devine incompatibil.

In practica, cu oricata grija si pricepere si in oricat de bune conditii s-ar efectua masuratorile, acestea sunt afectate in mod inerent de erori.

Datorita erorilor de masurare, sistemul (1.1) este incompatibil, de aceea marimilor masurate trebuie sa li se aplice niste corectii , astfel incat sistemul sa fie compatibil cu necunoscutele .

Astfel sistemul (1.1) devine:

, unde i = 1..n, n>h (1.3)

Sistemul (1.3) este compatibil dar nedeterminat deoarece avem n ecuatii (n marimi cunoscute) si n + h necunoscute (n corectii aplicate marimilor masurate si h corectii X aplicate parametrilor determinati indirect).

Valorile cele mai probabile ale corectiilor se determina aplicand metoda celor mai mici patrate.

Deci marimile v, reprezinta corectiile ce trebuiesc aplicate marimilor masurate direct, pentru a fi satisfacute toate ecuatiile de tipul (1.1) ce pot fi intocmite, pentru rezolvarea unei anumite probleme.

1.2. Liniarizarea ecuatiilor

Deoarece in majoritatea cazurilor functiile din relatia (1.1) sunt neliniare, compensarea devine foarte greoaie. De aceea, pentru usurarea calculelor de compensare, aceste ecuatii se aproximeaza cu niste ecuatii liniare ce se obtin prin dezvoltarea in serie Taylor, in vecinatatea unor valori , apropiate de cele adevarate.

Valorile probabile ale necunoscutelor vor fi deci:

    (1.4)

in care x_i,, reprezinta niste corectii ce urmeaza sa le determinam prin compensare.

Aceste corectii trebuie sa fie suficient de mici, astfel ca in dezvoltarea in serie sa putem neglija termenii de ordinul 2 si mai mari.

  

(1.5)

Notatii:

(1.6)

  (1.7)

Regula practica de calcul a termenului liber este:

Termenul liber = Valoarea calculata - Valoarea masurata   (1.8)

Relatiile (1.5) vor deveni cu ajutorul notatiilor (1.6) si (1.7):

    (1.9)

Aceasta relatie poarta numele de: 'sistemul liniar al ecuatiilor de corectii'.

Modelul stochastic:

Vectorul marimilor masurate, fiind un vector n dimensional si tinand seama si de relatia :

    (1.10)

rezulta ca matricea de varianta - covarianta va avea forma:

   (1.11)

In relatia (1.11) s-au folosit notatiile:

- care este varianta masuratorii

   (1.12)

- care este coeficientul de corelatie intre marimile si

si (1.13)

unde este covarianta masuratorilor si

Trebuie mentionat ca in relatiile (1.12) si (1.13) termenul este definit uzual ca eroare adevarata. Erorile adevarate sunt definite ca diferente intre masuratorile si valorile lor adevarate si se calculeaza cu urmatoarea formula:

(1.14)

In cazul masuratorilor independente pentru si , matricea de varianta - covarianta devine diagonala si anume:

(1.15)

Relatia (1.15) mai poate fi scrisa si sub urmatoarea forma:

    (1.16)

Tinand cont ca: , rezulta ca:

    (1.17)

Daca masuratorile sunt independente si de aceiasi precizie relatia (1.16) devine:

   (1.18)

unde: 

  (1.19)

Se fac urmatoarele observatii:

- fiecare masuratoare genereaza cate o ecuatie de corectie;

- din expresiile coeficientilor si termenilor liberi, se observa ca marimea masurata direct , deci cea care este afectata de erori, intervine numai in termenul liber;

- din relatia (1.7) se deduce ca eroarea termenului liber este egala cu eroarea marimii masurate, deoarece marimile sunt niste constante. Rezulta deci ca eroarea unei ecuatii de corectie este egala cu eroarea termenului liber a acesteia, coeficientii putand fi considerati niste constante lipsite de erori.

- daca marimile masurate , sunt determinate cu aceiasi precizie si ecuatiile sistemului liniar al corectiilor vor avea aceiasi precizie. In caz contrar vom avea un sistem liniar al ecuatiilor de corectii ponderat.

