Oscilatii mecanice cu un singur grad de libertate

Oscilatii mecanice cu un singur grad de libertate

Un sistem mecanic poate sa sufere deplasari fata de un anumit sistem de referinta. Daca parametrii care descriu aceste deplasari se modifica alternativ in timp in jurul valorilor corespunzatoare starii de referinta se spune ca sistemul efectueaza oscilatii sau vibratii.

Miscarea oscilatorie este foarte frecventa in natura si in tehnica. Exemple de oscilatii pot fi: deplasari ale atomilor, moleculelor retelelor cristaline fata de pozitiile de echilibru, deplasari ale moleculelor de aer in timpul propagarii undelor sonore, masa unui seismograf, balansierul unui ceas, etc.

Daca toate elementele miscarii se repeta periodic dupa un anumit interval de timp, se spune ca oscilatiile sunt periodice. De exemplu miscarea balansierului unui ceas este periodica. Daca elementele miscarii unui sistem mecanic nu se repeta periodic, miscarea oscilatorie este aperiodica. Zgomotele sau vibratiile scoartei Pamantului in timpul unui cutremur sunt exemple de oscilatii aperiodice.

Deplasarile sistemului mecanic fata de starea de referinta poate fi insa foarte complicata. Studierea acestora se face prin generalizarea miscarii oscilatorii a unui sistem mecanic cu un grad de libertate, adica a miscarii in care are loc modificarea in timp a unui singur parametru (deplasare liniara, unghiulara, etc.).

In continuare se analizeaza doar oscilatiile periodice cu un singur grad de libertate, deoarece analiza oscilatiilor periodice cu mai multe grade de libertate este mai dificila si depaseste scopul acestui curs.

Oscilatorul armonic liniar

Pentru analizarea miscarii oscilatorii periodice este utila alegerea unui model care sa reflecte cat mai fidel comportarea sistemului mecanic real. Cu cat miscarea oscilatorie este mai complicata, cu atat modelul mecanic al miscarii va fi mai complicat.

Cel mai simplu model de oscilator periodic, cu un grad de libertate, este prezentat in figura 1.

Acesta modeleaza comportarea unui sistem alcatuit dintr-un corp de masa m, suspendat prin intermediul unui element elastic (de exemplu un resort, de masa neglijabila), de un reper fix. Sub actiunea greutatii corpului, resortul se alungeste pana ajunge intr-o pozitie de echilibru. Scotand corpul din pozitia de echilibru prin alungirea sau comprimarea resortului, pe directie verticala si apoi eliberand corpul, acesta va incepe sa oscileze in jurul pozitiei de echilibru. Pozitia corpului in orice moment este complet determinata prin abscisa x masurata de la pozitia de echilibru x = 0. Prin conventie se considera ca axa lui x are originea in pozitia de echilibru si sensul pozitiv indreptat in sensul alungirii resortului.

In timpul miscarii corpului de masa m in jurul pozitiei de echilibru, in elementul elastic apare o forta F_e dependenta de marimea si sensul deplasarii corpolui care oscileaza. Totdeauna forta elastica F_e are sens contrar deplasariicorpului, fiind indreptata spre pozitia de echilibru.

Se spune ca oscilatorul este liniar, daca forta elastica depinde liniar de deplasarea corpului care oscileaza, fata de pozitia de echilibru. Oscilatia corpului este liniara.

Daca oscilatiile corpului fata de pozitia de echilibru sunt mici, ecuatia miscarii corpului poate fi exprimata cu ajutorul functiilor armonice sinus sau cosinus:

(1.1)

    (1.2)

Daca ecuatia de miscare a corpului care oscileaza poate fi scrisa cu ajutorul functiilor armonice sinus sau cosinus atunci se spune ca oscilatorul este armonic.

Oscilatorul armonic liniar este acel oscilator a carei ecuatie de miscare este o functie armonica de timp si pentru care forta elastica ce apare in elementul elastic depinde liniar de deplasarea corpului care oscileaza, fata de pozitia de echilibru.

Modelul oscilatorului armonic este o idealizare a miscarii oscilatorii a sistemelor mecanice; miscarile oscilatorii din natura si tehnica putand fi exprimate doar in anumite limite cu ajutorul acestui model. Studierea miscarilor mai complicate se poate aborda cu ajutorul unor modele mai complexe care mai tin con si de actiunea altor forte asupra sistemului mecanic (cum ar fi fortele perturbatoare sau fortele de amortizare).

In ecuatia de miscare a oscilatorului armonic liniar intervin urmatoarele marimi:

x elongatia, sau deplasarea sistemului fata de pozitia de echilibru la un moment dat;

A amplitudinea, sau elongatia maxima;

w pulsatia, sau numarul de oscilatii complete efectuate in timp de 2p secunde. Unitatea de masura in Sistemul International este [w]_SI =rad s^-1;

T perioada oscilatiei, sau timpul scurs intre doua treceri ale sistemului oscilant prin acelasi punct, pe aceeasi directie si in acelasi sens;

[T]_SI = s (1.3)

n frecventa oscilatiei, sau numarul de oscilatii complete efectuate de sistem in unitatea de timp;

[n] _SI = rad  (1.4)

wt + j faza oscilatiei (argumentul functiei sinus sau cosinus), exprimata in Sistemul International in radiani;

j faza initiala, sau diferenta de faza intre doua oscilatii a caror ecuatii de miscare sunt:

x₁ = Asin wt si x₂ = Asin (wt + j (1.5)

j]_SI = rad

Pentru oscilatorul armonic liniar a carui ecuatie de miscare poate fi exprimata matematic sub forma relatiilor (1.1) si (1.2), graficul variatiei elongatiei in timp este prezentat in figura 2.

	a)                                   b) Fig. 2

Daca ecuatia de miscare a corpului care oscileaza este descrisa de ecuatia (1.1)

atunci viteza corpului, exprimata ca derivata intaia a elongatiei in raport cu timpul, este:

(1.6)

si acceleratia corpului, exprimata ca derivata intaia a vitezei in raport cu timpul, sau derivata a doua a elongatiei in raport cu timpul, este:

(1.7)

Asupra corpului de masa m, care oscileaza va actiona o forta elastica:

(1.8)

orientata totdeauna in sens opus elongatiei. Aceasta forta este deci o forta de tip central, numita forta elastica si tinde sa aduca de fiecare data corpul care oscileaza in pozitia de echilibru.

Pentru oscilatorul liniar, forta elastica depinde liniar de elongatie si poate fi scrisa sub forma:

(1.9)

in care k se numeste constanta elastica.

Comparand relatiile (1.8) si (1.9) se obtine relatia dintre constanta elastica a elementului elastic si pulsatia miscarii oscilatorii:

sau (1.10)

2 Constantele elastice ale unor elemente elastice cu un grad de libertate

Pentru a cunoaste ecuatia de miscare a unui corp, care oscileaza armonic liniar, conform relatiei (1.1), este necesar sa se cunoasca amplitudinea A, faza initiala j si pulsatia w

Amplitudinea si faza initiala se determina daca se cunosc conditiile initiale ( elongatia x si viteza v la momentul initial t = 0) asa cum se va exemplifica in paragrafele urmatoare.

Pulsatia corpului de masa m, suspendat de un element elastic conform figurii 1, se poate determina, daca se cunoaste constanta elastica a elementului elastic, pe baza relatiei (1.10).

In general, pentru determinarea constantei elastice a unui element elastic de lungime ℓ, se fixeaza unul din capetele elementului elastic de un reper fix, ca in figura 3 si se actioneaza asupra celuilalt capat cu o forta F, cunoscuta. Se masoara alungirea Dℓ a elementului elastic in urma actiunii fortei F. Daca alungirile sunt mici, se poate considera ca forta elastica este proportionala cu alungirea si prin aplicarea relatiei (1.9), de proportionalitate, se poate scrie:

(2.1)

din care se poate calcula valoarea constantei elastice k.