1.3. Rezolvarea sistemelor de ecuatii liniare

Metodele de rezolvare a sistemelor de ecuatii liniare se impart in doua grupe:

1. Metode exacte, care dau un algoritm finit pentru calculul solutiei (de exemplu regula lui Cramer sau metoda eliminarii lui Gauss);

2. Metode iterative, care permit sa gasim solutia cu o eroare arbitrara mica (dar nenula), sub forma unui sir convergent de vectori Rⁿ (unde n reprezinta numarul ecuatiilor si al necunoscutelor din sistemul dat), a carui constructie se face printr-un proces unic, numit 'proces de iteratie'.

Desigur, metodele exacte nu dau solutia numerica decat cu aproximatie, in masura in care rezultatul unui calcul simplu, de exemplu rezultatul impartirii unor numere prime intre ele, nu se poate da decat cu aproximatie oricat de mica, dar nenula.

Metodele iterative sunt, de regula, simple si comode pentru folosirea masinilor de calcul. Dar fiecare proces iterativ are un domeniu limitat de aplicare, deoarece un proces iterativ poate fi divergent pentru un sistem dat, sau poate sa convearga atat de incet incat sa fie practic inutilizabil.

De regula, metodele iterative se aplica atunci cand coeficientii diagonali ai sistemului sunt mai mari in valoare absoluta decat coeficientii nediagonali, convergenta fiind asigurata in acest caz. Sistemele normale, rezultate in procesul de compensare, se bucura in general de aceasta caracteristica (mai ales in cazul retelelor de nivelment).

Rezolvarea sistemelor de ecuatii normale cu un numar mare de necunoscute necesita calcule destul de laborioase, iar erorile de calcul pot atinge valori apreciabile.

De aceea, caracteristicile si structura ecuatiilor normale, impun alegerea cu discernamant a celor mai adecvate metode de rezolvare.

1.4. Verificarile principale la compensarea prin metoda

masuratorilor indirecte

4.1. Liniarizarea ecuatiilor si stabilirea valorilor aproximative pentru necunoscute

Controlul acestei etape se face prin verificarea principala a compensarii care consta in determinarea in dublu mod a valorilor marimilor compensate mi, si anume:

Prin introducerea necunoscutelor: X = X⁰ + xi, in ecuatiile initiale, trebuind sa avem: 

   (1.20)

Daca conditia din relatia (1.20) de mai sus nu este indeplinita, inseamna ca liniarizarea, dupa regula Taylor, nu a fost bine executata, sau valorile aproximative au fost alese nefavorabil, astfel ca termenii de ordinul II si superiori neglijati au valori ce influenteaza compensarea,

in acest caz intreaga compensare trebuie refacuta, rezultatele obtinute X, fiind folosite ca noi valori aproximative.

1.4.2 Intocmirea ecuatiilor normale

Verificarea se face cu ajutorul sumelor pe randuri.

1.4.3 Rezolvarea ecuatiilor normale

Verificarea se face cu ajutorul sumelor pe randuri din schema Gauss ( in faza de reducere) si prin introducerea necunoscutelor in sistemul normal.

1.4.4 Calculul corectiilor

Verificarea se face prin calculul [ vv ], prin mai multe metode.

1.5. Tratarea matriceala a masuratorilor indirecte. Cazul masuratorilor ponderate.

Fie sistemul liniar al ecuatiilor de corectii ponderat (de pondere p_i):

,  i = 1..n, n>h (1.21)

Notatii:

; matricea coeficientilor sistemului de ecuatii de corectii,

; vectorul corectiilor sistemului de ecuatii de corectii,  

; vectorul corectiilor aduse parametrilor determinati indirect,

; vectorul termenilor liberi,

; matricea ponderilor sistemului de ecuatii de corectii. (1.22)

Cu ajutorul notatiilor (1.22), din relatia (1.21) rezulta ca forma generala a sistemului de ecuatii de corectii va fi:

(1.23)

Sistemul (1.22) este nedeterminat. Valorile cele mai probabile se determina utilizand metoda celor mai mici patrate, aceasta putandu-se exprima sub forma:

    (1.24)

efectuand inlocuirile, folosindu-ne de relatiile (1.23) si (1.24) rezulta:

    (1.25)

 

   (1.26)

Relatia (1.26) reprezinta sistemul normal in cazul masuratorilor indirecte ponderate.

Rezolvarea sistemului normal se face astfel:

Notam si (1.26) devine:

    (1.27)

Relatia (1.27) reprezinta rezolvarea sistemului normal in cazul masuratorilor indirecte ponderate.