In cazul unei bare elastice, confectionate dintr-un material elastic, supuse unei forte de intindere, se poate calcula constanta elastica k, din valoarea modulului de elasticitate longitudinal E. Se stie din legea lui Hook ca alungirea relativa este proportionala cu efortul unitar exercitat de forta de intindere F asupra sectiunii transversale S a barei elastice:

(2.2)

Comparand aceasta relatie cu relatia (2.1), se poate exprima constanta elastica a elementului elastic, sub forma de bara, in functie de lungimea acesteia, de aria sectiunii transversale S si de natura materialului din care este confectionata bara (exprimata pin modulul de elasticitate longitudinal E, obtinut din tabele):

(2.3)

Exista si alte relatii de calcul a constantelor elastice ale diverselor elemente elastice, specifice fiecaruia.

In cazul in care un anumit corp de masa m este fixat de repere fixe prin mai multe elemente elastice este util sa se determine constanta elastica echivalenta a tuturor elementelor elastice. Elementele elastice pot fi:

legate in paralel;

legate in serie;

legate mixt (unele in serie si altele in paralel).

a)   Cazul in care elementele elastice de constante elastice k₁ respectiv k₂, sunt legate in paralel este prezentat schematic in figura 4 a) si b). Corpul de masa m este suspendat prin intermediul acestor elemente elastice de repere fixe. Se pune problema inlocuirii celor doua elemente elastice cu unul singur, de constanta elastica echivalenta k_p, ca in figura 4 c) astfel incat miscarea corpului de masa m sa fie identica.

Daca se scoate sistemul din pozitia de echilibru, actionand cu o forta F, in elementele elastice apar fortele F₁ si F₂ de sens contrar fortei F astfel incat F = F₁ + F₂, in care:

F₁ = - k₁x₁ si F₂ = - k₂x₂ (2.4)

Daca se inlocuiesc cele doua elemente elastice cu unul singur, pentru a obtine aceeasi deplasare a corpului sub actiunea fortei F se poate scrie ca x = x₁ = x₂ si deci:

F = - k₁x₁ - k₂x₂ = - (k₁ + k₂)x = - k_px (2.5)

Se obtine astfel constanta elastica echivalenta ca fiind:

k_p = k₁ + k₂ (2.6)

In cazul in care sistemul elastic este alcatuit din mai multe resorturi montate in paralel, prin acelasi rationament, se obtine:

(2.7)

b) Pentru un sistem elastic alcatuit din mai multe resorturi, legate in serie, ca in figura 5, se pune, la fel, problema inlocuirii celor doua elemente elastice, cu unul singur, avand constanta elastica echivalenta k_s astfel incat miscarea corpului de masa m sa fie identica.

Daca se actioneaza cu forta F pentru a scoate sistemul din pozitia de echilibru cu alungirea x, atunci in cele doua elemente elastice care se alungesc cu x₁ respectiv cu x₂ vor apare fortele elastice F₁ si respectiv F₂, care sunt egale cu forta F:

F = F₁ = F₂ (2.8)

Suma alungirilor celor doua elemente elastice trebuie sa fie egala cu alungirea totala x, sau cu alungirea elementului elastic echivalent:

x = x₁ + x₂ (2.9)

in care:  (2.10)

Prin inlocuirea alungirilor in relatia (2.9), se obtine:

(2.11)

sau:   (2.12)

In cazul in care exista mai multe resorturi legate in serie se poate generaliza rezultatul anterior si printr-un rationament asemanator se obtine:

(2.13)

3 Cinematica miscarii oscilatorii

Compunerea oscilatiilor armonice liniare paralele

In cazul in care un sistem este obligat sa se miste sub actiunea simultana a doua oscilatii diferite, insa pe aceeasi directie:

(1)

(2)

el va executa o miscare compusa.

Prezinta interes urmatoarele trei situatii:

Compunerea oscilatiilor armonice liniare paralele de aceeasi pulsatie

In acest caz cele doua oscilatii care se compun au ecuatiile:

(3)

(4)

Oscilatia rezultanta a sistemului va avea ecuatia:

(5)

in care:  (6)

si:  (7)

sunt doua constante care depind de amplitudinile si fazele initiale ale celor doua oscilatii care se compun.

Relatia (5) mai poate fi scrisa si sub forma:

(8)

deoarece o combinatie liniara de doua functii armonice, de aceeasi pulsatie, este tot o functie armonica, de pulsatie identica cu a celor doua oscilatii. Amplitudinea A si faza initiala j pot fi exprimate in functie de amplitudinile si fazele initiale ale oscilatiilor care se compun.

Relatia (8) poate fi dezvoltata in continuare si va avea forma:

(9)

Identificand cei doi termeni cu cei din relatia(5) se obtine sistemul de ecuatii:

(10)

Rezolvand sistemul de ecuatii se pot obtine expresiile amplitudinii:

(11)

si fazei initiale:

(12)

pentru oscilatia rezultanta.

Din cele doua relatii (11) si (12) se observa ca daca j j , oscilatiile sunt in faza si: A = A₁ + A₂ iar j j j (13)

Daca j j p, oscilatiile sunt in opozitie de faza si:

A = A₁ - A₂ iar j j j p (14)

Cele doua cazuri de oscilatii discutate anterior sunt prezentate grafic in figura 6

	a)                                   b) Fig. 6

1.2 Compunerea oscilatiilor armonice liniare paralele de pulsatii diferite

Cele doua oscilatii care se compun sunt descrise de relatiile (1) si (2). In urma compunerii celor doua oscilatii se obtine o combinatie liniara de doua functii armonice de pulsatii diferite. Miscarea oscilatorie rezultanta este descrisa, in acest caz, de o functie nearmonica in timp, de forma:

(15)

Atat amplitudinea cat si faza initiala a miscarii rezultante nu sunt constante ci sunt functii variabile in timp. Daca numai amplitudinea miscarii nearmonice este functie variabila in timp se spune ca miscarea nearmonica este modulata in amplitudine (liniar, exponential, armonic, etc.; in functie de expresia liniara exponentiala sau armonica de variatie a amplitudinii in timp). De exemplu, oscilatiile unui pendul liber sunt nearmonice, modulate exponential in amplitudine.

Miscarea oscilatorie nearmonica descrisa de relatia (15) are in general o expresie complicata in functie de valorile amplitudinilor A₁ si A₂, a fazelor initiale j si j precum si a pulsatiilor w si w . Un caz particular este acela in care pulsatiile sunt intr-un raport egal cu un numar intreg si mic. Compunerea se poate realiza in acest caz pe cale grafica asa cum este prezentat in exemplul din figura 7.

	Fig. 7

1.3 Compunerea oscilatiilor armonice liniare paralele de pulsatii putin diferite. Batai

Prezinta importanta practica si teoretica situatia in care pulsatiile celor doua oscilatii care se compun, descrise de relatiile (1) si (2), sunt putin diferite. Intre cele doua pulsatii se pot scrie relatiile:

(16)

in care Dw este diferenta dinte pulsatiile celor doua oscilatii care se compun, iar w este valoarea medie a celor doua pulsatii.

Cele doua pulsatii pot fi scrise, printr-un artificiu matematic, sub forma:

(17)

(18)

Tinand cont de acestea, expresiile (1) si (2) pot fi scrise:

(19)

(20)

Daca se noteaza: (21)

si (22)

relatiile (19) si (20) se pot scrie:

(23)

(24)

Se observa acum, ca aceste expresii sunt, formal, asemanatoare cu relatiile (3) si (4). Repetand acelasi rationament ca cel prezentat la la compunerea oscilatiilor armonice paralele de aceeasi pulsatie, se obsine ecuatia miscarii oscilatorii rezultante:

(25)

in care:

(26)

si:  (27)

Deoarece Y si Y sunt functii variabile in timp, atat amplitudinea cat si faza initiala a miscarii oscilatorii rezultante sunt functii variabile in timp, astfel incat oscilatia rezultanta nu este o miscare oscilatorie armonica. Graficul acestei miscari este reprezentat in figura 8.

	Fig. 8

Oscilatia rezultanta este nearmonica modulata armonic in timp de amplitudine ce variaza intre A_max. = A₁ + A₂ si A_min. = A₁ - A₂ (daca A₁ > A₂).