Corectiile se vor aplica marimilor determinate indirect, marimilor aproximative rezultand marimile estimate:

(1.28)

unde:

- reprezinta valori compensate

- reprezinta valori aproximative (provizorii)

- reprezinta corectiile aplicate valorilor aproximative.

Cu ajutorul valorilor determinate in relatia (1.28) se determina vectorul rezidurilor , care se aplica marimilor masurate , rezultand marimile estimate ale acestora date de relatia:

(1.29)

1.6. Calculul preciziilor in cazul masuratorilor indirecte ponderate

Pentru evaluarea preciziilor se folosesc urmatoarele relatii:

1. Eroarea medie patratica a unitatii de pondere

; (1.30)

unde:

n - reprezinta numarul de ecuatii (numarul de masuratori);

h - reprezinta numarul de necunoscute.

2. Erorile medii patratice ale necunoscutelor

;   (1.31)

unde cu Q s-a notat matricea cofactorilor

    (1.32)

3. Eroarea medie patratica a unei functii de marimi determinate indirect

Fie functia , unde parametrii reprezinta marimi determinate indirect. Eroarea medie patratica a acestei functii este:

, (1.33)

unde:

    (1.34)

iar

cu ; (1.35)

1.7. Tratarea matriceala a masuratorilor indirecte. Cazul masuratorilor de aceiasi precizie.

In acest caz forma generala a sistemului de ecuatii de corectii va fi:

   (1.36)

sistemul normal de ecuatii va avea forma:

    (1.37)

notam,

(1.38)

- reprezinta matricea normala a sistemului  

cu notatia de mai sus si cu ajutorul relatiei (1.37) rezulta:

- vectorul necunoscutelor (1.39)

Relatia (1.38) reprezinta rezolvarea sistemului normal in cazul masuratorilor indirecte de aceiasi precizie.

Ca si in cazul masuratorilor indirecte ponderate, corectiile obtinute din relatia (1.38) se vor aplica marimilor aproximative rezultand marimile estimate. Cu aceste marimi estimate se va determina vectorul rezidurilor, care se va aplica marimilor masurate pentru a determina marimile estimate ale acestora. Relatiile folosite in acest caz sunt similare celor folosite in cazul masuratorilor indirecte ponderate.

1.8. Calculul preciziilor in cazul masuratorilor indirecte de aceiasi    precizie

Evaluarea preciziilor se va face cu relatiile:

1. Eroarea medie patratica a unei singure masuratori

;     (1.40)

unde:

n - reprezinta numarul de ecuatii(numarul de masuratori);

h - reprezinta numarul de necunoscute.

2. Erorile medii patratice ale necunoscutelor

;   (1.41)

unde cu Q s-a notat matricea cofactorilor

    (1.42)

1.9. Elipsa erorilor

In lucrarea de fata voi prezenta consideratii privind doar elipsa absoluta.

1.9.1. Generalitati

Abaterea standard a parametrilor este data de relatia (1.41) sau (1.31):

   (1.43)

cu observatia ca - reprezinta elementele de pe diagonala principala a matricei cofactorilor:

(1.44)

1.9.2.Elipsa absoluta

Pozitia planimetrica a punctului (determinat in urma compensarii prin metoda celor mai mici patrate), depinde de doi parametri: x si y. Deoarece erorile medii patratice si , isi modifica valorile la o schimbare de reper (o rotatie a axelor) ceea ce produce o uniformitate in estimarea preciziei, este necesar a se gasi un invariant care sa depinda numai de precizia de masurare a elementelor retelei si de configuratia acesteia. Acest invariant este elipsa erorilor(fig . ..).

Fie un punct P_j de coordonate (X_j,Y_j), ale carui coordonate au fost obtinute in urma compensarii. Totodata s-a obtinut si blocul bidimensional:

  (1.45)

bloc extras din matricea generala a cofactorilor : .

Elementele elipsei erorilor vor fi :

- semiaxele elipsei:

- semiaxa mare

(1.46)

- semiaxa mica

- unghiul de orientare:

   (1.47)

unde:

(1.48)

Elipsa erorilor poate fi utilizata pentru:

- determinarea domeniului de incredere pentru pozitia planimetrica a coordonatelor punctului

- determinarea directiilor dupa care eroarea are valori extreme (maxim si minim)

- determinarea erorii pe orice directie (determinata analitic sau grafic)

- optimizarea  retelei geodezice - masuratori sau a configuratiei pentru obtinerea unor elipse omogene sau izotrope (fig 5 . . .).