Perioada de variatie a amplitudinii este:

(28)

Apare astfel, un fenomen de crestere si scadere periodica a amplitudinii oscilatiei rezultante. Acest fenomen este cunoscut in tehnica sub numele de "fenomenul de batai". Perioada batailor este jumatate din perioada de modificare a amplitudinii, adica:

(29)

Frecventa batailor este egala cu diferenta frecventelor celor doua oscilatii:

(30)

Daca diferenta dintre frecventele celor doua oscilatii este prea mare, frecventa batailor este de asemenea mare si fenomenul nu este perceptibil. De asemenea, atunci cand diferenta frecventelor celor doua oscilatii care se compun este prea mica, frecventa batailor este atat de mica incat fenomenul este din nou greu perceptibil. In acest caz, pe parcursul perioadei unei batai, se poate considera miscarea oscilatorie ca fiind armonica.

Daca cele doua oscilatii care se compun au amplitudini egale, se obtine cazul particular reprezentat grafic in figura 9.

In acest caz:

(31)

	Fig. 9

cu A_max. = 2A si A_min. = 0.

De asemenea:

(32)

deci faza initiala j nu mai este o functie de timp, oscilatia rezultanta fiind nearmonica, modulata doar in amplitudine, avand ecuatia:  (33)

Principalele aplicatii ale fenomenului de batai sunt in domeniul acusticii, la determinarea frecventelor unor oscilatii sonore necunoscute. De asemenea, fenomenul este utilizat in electrotehnica, cand se cupleaza in paralel alternatorii, precum si in radiotehnica.

2 Compunerea oscilatiilor armonice liniare perpendiculare

Daca un sistem este obligat sa oscileze simultan dupa doua directii perpendiculare, ecuatia de miscare a acestuia este mai complicata.

In continuare sunt tratate cele doua cazuri de compuneri de oscilatii armonice liniare, perpendiculare:

de aceeasi pulsatie;

de pulsatii diferite.

2.1 Compunerea oscilatiilor armonice liniare perpendiculare de aceeasi pulsatie

Cele doua oscilatii armonice liniare, perpendiculare, de aceeasi pulsatie, care se compun au ecuatiile:

(34)

(35)

Un punc material supus actiunii simultane a celor doua oscilatii va descrie in planul xOy si in timpul T (perioada comuna celor doua oscilatii perpendiculare), o traiectorie inchisa, a carei ecuatie se va obtine eliminand timpul intre cele doua ecuatii de miscare. Pentru aceasta se dezvolta cele doua ecuatii de miscare descrise anterior, obtinandu-se:

(36)

(37)

In continuare se inmulteste relatia (36) cu si relatia (37) cu . Facand diferenta dintre relatiile inmultite se obtine:

(38)

De asemenea inmultind relatia (36) cu si relatia (37) cu , apoi facand diferenta intre relatiile inmultite se obtine:

(39)

Pentru a elimina timpul intre noile relatii (38) si (39) se ridica la patrat fiecare expresie, se aduna si in acelasi timp se grupeaza termenii, obtinandu-se in final expresia:

(40)

Daca notam diferenta dintre fazele initiale ale celor doua oscilatii armonice perpendiculare j j j se obtine expresia ecuatiei de miscare a sistemului supus actiunii simultane a doua oscilatii perpendiculare descrise de ecuatiile (34) si (35):

(41)

Aceasta reprezinta ecuatia unei elipse. Forma elipsei reprezentata schematic in figura 10 depinde de raportul amplitudinilor celor doua oscilatii perpendiculare care se compun si de diferenta de faza j, dintre cele doua oscilatii.

Amplitudinile A si B fiind cunoscute si pozitive, orientarea si forma elipsei-traiectorie va depinde exclusiv de diferenta de faza j dintre cele doua oscilatii.

Se pot considera urmatoarele trei cazuri caracteristice:

Pentru cazul in care j = 0, ecuatia elipsei degenereaza in ecuatia unei drepte prezentata in figura 10, de ecuatie:

(42)

Pentru cazul in care ecuatia (41) devine:

(43)

Aceasta este ecuatia unei elipse cu semiaxele orientate dupa axele Ox si Oy. Si mai particular este cazul in care A = B = R. In acest caz elipsa degenereaza intr-un cerc de raza R de ecuatie .

Pentru cazul in care j p, elipsa degenereaza din nou intr-o dreapta de ecuatie:

(44)

Traiectorile descrise de oscilatia rezultanta si sensurile de parcurgere ale acestora, pentru diferite valori ale diferentei de faza j sunt prezentate in figura 11.

Cand traiectoria este parcursa in sensul miscarii acelor unui ceasornic se spune ca oscilatia rezultanta este polarizata eliptic spre dreapta, iar cand traiectoria este parcursa in sens invers miscarii acelor unui ceasornic se spune ca oscilatia rezultanta este eliptic polarizata spre stanga. Cand traiectoria are forma uneia dintre cele doua drepte se spune ca oscilatia rezultanta este liniar polarizata.

fig. 11

2.1 Compunerea oscilatiilor armonice liniare perpendiculare de pulsatii diferite

Daca cele doua oscilatii perpendiculare au pulsatii diferite, descrise de ecuatiile: (45)

(46)

atunci traiectoria descrisa de sistemul supus actiunii simultane a celor doua oscilatii in planul xOy poate sa fie o curba inchisa, sau o curba deschisa.

Pentru ca traiectoria sa fie o curba inchisa trebuie ca dupa un interval de timp, sistemul sa treaca prin acelasi punct, in aceeasi directie si sens. Intervalul minim de timp T, dupa care miscarea sistemului se repeta identic, trebuie sa fie in acelati timp un multiplu atat al perioadei primei oscilatii descrisa de ecuatia (45), cat si al perioadei celei de-a doua oscilatii descrisa de ecuatia (46). Deci:

(47)

De aici rezulta ca daca raportul celor doua pulsatii este un numar rational:

(48)

traiectoria descrisa de sistem este o curba inchisa.

Daca raportul pulsatiilor celor doua oscilatii care se compun este un numar irational, traiectoria miscarii oscilatorii rezultante este o curba deschisa.

Forma traiectoriei descrise de un sistem mecanic supus actiunii simultane a doua oscilatii perpendiculare de pulsatii diferite depinde de raportul amplitudinilor celor doua oscilatii , de raportul pulsatiilor si de diferenta de faza j dintre cele doua oscilatii.

Figurile care descriu traiectoriile sistemului mecanic sun cunoscute sub numele de "figurile lui Lissajous" deoarece au fost prezentate pentru prima data de fizicianul francez Jules Antoine Lissajous (1822-1880) in anul 1857.

In figura 12 sunt prezentate cateva figuri ale lui Lissajous corespunzatoare unui defazaj dintre cele doua oscilatii perpendiculare j

	Fig.12

3 Compunerea oscilatiilor armonice liniare pe directii oarecare

In cazul in care asupra unui sistem mecanic actioneaza simultan doua oscilatii care formeaza un unghi oarecare intre ele, ca in figura 13, se poate alege totdeauna un sistem de coordonate xOy astfel incat axa Ox sa corespunda cu directia unei oscilatii.

Ecuatia acestei oscilatii va fi:

(49)

Cea de-a doua oscilatie va forma cu directia primei oscilatii un unghi a iar ecuatia acestei oscilatii este:

(50)

Aceasta oscilatie va fi descompusa in doua componente corespunzatoare proiectiilor pe cele doua axe, Ox si Oy, obtinandu-se:

(51)

(52)

In continuare se pot compune oscilatiile x si u_1, descrise de ecuatiile (49) si (51) ca doua oscilatii paralele, obtinandu-se oscilatia rezultanta: v = x + u₁. In continuare se compun oscilatiile v si u₂ ca doua oscilatii perpendiculare, obtinandu-se in final oscilatia rezultanta finala:

z = u₂ +v (53)

In etapele intermediare de compunere a oscilatiilor paralele sau perpendiculare se pot intalni oricare din cazurile prezentate anterior, in paragraful 1 sau 2.